Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами 30.

Вершины параболы лежат на ее действительной оси. По условию 2a = 20; 2c = 30. Значит, a = 10; c = 15; a 2 = 100; c 2 = 225.

Величины a, b, c у гиперболы связаны соотношением

отсюда b 2 = c 2 — a 2 = 225 — 100; b 2 = 125.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Кривые второго порядка

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и большая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 6).

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что
Рисунок 6

Простейшее каноническое уравнение эллипса получается в системе координат, в которой за ось абсцисс выбрана прямая, соединяющая фокусы, начало координат 0 − середина отрезка, концами которого служат фокусы, ось ординат – прямая, проходящая перпендикулярно оси ОX через точку 0. Тогда уравнение эллипса примет следую-
щий вид:

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

где Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат − с центром симметрии. Точки А1(a; 0), А2(–a; 0), В1(0; b), В2(0; –b) называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось А1А2 = 2a, малая ось В1В2 = 2b. Параметры a и b уравнения равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом (e) эллипса называется отношение расстояния (2c) между фокусами к большей оси (2a), т. е. Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что; очевидно, что e

Пример 11. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что малая полуось равна 3 и эксцентриситет Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Уравнение будем искать в виде Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Из условия b = 3. Так как с одной стороны Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что, а с другой стороны по условию Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтото Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоОткуда Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоДля эллипса параметры a, b, c связаны соотношением Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоПоэтому, подставляя значения b и c, получим уравнение

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Ответ: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 22. Уравнение эллипса, полуоси которого равны a = 3, b = 2, имеет вид:

1) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

2) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

3) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 23. Дано уравнение эллипса Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Вычислить длину осей, фокусное расстояние, эксцентриситет:

1) 16; 9; 25; Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

2) 8; 6; 2 Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоСоставить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Пример 12. Дан эллипс Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоНаписать уравнение его директрис.

Уравнения директрис следующие: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что. Из уравнения а 2 = 36,
b 2 = 20. Следовательно, a = 6, Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоили с = 4. Найдем e = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоПодставим в уравнения Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Уравнение эллипса, центр которого находится в точке (х0; у0), а оси симметрии параллельны осям координат, имеет вид

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 24. Центр эллипса Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтонаходится в точке:

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и меньшая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 7).

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что (1)

Прямая, соединяющая фокусы F1, F2 гиперболы, служит осью абсцисс, начало координат находится в середине между фокусами; при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, начало координат – с ее центром симметрии (оси и центр гиперболы).

Гипербола имеет две действительные вершины А1(a; 0), А2(–a; 0) на фокальной оси; отрезок А1А2 = 2a называется действительной осью гиперболы, отрезок В1В2 = 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b в уравнении гиперболы равны длинам действительной и мнимой полуосей соответственно.

Если a = b, то гипербола называется равносторонней.

Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направление по оси x, а действительная ось, длиной 2b, совпадает с осью y, то уравнение такой гиперболы имеет следующий вид:

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что (2)

где Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными гиперболами.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к действительной оси: e = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтои при этом e > 1. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие на расстоянии, равном Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоУравнения директрис следующие: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоАсимптоты гиперболы определяются равенствами Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстояние ее от одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2a, 2b (рисунок 7).

Пример 13.Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, зная, что:

1. Расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами – 10.

2. Действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку
(9; –4).

1. Уравнение гиперболы имеет вид Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Так как расстояние между вершинами равно 8, то 2a = 8 или a = 4. Учитывая, что расстояние между фокусами равно 10, имеем 2c = 10, откуда c = 5. Найдем b 2 из соотношения b 2 = c 2 – а 2 , т. е. b 2 = 5 2 – 4 2 =
= 25 – 16 = 9.

Ответ: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

2. Так как действительная ось равна 6, то 2a = 6 или a =3. Поэтому уравнение гиперболы принимает вид Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоПоскольку гипербола проходит через точку (9; –4), то ординаты этой точки обращают уравнение в истинное равенство, т. е. Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоили Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоили 9 – 1 = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоили b 2 = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что= 2.

Ответ: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 25. Уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 10 и лежит на оси ОX, а мнимая ось равна 16 и лежит на оси ОY, имеет вид:

1) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

2) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

3) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 26. Дано уравнение гиперболы Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоВычислить длину осей, фокусное расстояние, эксцентриситет:

1) 10; 16; 2 Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоСоставить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

2) 4; 5; Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоСоставить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

3) 5; 4; Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоСоставить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Пример 14. Дана гипербола Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоНаписать уравнение ее директрис и асимптот.

Из уравнения а 2 = 16, b 2 = 25. Откуда a =4, b =5. Найдем Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоТогда уравнения директрис следующие: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что, или x = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что, или x = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Уравнения асимптот Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтопосле подстановки a, b принимают вид y = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Ответ: x = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоy = Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 27. Указать, принадлежит ли точка (0; 2) гиперболе Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что= 1:

Уравнение гиперболы, центр которой находится в точке (х0; у0), действительная ось совпадает с осью ОX, мнимая – с осью ОY, имеет вид

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Тест 28. Центр гиперболы Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтонаходится в точке:

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы (рисунок 8).

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что
Рисунок 8

Если за ось абсцисс принять перпендикулярную прямую, проведенную из фокуса к директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид

где р – параметр параболы, расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает при таком выборе системы координат с осью X. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат и является единственной точкой пересечения параболы с осями.

Пример 15. Составить уравнение параболы, зная, что фокусы имеют координаты (0; 5), ось ординат служит осью симметрии, а вершина находится в начале координат.

Так как осью симметрии является ось ОY, то уравнение будет иметь вид х 2 = 2ру, так как фокус в общем случае имеет координаты Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что, то исходя из условия имеем Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что= 5, откуда p = 10. Таким образом, х 2 = 2 × 10 × у или х 2 = 20у – искомое уравнение.

Тест 29. В уравнении параболы у 2 = 3х значение параметра p равно:

2) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что;

Тест 30. Среди уравнений второго порядка указать уравнение гиперболы:

1) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

2) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

3) Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Если вершина параболы находится в точке (x0; y0), то ее каноническое уравнение примет следующий вид:

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Векторная алгебра

При изучении различных разделов экономики, механики, физики, других учебных дисциплин приходится иметь дело с величинами, для характеризации которых в выбранной системе единиц достаточно указать их численные значения. Эти величины называются скалярными. К числу скалярных величин можно отнести длину, площадь, объем, массу, температуру и т. п. Встречаются, тем не менее, такие величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве. Указанные величины будем называть векторными. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение.

Геометрические векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков.

Связанным вектором (или направленным отрезком) называется любой отрезок прямой, если только указано, какая из двух ограничивающих его точек является начальной, какая – конечной. Если точка А – начало отрезка, а точка В – его конец, то связанный вектор будем обозначать Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоЕго направление будем указывать стрелкой, идущей от начала А к концу В.

Длиной Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что(или модулем) связанного вектора Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоназывается длина отрезка АВ. Связанный вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается 0, его длина равна 0: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоон направления не имеет.

Связанные векторы Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтои Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоназываются сонаправленными, если являются сонаправленными лучи Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтои противоположно направленными – если противоположно направлены эти лучи.

Два ненулевых связанных вектора Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтои Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоназовем равными (это обозначается Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что= Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что), если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Свободным вектором а (или просто вектором) назовем множество равных между собой связанных векторов. При дальнейшем из контекста будет ясно, какой вектор имеется в виду (связанный или свободный). Для задания вектора достаточно указать какой-либо один вектор из всего множества <AB, CD, MN, ¼> равных связанных векторов, например, Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что(рисунок 9).

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Рассмотренные понятия (длина, направление и т. п.), которые введены для связанных векторов, имеют аналоги также и для свободных. Часто векторы обозначают одной жирной строчной буквой: Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что= а (рисунок 10).

Линейные операции над векторами

Определим для свободных векторов операции их сложения, вычитания, умножения вектора на действительное число.

Суммой двух векторов a и b по правилу треугольника называется такой третий вектор с, что начало его совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b.

Иногда вместо с = а+bпишут Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоСуммой а1 +а2 +…
… + аn конечного числа векторов называется такой вектор а, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов а1, а2,…, аn таким образом, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Указанный вектор а направлен из начала первого вектора суммы в конец последнего (правило многоугольника) (рисунок 10).

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

c = a + b

На рисунке 11 изображена сумма а = а1 + а2 + а3 + а4 + а5 векторов а1, а2, а3, а4, а5.

Произведением вектора а на число a называется вектор b = a а, длина которого равна Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтонаправление которого совпадает с направлением а, если a > 0, и противоположно направлению а, если
a 0 будем обозначать единичный вектор, имеющий направление вектора а.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

2.4 Гипербола

Гиперболой Называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную через 2А, расстояние между фокусами через 2С, а оси координат выберем так же, как в разделе 2.3.

Пусть М(Х, У) – произвольная точка гиперболы (рисунок 2.4).

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

По определению гиперболы F2MF1М = ±2A. (Знак плюс в правой части надо выбрать, если F2M > F1М, и минус, если F2M A).

Исследуем формулу гиперболы.

1. Уравнение (2.7) содержит квадраты текущих координат, следовательно, оси координат являются осями симметрии гиперболы. Ось симметрии, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центр – с началом координат.

В этом случае координаты фокусов гиперболы имеют вид F1(с,0), F2(-с,0).

2. Точки пересечения с осями симметрии. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются Вершинами гиперболы. Полагая в уравнении (2.7) У = 0, найдем абсциссы точек пересечения с осью ОХ:

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоили X2 = А2, откуда Х = ±А.

Итак, точки Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтои Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоявляются вершинами гиперболы.

Если же в уравнении (2.7) принять x = 0, получим

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтоили У2 = –B2,

Т. е. для У мы получили мнимые значения. Это означает, что гипербола не пересекает ось ОY.
В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью (фокальная ось); ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, – ее мнимой осью. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), действительной осью симметрии является ось ОХ, а мнимой осью – ось ОY. Длина отрезка А1А2 = 2А, число А называется действительной полуосью гиперболы. Отложим на мнимой оси гиперболы по обе стороны от центра симметрии O отрезки ОВ1 и ОВ2 длиною B, тогда отрезок В1B2 = 2B называют мнимой осью, а величину B – мнимой полуосью гиперболы.

Из уравнения (2.7) видно, что Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что, следовательно, |X| ³ A. Кривая имеет форму, изображенную на рисунке 2.5. Она располагается вне прямоугольника со сторонами, равными 2А и 2B, с центром в начале координат, и состоит из двух отдельных ветвей, простирающихся в бесконечность (см. рисунок 2.5). Диагонали этого прямоугольника определяются уравнениями

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что(2.8)

И являются Асимптотами гиперболы.

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Если A = B, гипербола называется равносторонней.

Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна 2А и расположена на оси ОХ, а действи-тельная ось равна 2B и расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы (рисунок 2.6) имеет вид (каноническое уравнение гиперболы, если ее фокальная ось – ось Y)

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что(2.9)

Координаты фокусов в этом случае имеет вид F1(0,с) и F2(0,-с).

Гиперболы (2.7) и (2.9) называются Сопряженными гиперболами.

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что

Замечание 2. Эксцентриситетом Гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что(2.10)

Для любой гиперболы ε > 1, это число определяет форму гиперболы.

Пример 2.3. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы

Написать уравнение ее асимптот и вычислить эксцентриситет.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы, для чего обе части уравнения поделим на 144. После сокращения получим

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что.

Отсюда видно, что А2 = 9, т. е. A = 3 и B2 = 16, т. е. B = 4.

Для гиперболы С2 = А2 + B2 = 16 + 9 = 25, отсюда C = 5.

Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:

Эксцентриситет Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что, а уравнения асимптот имеют вид

Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная чтои Составить уравнение гиперболы оси которой совпадают с осями координат зная что.

📸 Видео

Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

ГиперболаСкачать

Гипербола

Фокусы гиперболыСкачать

Фокусы гиперболы

§23 Построение гиперболыСкачать

§23 Построение гиперболы

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

§29 Эксцентриситет гиперболы

§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

§21 Каноническое уравнение гиперболы

Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. ЗадачиСкачать

Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. Задачи

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Математический анализ, 15 урок, АссимптотыСкачать

Математический анализ, 15 урок, Ассимптоты

ЭллипсСкачать

Эллипс

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика

Задание 10. ЕГЭ профиль. Горизонтальные и вертикальные асимптоты гиперболы.Скачать

Задание 10. ЕГЭ профиль. Горизонтальные и вертикальные асимптоты гиперболы.

Графики функций №3 ГиперболаСкачать

Графики функций №3 Гипербола
Поделиться или сохранить к себе: