Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений питон

Рассмотрены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью модуля scipy.integrate языка Python

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Краткое описание модуля scipy.integrate

Модуль scipy.integrate имеет две функции ode() и odeint(), которые предназначены для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (т.е. задача Коши).

Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Решение одного ОДУ

Допустим надо решить диф. уравнение 1-го порядка

Получилось что-то такое:

Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Решение системы ОДУ

Пусть теперь мы хотим решить (автономную) систему диф. уравнений 1-го порядка

Выходной массив w состоит из двух столбцов — y1(t) и y2(t).

Также без труда можно построить фазовые траектории:

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ begin tag frac &= f_i (t, u_1, u_2, ldots, u_n), quad t > 0\ tag u_i(0) &= u_i^0, quad i = 1, 2, ldots, m. end $$

Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ begin tag frac<d pmb> &= pmb(t, pmb), quad t > 0, \ tag pmb(0) &= pmb_0 end $$ В задаче Коши необходимо по известному решению в точке ( t = 0 ) необходимо найти из уравнения (3) решение при других ( t ).

Видео:Метод Эйлера для дифурСкачать

Численные методы решения задачи Коши

Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:

1. Вводится расчетная сетка по переменной ( t ) (время) из ( N_t + 1 ) точки ( t_0 ), ( t_1 ), ( ldots ), ( t_ ). Нужно найти значения неизвестной функции ( pmb ) в узлах сетки ( t_n ). Обозначим через ( pmb^n ) приближенное значение ( pmb(t_n) ).

2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.

3. Аппроксимируем производные конечными разностями.

4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения ( pmb^ ) на основе предыдущих вычисленных значений ( pmb^k ), ( k 0 ) при ( tauto 0 ).

Видео:МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать

Явный метод Эйлера

Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами ( t_n ) и ( t_ ): $$ omega_tau = . $$

Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ pmb^prime (t_n) = pmb(t_n, u(t_n)), quad t_n in omega_tau. $$

Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ pmb^prime(t) = lim_ frac<pmb(t+tau) — pmb(t)>. $$

В произвольном узле сетки ( t_n ) это определение можно переписать в виде: $$ begin pmb^prime(t_n) = lim_ frac<pmb(t_n+tau) — pmb(t_n)>. end $$ Вместо того, чтобы устремлять шаг сетки к нулю, мы можем использовать малый шаг ( tau ), который даст численное приближение ( u^prime(t_n) ): $$ begin pmb^prime(t_n) approx frac<pmb^ — pmb^>. end $$ Такая аппроксимация известна как разностная производная вперед и имеет первый порядок по ( tau ), т.е. ( O(tau) ). Теперь можно использовать аппроксимацию производной. Таким образом получим явный метод Эйлера: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = pmb(t_n, pmb^). end $$

Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение ( y^n ) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно ( y^ ) и получить формулу для нахождения приближенного значения искомой функции на следующем временном слое ( t_ ): $$ begin tag pmb^ = pmb^n + tau pmb(t_n, pmb^) end $$

При условии, что у нас известно начальное значение ( pmb^0 = pmb_0 ), мы можем использовать (6) для нахождения решений на последующих временных слоях.

Программная реализация явного метода Эйлера

Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом

При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины ( m+1 ) (( m ) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности ( m+1 ), t[n] — значение в момент времени ( t_n ).

Таким образом численное решение на отрезке ( [0, T] ) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.

Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .

Видео:Решение ОДУ в PythonСкачать

Неявный метод Эйлера

При построении неявного метода Эйлера значение функции ( F ) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = pmb(t_, pmb^). end $$

Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое ( t_ ) нужно решить нелинейное уравнение относительно ( pmb^ ): $$ begin tag pmb^ — tau pmb(t_, pmb^) — y^n = 0. end $$

Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.

Программная реализация неявного метода Эйлера

Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .

Видео:Решение системы ОДУ в PythonСкачать

Методы Рунге—Кутта

Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^s b_i pmb_i, end $$ где $$ begin tag pmb_i = pmbleft( t_n + c_itau, pmb^n + tau sum_^s a_pmb_j right), quad i = 1, 2, ldots, s. end $$ Формула (9) основана на ( s ) вычислениях функции ( pmb ) и называется ( s )-стадийной. Если ( a_ = 0 ) при ( j geq i ) имеем явный метод Рунге—Кутта. Если ( a_ = 0 ) при ( j > i ) и ( a_ ne 0 ), то ( pmb_i ) определяется неявно из уравнения $$ begin tag pmb_i = pmbleft( t_n + c_itau, pmb^n + tau sum_^ a_pmb_j + tau a_ pmb_i right), quad i = 1, 2, ldots, s. end $$ О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ begin tag pmb_1 & = pmb(t_n, pmb^n), &quad pmb_2 &= pmbleft( t_n + frac, pmb^n + tau frac<pmb_1> right),\ pmb_3 &= pmbleft( t_n + frac, pmb^n + tau frac<pmb_2> right), &quad pmb_4 &= pmbleft( t_n + tau, pmb^n + tau pmb_3 right),\ frac<pmb^ -pmb^n> &= frac (pmb_1 + 2pmb_2 + 2pmb_3 + pmb_4) & & end $$

Видео:Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Многошаговые методы

В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах ( pmb^n ) и ( pmb^ ) — один шаг по переменной ( t ). Линейный ( m )-шаговый разностный метод записывается в виде $$ begin tag frac sum_^m a_i pmb^ = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^), quad n = m-1, m, ldots end $$ Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов ( a_i ), ( b_i ), ( i = 0, 1, ldots, m ), причем ( a_0 ne 0 ). Для начала расчетов по рекуррентной формуле (13) необходимо задать ( m ) начальных значений ( pmb^0 ), ( pmb^1 ), ( dots ), ( pmb^ ) (например, можно использовать для их вычисления метод Эйлера).

Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ begin tag pmb(t_) — pmb(t_n) = int_^<t_> pmb(t, pmb) dt end $$

Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции ( pmb^ = pmb(t_, pmb^) ), ( pmb^n ), ( dots ), ( pmb^ ), т.е. $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^) end $$

Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен ( m+1 ).

Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям ( pmb^n ), ( pmb^ ), ( dots ), ( pmb^ ) и поэтому $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^) end $$

Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет ( m )-ый порядок.

На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ frac<pmb^ — pmb^n> = frac (23 pmb^ -16pmb^ + 5pmb^). $$ Для уточнеия решения (см. (17)) используется схема $$ frac<pmb^ — pmb^n> = frac (9pmb^ + 19pmb^ — 5pmb^ + pmb^). $$ Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.

Видео:Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать

Жесткие системы ОДУ

При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке ( u = w ) передаются линейной системой $$ begin frac

= sum_^ frac (t, w) v + bar(t), quad t > 0. end $$

Пусть ( lambda_i(t) ), ( i = 1, 2, ldots, m ) — собственные числа матрицы $$ begin A(t) = < a_(t) >, quad a_(t) = frac(t, w). end $$ Система уравнений (3) является жесткой, если число $$ begin S(t) = frac <max_|Re lambda_i(t)|> <min_|Re lambda_i(t)|> end $$ велико. Это означает, что в решении присутствуют составляющие с сильно различающимися масштабами изменения по переменной ( t ).

Для численное решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование ( A )-устойчивых или ( A(alpha) )-устойчивых методов.

Метод называется ( A )-устойчивым, если при решении задачи Коши для системы (3) область его устойчивости содержит угол $$ begin |arg(-mu)| —>

Видео:Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений питон

Variant 19 (Sukach Maxim, BS17-03)

Найдем

В итоге, наше решение принимает вид:

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить функцию теоретически с любой наперед заданной точностью. Суть метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Метод Эйлера является методом 1-го порядка точности и называется методом ломаных.

Для вычисления используются следующие формулы:

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный метод Эйлера

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Разница между данным методом и методом Эйлера минимальна и заключается в использовании следующих формул:

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Ну и как обычно, формулы:

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Сравнение методов для заданной задачи

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 9] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 3] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 1] с шагом 0.1

Очевидно что, классический метод Рунге-Кутты справляется с задачей аппроксимации в случае данного уравнения намного лучше чем Метод Эйлера и Усовершенствованный метод Эйлера.

График глобальной средней ошибки

Глобальная ошибка в зависимости от размера шага H на промежутке от 0.01 до 0.91 для x0 = 1, xf = 9

🌟 Видео

Решение ОДУ методом Эйлера (программа)Скачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений Метод Эйлера Ложкин С. А.Скачать

Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)Скачать

Python - поле направлений дифференциального уравненияСкачать

Решение ОДУ 2 порядка в PythonСкачать

Метод Эйлера. Решение систем ДУСкачать

01.02. Модель SIR. Численное решение системы дифференциальных уравнений с помощью SciPyСкачать