Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

6) Фаза колебаний ωt + φ0 − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ0 − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ0 , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ0)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x1 и x2 , которые запишутся следующим образом:

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x2+x2 , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Так как угол между векторами А 1 и А 2 равен φ=π-(φ21) , то cos[π-(φ21)]=-cos(φ21) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$x\over A_1$$ , а sinωt= $$\sqrt<1-cos^2 ωt>=\sqrt<1-x^2\over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Перепишем это уравнение в следующем виде

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

После преобразования, получим

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способа

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= \sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

3) Разность фаз равна ± $$π\over 2$$ [φ=± $$π \over2$$ ] . Тогда

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$π\over 2$$ и φ=- $$π\over 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$π\over 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A1cosωt , и y=-A2sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$π\over 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A1cosωt , и y=A2sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

и получим выражение для скорости

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-Эйлера

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

ω0 − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ0) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox Fупр=ma . Упругая сила Fупр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2π\over ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φ\over dt^2$$ , получим

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Период колебаний математического маятника

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Период колебаний математического маятника

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$\sqrt$$ и T=2π $$\sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

Линейный осциллятор и его дифференциальное уравнение

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Величина lпр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.


источники:

📹 Видео

Дифференциальные уравнения, 6 урок, Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Дифференциальные уравнения, 6 урок, Уравнения в полных дифференциалах

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядка

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Поделиться или сохранить к себе: