Лист декарта график и уравнение (6 видео)

Лист декарта график и уравнение

Декартов лист – плоская кривая. Ее уравнение в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
х 3 + у 3 – 3аxу = 0. (*)

Таким образом, декартов лист – кривая третьего порядка. Она имеет асимптоту – прямую х + у + а = 0.

Положив у = хt (**), параметризуем кривую: из (*) и (**) получим параметрические уравнения декартова листа

В полярных координатах (ρ; φ) декартов лист имеет уравнение

Поскольку координаты х и у входят в уравнение декартова листа (*) симметрично, кривая расположена симметрично относительно прямой у = х – биссектрисы первого и третьего координатных углов. Начало координат – узловая точка декартова листа (называется также точкой самопересечения или кратной точкой).

Оси координат служат касательными к ветвям кривой в начале координат, поэтому кривая пересекает сама себя в начале координат под прямым углом.

Общий вид кривой см. на рис. Площадь S петли декартова листа равна 1,5а 2 .

Декартов лист впервые был упомянут в переписке Декарта с Ферма в 1638 г. Форма этой кривой была получена Робервалем, а окончательное исследование ее свойств было проведено в конце XVII в. Пойгенсом и И. Бернулли.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

ДЕКАРТОВ ЛИСТ

ДЕКАРТОВ ЛИСТ — плоская кривая, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе координат (см.) имеет вид: x 3 + y 3 – 3axy = 0 (*) Декартов лист — кривая 3-го порядка. Прямая х+у+а=0 есть асимптота (см.) Декартов лист (рис. 82). Если положить у=хt (**), то из (*) и (**) получим параметрическое уравнение декартова листа:

Полярное уравнение декартова листа имеет вид:

Так как координаты х и у входят в уравнение (*) симметрично, то декартов лист расположен симметрично относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Начало координат есть узловая точка (см.) декартова листа. Оси координат х = 0 и у=0 являются касательными к декартову листу в узловой точке. Кривая пересекает сама себя в начале координат под прямым углом.
Декартов лист впервые был упомянут как кривая, обладающая определенным свойством, в письме Декарта к Ферма в 1638 г. Форма декартова листа была установлена Робервалем. Окончательная форма кривой вместе с ее асимптотой была определена в конце XVII в. Пойгенсом и И. Бернулли. Название декартова листа прочно вошло в математику лишь с начала XVIII в.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

(5)

Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке

и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN, перпендикулярную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QA с прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q₁ с прямой QN. Таким образом, точке Q на окружности будет поставлена в соответствие точка Q₁. Геометрическое место точек Q₁ представляет собой декартов лист.

Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде

угол, составляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде

Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату

точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ₁ запишется в виде

(6)

В то же время уравнение прямой Q₁N имеет вид

(7)

Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w, находим уравнение геометрического места точек Q₁ в виде

Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геометрическое место точек является декартовым листом.

Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осуществляемое при таком его построении, называется преобразованием Маклорена.

4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким образом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:

(2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс, имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точкой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигающегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D, замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ê ВСЕ=ê ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, ê NBE— равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM прямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их следует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотношениях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины.

– уравнение данной параболы. Уравнение касательной в произвольной точке М (x, h) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра, опущенного из

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение

выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу координат относительно касательной к параболе у 2 = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее касательных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рассматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возникает новый способ кинематического образования циссоиды как траектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоящее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производящего круга вокруг оси ординат, равняется то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вращения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь х_с — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pх_с, где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограничиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По теореме Гюльдена будем иметь

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле

3. Применение циссоиды к решению делосской задачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внушением математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с площадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи приписывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Возможность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следующих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда и, следовательно, Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению

Перепишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее, что прямая отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

(5)

и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнению

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

(6)

Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из формул (5) и (6), отрезок AD и будет равен

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и независимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

(1)

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник AOO₁M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол j точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через r sin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

(3)

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол m, составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно

Из этого соотношения непосредственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендикулярны.

Действительно, так как

Заметим еще, что геометрическое место точек пересечения этих касательных есть окружность Действительно, уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметь вид

а второй касательной Исключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле

(4)

Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 полярной нормали N в заданной точке.

Действительно, откуда на основании (4) получаем Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.

4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

(5)