п.1. Метод подстановки
Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
п.2. Метод сложения
п.3. Метод замены переменных
Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.
п.4. Графический метод
Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.
п.5. Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений:
а) ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Решаем методом подстановки: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Для нижнего уравнения: ( mathrm )
Подставляем в верхнее уравнение: ( mathrm )
б) ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Замена переменных: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright.Rightarrow left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ mathrm< D=9^2-4cdot 2cdot 10=1, b=frac> = left[begin mathrm & \ mathrm & endright. $$ Возвращаемся к исходным переменным: ( left[begin left<begin mathrm & \ mathrm & endright.& \ left<begin mathrm & \ mathrm & endright. endright. )
Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать
Системы уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
 | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
| | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
| 3x | — 2y = 16; |
| 3( 2 + 4y ) | — 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
| 3(2 + 4y) — 2y = 16; |
| 6 + 12y — 2y = 16; |
| 6 + 10y = 16; |
| 10y = 16 — 6; |
| 10y = 10; |
| y = 10 : 10; |
| y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
| | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
| x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
| -4y = 2 — x | -2y = 16 — 3x |
| y = (2 — x) : — 4 | y = (16 — 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
| 2 — x | = | 16 — 3x |
| -4 | -2 |
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
| ||||||
| 2 — x = 32 — 6x | ||||||
| —x + 6x = 32 — 2 | ||||||
| 5x = 30 | ||||||
| x = 30 : 5 | ||||||
| x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
| x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
| 6 — 4y = 2 | 3 · 6 — 2y = 16 |
| -4y = 2 — 6 | -2y = 16 — 18 |
| -4y = -4 | -2y = -2 |
| y = 1 | y = 1 |
Видео:7 класс, 39 урок, Метод алгебраического сложенияСкачать
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
| | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
| | x — 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| + | x — 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 | |
| -5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x — 4y) · 3 = 2 · 3
| | 3x — 12y = 6 |
| 3x — 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| — | 3x — 12y = 6 |
| 3x — 2y = 16 | |
| -10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
| 3x — 2y = 16 |
| 3x — 2 · 1 = 16 |
| 3x — 2 = 16 |
| 3x = 16 + 2 |
| 3x = 18 |
| x = 18 : 3 |
| x = 6 |
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
Видео:Метод алгебраического сложения. Видеоурок по алгебре 9 классСкачать
Основные методы решения систем повышенной сложности
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.
📸 Видео
Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать
Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать
Решение систем уравнений методом сложенияСкачать
Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать
9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать
Как ЛЕГКО РЕШАТЬ Систему Линейный Уравнений — Метод СложенияСкачать
Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать
Алгебра 9 класс. Решение систем уравнения методом сложенияСкачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
ОГЭ. Математика. Задание 21. Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать
Решение систем уравнений. Метод алгебраического сложения. 9 классСкачать
Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать
