Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей.

Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации. Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей. В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.

Навигация по странице.

Видео:9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Параллельные плоскости – основные сведения.

Дадим определение параллельных плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями». Таким образом, если плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельны, то можно кратко записать Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиУсловие параллельности плоскостей заданных уравнениямиУсловие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Отметим, что если плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельны, то также можно сказать, что плоскость Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельна плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, или плоскость Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельна плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Параллельность плоскостей — признак и условия параллельности.

При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

С доказательством этого признака параллельности плоскостей Вы можете ознакомиться на страницах учебника геометрии за 10 — 11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.

Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.

Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямисоответствует общее уравнение плоскости вида Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, а плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями— вида Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями. (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)

Для параллельности плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравненияминеобходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине имела решений (была несовместна).

Если плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине имеет решений.

Если система линейных уравнений Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Параллельны ли плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями?

Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями. Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Ранг матрицы Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиравен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиравен двум, так как минор Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиотличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине имеет решений. Этим доказано, что плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельны.

Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипривело бы нас к этому же результату.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.

Для параллельности двух несовпадающих плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравненияминеобходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии нормальный вектор плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямибыли коллинеарны.

Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.

Пусть Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями— нормальные векторы плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямисоответственно. Условие коллинеарности векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямизаписывается как Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, где t – некоторое действительное число.

Таким образом, для параллельности несовпадающих плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, нормальными векторами которых являются векторы Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямисоответственно, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число t , для которого справедливо равенство Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипроходит через три точки Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, а плоскость Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиопределяется уравнением Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями. Докажите параллельность плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Сначала убедимся, что плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Теперь найдем координаты нормальных векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиплоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии проверим выполнение условия коллинеарности векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

В качестве вектора Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиможно взять векторное произведение векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями. Векторы Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиимеют координаты Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямисоответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиприведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями. Теперь видно, что Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Проверим выполнение условия коллинеарности векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Так как Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, то векторы Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямисвязаны равенством Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, то есть, они коллинеарны.

Итак, плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямине совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямипараллельны.

Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Видео:§47 Условие параллельности двух плоскостейСкачать

§47 Условие параллельности двух плоскостей

Параллельные плоскости: основные сведения

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 — 11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z — 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2 x + 3 y + z — 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 — 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 — 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z — 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z — 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A ( 0 , 1 , 0 ) , B ( — 3 , 1 , 1 ) , C ( — 2 , 2 , — 2 ) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: ( — 3 , 0 , 1 ) и ( — 2 , 2 , — 2 ) . Тогда:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → — 3 0 1 — 2 1 — 2 = — i → — 8 j → — 3 k → ⇔ n 1 → = ( — 1 , — 8 , — 3 )

Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z — 1 = 0

Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = ( — 1 , — 8 , — 3 ) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Так как — 1 = t · 1 12 — 8 = t · 2 3 — 3 = t · 1 4 ⇔ t = — 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = — 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.

Ответ: плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Взаимное расположение плоскостей: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямизаданы общими уравнениями Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямимежду векторами нормалей к ним

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Из определения скалярного произведения Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии из выражения в координатах длин векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии их скалярного произведения получим

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Условие параллельности плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиэквивалентно условию коллинеарности векторов Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии заключается в пропорциональности координат этих векторов:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Условие перпендикулярности плоскостей Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямиможет быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Пример 1. Установить, параллельны ли две плоскости, одна из которых задана уравнением Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, а другая — уравнением Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Так как Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.

Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии Условие параллельности плоскостей заданных уравненияминормалей к ним перпендикулярны и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями, то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения

Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).

Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.

Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.

Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Найдём определители при неизвестных:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Видео:Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми"

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости

Пусть даны точка Условие параллельности плоскостей заданных уравнениямии плоскость Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями. Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости, имеет вид

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3, -5, 1) , и параллельной плоскости Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями.

Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:

Условие параллельности плоскостей заданных уравнениями

Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.

🔥 Видео

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

§60 Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскостиСкачать

§60 Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Анализ общего уравнения плоскостиСкачать

Анализ общего уравнения плоскости

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: