Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике (полупо- лосе), решаются методом разделения переменных в декартовых коорди- натах, в круговой областях (круг, сектор, кольцо) методом разделения пе- ременных в полярных координатах. При решении краевых задач для ци-линдрических и сферических областей используются соответственно ци- линдрические и сферические координаты бесселевы функции, полиномы и присоединённые функции Лежандра, а также шаровые функции. Возни- кающие здесь задачи Штурма Решить уравнение лапласа в прямоугольникеЛиувилля своеобразны, их граничные ус- ловия определяются спецификой областей:

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

следует искать в виде суммы u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),где v(x,y) и w(x,y) гар- монические функции в том же самом треугольнике, точнее они суть ре-шения краевых задач

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Решить уравнение лапласа в прямоугольникеРешить уравнение лапласа в прямоугольнике

Штрихованные краевые задачи решаются методом разделения пере- менных в терминах тригонометрических и гиперболических функций.

Рассмотрим задачу Дирихле для круга

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

где f(j)кусочно-непрерывная функция.

Следуя схеме метода Фурье полагаем

подставляем в (87) и разделяем переменные. В результате получим ра -венство

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(90)

Угловая функция F(j) обязана быть периодической с периодом 2p. Присоединяя условие периодичности к дифференциальному уравнению для F(j), найдем задачу Штурма Решить уравнение лапласа в прямоугольникеЛиувилля

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

откуда следует, что

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(91)

Возвращаясь к (80), решаем уравнение для радианальной функции. При

r 2 R² + rR¢ Решить уравнение лапласа в прямоугольникеn 2 R = 0,

решение следует искать в виде степенной функции R=r m . Для определе- ния m получим соотношение

m(m Решить уравнение лапласа в прямоугольнике1)r m +m r m Решить уравнение лапласа в прямоугольникеn 2 r m =0Û m 2 Решить уравнение лапласа в прямоугольникеn 2 =0,

Видео:7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать

7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

Если же n=0, то уравнение, как нетрудно проверить, rR² + R¢ =0имеет своими решениями функции

R0(r) = 1; lnr. Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

С учетом (89) мы должны составить произведения угловых и радиаль- ных функций и получить набор функций, гармонических в круге

Если предположить, что ряд

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(93)

можно дифференцировать почленно дважды по r и j , то его сумма также будет гармонической функцией, т. е. будет решением уравнения (87). Подставляя (93) в (88), найдем

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(94)

откуда с учетом формул коэффициентов Фурье следует

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(95)

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(96) Итог состоит в том, что решение задачи (87 Решить уравнение лапласа в прямоугольнике88) дается рядом (93), коэффициенты которого определены равенствами (95-96).

Замечание 1. Мы можем говорить, очевидно, что ряд (93) дает общий вид гармонической функции для круга r — n и lnr, поскольку они разрывны в

центре круга r=0.

Напротив, если рассматривать область r>a, то нельзя привлекать r — n и lnr, и общий вид гармонической функции для внешности круга будет да- ваться рядом

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(97)

В случае кругового кольца a 2 q= 1-x 2 , найдем

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(104¢)

Соответственно и граничные условия (105) перейдут после замены в неравенства

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(105′)

Задача (104¢) Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(105¢) есть известная задача для присоединенных функций Лежандра, ее решение (см., например, [3], стр. 115)

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

и возвращаясь к переменной q, найдем собственные значения и собствен- ные функции задачи (104), (105):

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(106)

Составив произведения функций (106) на найденные выше функции Fm(j), получим множество решений уравнения (102)

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(107)

Видео:11. Уравнение Лапласа в прямоугольном параллелепипедеСкачать

11. Уравнение Лапласа в прямоугольном параллелепипеде

Эти решения принято называть сферическими функциями, их основ-ное свойство в приводимой ниже теореме.

Теорема 1. Сферические функции взаимно ортогональны на единич- ной сфере, т.е. при m1¹m2 или n1¹n2

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(108)

Теперь возвращаясь к равенству (101), возьмем уравнение для ради- альной функции

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Оно имеет решение в виде степенной функции R=r m . Действительно, после подстановки

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

откуда находим значения m=n; Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(n+1) и соответственно решения

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(109)

Умножая первые из функций (109) на сферические функции (107), получаем множество частных решений уравнения Лапласа в шаре:

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Согласно схеме метода Фурье. составляем ряд с произвольными коэффи- циентами

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(110)

который будет гармонической функцией в шаре, если только его можно дифференцировать почленно.

Для нахождения коэффициентов Аnm подставим (110) в (100), тогда

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

и с учетом (108) найдем

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(111)

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Последний интеграл вычисляется и при m=0 :

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(112)

если же |m| ³ 1, то имеем

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(113)

Завершая рассмотрение задачи (99),(100), скажем, что мы нашли ее решение в виде ряда (110), коэффициенты которого определяются в согласии с (111),(113).

Видео:Решение волнового уравнения в прямоугольникеСкачать

Решение волнового уравнения в прямоугольнике

Замечание 3. Напомним, что нормированные полиномы Лежандра вы- числяяются по формулам

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(114)

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

В свою очередь присоединенные функции Лежандра выражаются че- рез производные от полиномов Лежандра, т. е.

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(115)

в частности будем иметь

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(116)

где Сn определенная константа.

С учетом (107), (115) и (116) выпишем несколько сферических функций:

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(117)

Замечание 4. При решении краевых задач для внешности шара вместо соотношения (110) нужно использовать ряд

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(118)

Общий вид гармонической функции в шаровом слое a 4 , и получим

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Таким образом, частным решением будет функция

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Вводим новую неизвестную функцию w(r,j) , полагая

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Тогда относительно w(r,j) нужно решать задачу Дирихле для урав- нения Лапласа

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Согласно (93), решение этой задачи дается формулой

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Подставляя ее в граничное условие, получим

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Видео:Метод Лапласа решения ДУСкачать

Метод Лапласа решения ДУ

Ответом в задаче будет функция

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

254. Найдите решение первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

предполагая, что k не является собственным значением задачи

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в сферических координатах

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Беря u(r,j,q,)=R(r)Y(j,q), после разделения переменных придем к дифференциальным уравнениям:

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Функция Решить уравнение лапласа в прямоугольникебудет решением уравнения (72), которое нужно решать при условии ограниченности и 2p-периодичности по j. В результате при- дем к сферическим функциям при l=n(n+1):

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Относительно радиальной функции R(r) нужно решать дифференци- альное уравнение

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Выполняя в этом уравнении замену

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

придем к соотношению относительно новой функции Z(r):

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Последнее уравнение в качестве ограниченных в окрестности нуля

r=0 решений имеет бесселевы функции

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

соответственно будем иметь набор радиальных функций

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Умножая их на сферические функции, получим набор решений урав- нения Гельмгольца:

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

Видео:6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задачСкачать

6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задач

Составляем ряд с числовыми коэффициентами

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике(119)

и определяем коэффициенты так, чтобы выполнялась граничное условие при r=a

Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

где d = 4 при m = 0 и d =2 при Решить уравнение лапласа в прямоугольнике

При найденных коэффициентах Anm ряд (119) будет решением рассматриваемой краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

255. Найдите такую гармоническую u(r,j,q) функцию внутри шарового слоя 1


источники:

🌟 Видео

6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать

6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце

Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

Задача Дирихле для круга. Уравнение Лапласа

OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙСкачать

OTAROVA  JAMILA   МЕТОД  ФУРЬЕ  РЕШЕНИЯ  КРАЕВОЙ  ЗАДАЧИ  ДЛЯ  УРАВНЕНИЯ  ЛАПЛАСА  В  ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать

Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1

7.2 Уравнение Лапласа в секторе и кольцевом сектореСкачать

7.2 Уравнение Лапласа в секторе и кольцевом секторе

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 3. Ур.Лапласа в прямоугольных координатахСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 3. Ур.Лапласа в прямоугольных координатах

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и сектореСкачать

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и секторе

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1Скачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1

9. Уравнение ПуассонаСкачать

9. Уравнение Пуассона

Решение уравнения Лапласа в шареСкачать

Решение уравнения Лапласа в шаре

УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условийСкачать

УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условий

Уравнение ЛапласаСкачать

Уравнение Лапласа
Поделиться или сохранить к себе: