Метод бернулли дифференциальные уравнения алгоритм (4 видео)

Содержание

Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Метод введения двух функций (Бернулли)
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли
Уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли
Приведение к линейному уравнению 1 порядка
Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )
💡 Видео

Видео:10. Уравнения БернуллиСкачать

Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

Существует три способа решения этого уравнения:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Метод введения двух функций (Бернулли)

Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(1)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.

Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).

Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем

Окончательно находим:

Видео:Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли

Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(3)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv :

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:

Или

Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).

Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.

Общее решение уравнения:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 24-07-2012 Изменено: 27-02-2015

Видео:Линейные дифференциальные уравнения (Метод Бернулли)Скачать

Уравнения Бернулли

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Пример 1 . Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2 . y’+y+y 2 =0
y’+y = -y 2

Разделим на y 2
y’/y 2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y 2

Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1

Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z .

Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy’/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z’=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz’/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y'(x) = C(x)’x 4 + C(x)(x 4 )’
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)’ x 4 )+2y=-x 5 e x
-C(x)’ x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)’ = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x ) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x 5 u 3 v 3 e x =0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x -2 ). Откуда u = x -2
b) xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
x x -2 v’+ x 5 x -6 v 3 e x = 0
v’/x+ v 3 e x /x = 0
v’+ v 3 e x = 0

или 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Видео:Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Дифференциальное уравнение Бернулли

Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.

Видео:Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Приведение к линейному уравнению 1 порядка

Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .

Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .

Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:

y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )

Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.

Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .

Решение

По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x

Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1

Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.

Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .

Отсюда следует, что производится подстановка вида

C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3

С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2

Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .

Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )

Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .

Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:

u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n

Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида

u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .

Отсюда следует определить функцию u .

Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .

Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде

y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что

d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что

u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )

Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .

Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4

— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C

Отсюда находим, что

y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .

Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .