Мажорант при решении уравнений и неравенств

Государственное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа № 000

Автор проекта: ученик 10 «Б» класса

Научный руководитель проекта: учитель математики

1.1.Признаки присутствия мажоранты в задаче..………………. …. ….4

1.2.Примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений……………………………..……………………. ….5

1.3. Встреча на краю. 6

При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных.

Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения. Один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, задачи с параметром.

В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи «встреча на краю». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем. Метод, который имеет место быть в ЕГЭ.

Цель: показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант

Изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту. Изучить метод мажоранта, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств. Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажоранта. Создать сборник задач по теме метод мажоранта для подготовки к ЕГЭ.

История слова «мажорант». В большой советской энциклопедии читаем «Мажоранта и миноранта, две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Главные выводы работы:

Выполняя данный исследовательский проект, я провел огромную работу. Для начала надо было собрать и систематизировать информацию по данной теме, что было достаточно тяжело, так как эта тема для меня новая, незнакомая, и все надо было начинать с нуля. Главной же частью данного проекта была практическая часть, а именно создание сборника задач по теме «Метод мажоранта» при решении уравнений и неравенств, который пригодится будущем, а именно при подготовке к ЕГЭ.

1. Обзор литературы

Метод мажорант — нестандартный метод решения уравнения и неравенств. Заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется мажорантой.

Мы знаем много мажорант для известных функций:

Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) — функции совершенно разного вида.

Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f на множестве р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех хр, либо f(х) ≥ М для всех хр.

1.1. Признаки присутствия мажоранты в задаче:

Смешанное уравнение (или неравенство), т. е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов, т. е. наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты, т. е. если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.

Для нахождения мажоранты необходимы:

Знание свойств функций; Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики; Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;

При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство . Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство . Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

При решении уравнения с помощью метода мажорант, мы, как правило: выясняем, что правая часть уравнения больше или равна какого-то числа, а левая – меньше или равна. Или наоборот. равенство возможно, если обе части уравнения равны этому числу приравниваем ту часть уравнения, которая проще, к этому числу и находим соответствующее значение х проверяем, что при этом значении х другая часть уравнения также равна этому числу.

Необходимо знать некоторые нестандартные неравенства:

1. а) при a > 0, равенство при a = 1

б) при a 0 |x| ≥ 0 ≥ 0 — ≤ arcsinx ≤ 0 ≤ arccosx ≤ —

Видео:Использование свойств и графиков функций при решении неравенств | МатематикаСкачать

Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств. II республиканская научно-практическая конференция школьников «От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

II республиканская научно-практическая конференция школьников

«От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»

Секция: Математика. Информатика. Физика.

« Метод мажорант и его применение

при решении уравнений и неравенств »

Автор: Садыкова Гульназ Рафисовна

Ученица 10 класса

МБОУ «Кирбинская средняя

Лаишевского муниципального района

Научный руководитель: учитель математики

1. Определение мажоранты функции…………………………………….. 4

3. Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант…….. 8

Список использованной литературы……………………………………. 16

« Учимся не для школы, а для жизни»

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках, которые проявляются в обобщении, конкретизации, анализе, синтезе. Для реализации этих задач математического образования большую роль играют нестандартные задачи, при решении которых развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять способы решения задачи в практической деятельности, использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач.

Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

В данном исследовании, во-первых, я узнала совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Во-вторых, научилась применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Для этого я изучила и проанализировала материал по данной теме, на конкретных примерах училась применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства. Применение метода оценок будет успешным, если знать, как находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной, а также знать некоторые «полезные» неравенства.

Актуальность этой работы определяется успешным применением метода мажоранта в решении олимпиадных задач и заданий части С ЕГЭ, вступительных заданий в ВУЗы. Также работая над проектом я расширила свой кругозор и базу математических знаний.

Объект исследования: уравнения и неравенства в математике.

показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант, заинтересовать читателя решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и создание собственных задач подобного типа.

Гипотеза: решение уравнений и неравенств методом мажорант.

Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены

следующие задачи исследования:

сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения уравнений и неравенств;

развивать умения самостоятельно приобретать и применять знания;

сформировать устойчивый интерес к предмету для дальнейшей самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам в вузы

пополнить библиотеку методических пособий в школьном кабинете математики.

Базой моих исследований являются книги и журналы: 1. 3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.; под ред. проф. Н.А. Бобылева. –М.: Айрис Рольф; 1997. 2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987. 3. Ткачук В.В. «Математика абитуриенту», Москва: МЦНМО, 2008. 4. Электронный научный журнал «Информационно-коммуникационные технологии в педагогическом образовании»

При работе над проектом применялись следующие методы:

1) теоретические: изучение и анализ источников информации по методу мажоранта; моделирование приемов использования метода мажоранта в решениях уравнений и неравенств.

2) эмпирические: исследование различных случаев решения уравнений и неравенств.

Работа « Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств » имеет практическое значение . Оно заключается в следующем: метод мажорант при решении уравнений и неравенств нам поможет при подготовке к ЕГЭ и к вступительным экзаменам в ВУЗы, получить более высокий конечный результат.

Оборудование – мультимедийный проектор

Определение мажоранты функции

Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Работа посвящена одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методу, основанному на свойстве ограниченности функций, который называется метод «мажорант».

Определение. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р (соответственно, х ≤ М для всех х из А, или х ≥ М для всех х из А).

Термин «мажоранта» происходит от франц узского слова «majorante» , от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых знаем.

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Использование метода мажоранта при решении уравнений и неравенств
статья по алгебре (11 класс) по теме

При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции, решение которых бывает несложным, если использовать свойства числовых функций.

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Скачать:

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

Использование метода мажоранта при решении уравнений

МБОУ «Куйбышевская СОШ»

Рубцовского района Алтайского края

При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных. В учебнике «Алгебра и начала анализа» А.Г.Мордковича есть несколько подобных заданий, но четкого определения и метода решения данных уравнений нет.

В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи « встреча на краю ». А.Г.Мордкович в учебнике «Алгебра и начала анализа» предлагает рассматривать данный метод как «довольно красивую разновидность функционально-графического метода». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем. Метод, который имеет место быть в ЕГЭ.

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

История слова «мажорант». В большой советской энциклопедии читаем «Мажоранта и миноранта (франц. majorante и minorante, от majorer — объявлять большим и minorer — объявлять меньшим) (матем.), две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Метод мажорант — нестандартный метод решения уравнения и неравенств. Заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется мажорантой.

Мы знаем много мажорант для известных функций:

Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) функции совершенно разного вида.

Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f на множестве р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех хр, либо f(х) ≥ М для всех хр.

Что нужно знать и уметь, чтобы применить данный метод?

Из первого уравнения получаем, что х=0, но sin 01.

f(х)= 3, g(x)= lg(10-х 2 )

10- х 2 10, функция y=lgt – возрастающая, значит, lg(10-х 2 ) lg10; lg(10-х 2 ) 1, т.е. g(x) 1.

Исходное уравнение равносильно системе

0 – корень уравнения.

25х 2 -20х+6=2-cos 2

25х 2 -20х+4=-cos 2

(5x-2) 2 0, 0 cos 2 1, значит, -1-cos 2 0, т.е. М=0.

Решая, первое уравнение, имеем, что х=0,4. Подставляя во второе уравнение, получаем верное равенство.

Решение. ОДЗ: 2≤x≤4 .

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию y = x 2 – 6x + 11 .

Графиком функции является парабола с вершиной A(3;2) .

Наименьшее значение функции y(3) = 2, т. е.

y = x 2 – 6x + 11≥2.

Рассмотрим левую часть уравнения. Введем функцию

С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на (2; 4) ;

Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий:

Решив первое уравнение системы, имеем x = 3 . Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что x = 3 – решение системы.

Как мы видите, уравнения решаются довольно несложно, главное в подобных задачах — увидеть наличие мажоранты.

Признаки присутствия мажоранты в задаче

1. Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.
2. Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты.

Для нахождения мажоранты необходимы:

1. Здравый смысл и нестандартный взгляд на вещи;
2. Знание свойств функций;
3. Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики;
4. Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;
5. При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

Функция f(x) называется ограниченной сверху , если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция f(x) называется ограниченной снизу , если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

1. Знать некоторые нестандартные неравенства.

1. а) при равенство при

б) при равенство достигается при

2. при равенство достигается при

Мажоранту можно найти, используя графики функций.

Найдем, при каком значении x минимум функции y 1 совпадает с максимумом функции y 2 .

Для того чтобы найти мажоранту нужно выполнить одно или несколько действий:

а) найти D(f) функции;

б) найти E(f) функции;

в) исследовать функцию на экстремум;

г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и наименьшее значения;

д) применить известные опорные неравенства.

📹 Видео

Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Метод МажорантСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Шаг 8. Сумасшедшее уравнение (метод мажорант)Скачать

Решение неравенства методом интерваловСкачать

Метод мажорант в задаче C5: простейшие приложенияСкачать

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Метод мажорантСкачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

Решение системы неравенствСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

11 класс, 29 урок, Уравнения и неравенства с модулямиСкачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Задание №20. Уравнение 2 часть ОГЭ по математике 2023 | УмскулСкачать

Метод мажорант. Решение системы неравенств С3Скачать