Квадратные уравнения в трудах аль хорезми (6 видео)

Проект по Математике «Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми»

Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми и алгоритм решения, который использовал ал-Хорезми

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Квадратные уравнения – сквозь века
О чем не знал аль-Хорезми. Мастерская квадратных уравнений. Статья 1
📺 Видео

Видео:Квадратное уравнение (Муса аль-Хорезми)Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
mark_maksim_8a_proekt.docx	107.42 КБ

Видео:Ал-Хорезми и квадратные уравненияСкачать

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №313

Фрунзенского района Санкт-Петербурга

Проект по Математике

«Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми»

Ученик 8 «А» класса

Учитель по Математике

2018-2019 уч. год

Я считаю выбранная мною тема является актуальной и в наше время именно из-за того, что она относится к теме уравнений в математике. Уравнения – это, пожалуй, самая важная часть математики, ведь именно к ним, в основном, сводятся все задачи, гипотезы, вопросы и загадки данной науки.

Цель моего проекта – рассказать слушателям о том, как ал-Хорезми решал квадратные и линейные уравнения. Я хочу чтобы люди узнали о том, как можно решать уравнения иными способами, не похожими на те, к которым мы привыкли.

Я ставлю перед собой задачу рассказать слушателям о методе выделения полного квадрата, которым пользовался ал-Хорезми. Также я хочу чтобы кто-то из слушателей узнал что-то новое о математике, начал использовать представленный мною метод. Мне необходимо раскрыть тему проекта и объяснить все понятным для каждого языком.

4. Методы исследования:

Методы исследования данного проекта – изучение и обобщение, а также анализ информации из учебной литературы и интернета. Можно еще добавить то, что я также использовал метод ал-Хорезми и на практике, при решении квадратных уравнений.

5. Объект исследования:

Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми и алгоритм решения, который использовал ал-Хорезми.

6. Практическая значимость:

Метод выделения полного квадрата ал-Хорезми можно применять и на практике, например, при решении квадратных уравнений. Но, есть проблема связанная с отрицательными числами, ведь метод ал-Хорезми не подразумевает работу с ними.

В IX веке ал-Хорезми написал трактат, в котором он собственно и дал название алгебре (от «ал-джебр»). Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. В этом трактате он рассмотрел различные приемы решения уравнений: 1. «ал-джебр», то есть «восстановление», или же простым языком – перенос слагаемых.

2. «вал-мукабала», то есть «приведение», или же простым языком – отбрасывание слагаемых. С помощью этих приемов ал-Хорезми решал линейные и квадратные уравнения. В алгебраическом трактате ал – Хорезми также дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Ал — Хорезми избегал употребления отрицательных чисел, поэтому члены каждого уравнения слагаемые, а не вычитаемые, то есть, в своих уравнениях он рассматривал только действия сложения. При этом он заведомо не брал во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Ал-Хорезми любое линейное или квадратное уравнение всегда приводил к одному из шести видов уравнений, которые он знал, а затем решал его, используя приемы ал-джебр и ал-мукабала.

Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Например, уравнение x 2 +12x-40=2x-1 ал-Хорезми решил бы следующим образом:

1. Применил бы «ал-джебр» (перенес бы «вычитание» из одной части уравнения в другую) и получил бы x 2 +12x+1=2x+40;

2. Применил бы «вал-мукабала» (отбрасывая из каждой части уравнения 1 и 2x) и получил бы x 2 +10x=39.

При решении уравнения x 2 +10x=39 в своем трактате «Китаб ал-джебр вал-мукабала» ал-Хорезми приводит фактически геометрическую иллюстрацию вывода формулы корней квадратного уравнения методом выделения полного квадрата.

Ал-Хорезми рассуждал так: площадь большого квадрата равна (x+5) 2 . Эта площадь складывается из площади закрашенной фигуры, равной x 2 +10x (что соответствует левой части уравнения) и площади четырех квадратов со сторонами 5/2 (пять вторых), равной 25. Значит, (x+5) 2 =39+25, откуда x+5=8 (значение x+5=-8 в то время не рассматривалось) и, значит, x=3.

Также, в трактате ал-Хорезми есть такая задача:

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так:

1. Раздели пополам число корней (получишь 5);

2. Умножь пять на само себя и отними от полученного 21 (получишь 4);

3. Извлеки корень из 4 (получишь 2) и отними 2 от 5 , получишь 3, это и будет корень!(Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень).

Видео:как аль Хорезми решал квадр уравненияСкачать

Квадратные уравнения – сквозь века

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные:
- расширение и углубление представлений учащихся о решении квадратных уравнений,
- обеспечение повторения, обобщения и систематизации знаний по решению квадратных уравнений.
Развивающие:
- способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи,
- развитие творчества, умения анализировать,
Воспитательные:
- содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться.

Задачи:

развивать интерес к предмету,
продолжать формирование общеучебных навыков,
сделать вывод о связи геометрии и алгебры,
дать историческое видение решения квадратных уравнений,
развивать различные способы анализа,
воспитывать математически грамотную личность.

1. Втупительное слово учителя

– Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Сегодня на уроке мы будем решать квадратные уравнения, которые уже решали на уроках алгебры в 8 классе. Только познакомимся с теми способами, которые не представлены в Вашем учебнике. Сегодня у нас урок-путешествие.

В развитии математики можно выделить четыре основных этапа:

Древний Вавилон
Античный мир
Эпоха Возрождения в Европе
Средневековый Восток

– Посмотрим, каким же образом решали квадратные уравнения в различные времена и похожи ли эти решения на современное.
Вспомним стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения:

Алгоритм строится на доске учителем, помогают учащиеся. По ходу построения схемы можно задавать наводящие вопросы:
– На что обращаем внимание, увидев квадратное уравнение?
– Стандартный вид, полное или неполное, приведенное или нет?
– Отмечаем другим цветом общий случай решения квадратного уравнения Повторяем теорему Виета.
– Теперь же отправимся в глубину веков и сначала посетим древний Вавилон.

3. Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

– Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от непосвященных. Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
При разборе задачи удобно разделить доску на две части. На одной записывать указания с клинописных табличек, на другой – стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

Задача 1.

Решение древних	Современное решение
Я вычел из площади одну сторону моего квадрата и получил 870.

Взял эту одну и разделил пополам

Умножил на саму себя.

Что является квадратом 29 ?

( = 29 )

Сложим то, что получили с первой половиной ()

Прибавили то, что было

x₁ = 30.х 2 – bx – c = 0

добавили свободный член

и получили формулу для четного коэффициента

Задаем вопрос: «Что настораживает, кажется странным?»

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x₂ = – 29 (его легко найти по теореме, обратной теореме Виета). В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень.

Задача 2.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. Найди длину и ширину.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. О какой фигуре идет речь?

Можно догадаться, что речь идет о прямоугольнике со сторонами х и у.

Записываем систему уравнений, используя условие задачи.

– Каким образом можно решить систему?

1) Можно использовать способ подстановки.
2) Можно записать по теореме Виета квадратное уравнение и решить его.

Найди квадрат длины и ширины, взятых вместе:

Квадрат длины и ширины, взятых вместе равен 196. (Раскрываем скобки)

Возьми четыре площади – это 160.

Вычти из квадрата эти четыре площади, получишь 36.

196 – 160 = 36

(х – у)2 = 36

Найди корень. Это 6. x – y = 6

Предполагается, что длина больше ширины ( х > у). Это значит, что длина превосходит ширину на 6. Сложи длину и ширину с их разностью.

(x + y) + (x – y) =14 + 6. Это будет 20.
2x = 20. Две длины равны 20, значит одна длина 10.
x = 10.
Из суммы вычти разность.
(x + y) – (x – y) = 14 – 6
2y = 8
y = 8

Ответ: длина 8, ширина 6.

Для простых систем уравнений удобно было пользоваться стандартными способами, для более сложных – искали свои пути решения (это будет позднее).
Перенесемся теперь в Античный мир.

4. Античный мир (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид)

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид. Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило – делай как я).
В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Геометрия в то время считалась наукой всех наук.
Поэтому теперь посмотрим на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 3.

Дано уравнение:

Отрицательных чисел в те века еще не знали, приблизился к ним только Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты р > 0, q > 0. x = .

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

.

Выполним построение прямоугольного треугольника с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА = (РА – гипотенуза). От точки Р отложим вправо отрезок РМ = (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

СМ = x₁ = , КМ = x₂ = , (РС = РА = РК = ).

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности часто встречался синтез алгебры с геометрией.

Теперь отправимся на дальше.

5. Средневековый Восток (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах, поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове.
Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых. Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax 2 + bx = c ( квадраты и корни равны)
ax 2 + c = bx (квадраты и числа равны корням)
ax 2 = bx + c (корни и числа равны квадратам)
ax 2 = bx (квадраты равны корням)
ax 2 = c ( квадраты равны числу)

Почему? В то время еще не знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический.

Задача 4.

Квадрат и десять его корней равны 39. Рассмотрим геометрическое решение уравнения х 2 + 10х = 39.
Рисуем квадрат, сторона которого обозначается неизвестной величиной х.
x 2 – площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x

Раздвои число корней (корней 10, раздвоили, получили 5). Построй большой квадрат.
Площадь маленького квадрата 25.Площадь заштрихованной фигуры 39.
Что можем найти? Площадь большого квадрата равна 39 + 25 = 64
Вся площадь целиком S_ABCD = 64. т.е. (х + 5) = 64, х = 3
Возникает вопрос: «Где ещё один корень?». Второй корень отрицательный. (По теореме Виета – 39 : 3 = – 13 ). х₂ = – 13
(Раздвоить прямоугольники удалось легко за счёт четного коэффициента. Этот наглядно, красиво, просто, но тяжело для других уравнений. Поэтому такой способ решения не развился дальше.)

6. Европа. Эпоха Возрождения (рассмотрим конкретное время – XVI век н. э. Франсуа Виет)

Невозможно сейчас представить математику специальных обозначений. Создателем алгебраической символики и формул по праву считается французский математик Франсуа Виет.. Он писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид». Хотя символика Виета и обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед. А вот древние математики вполне обходились без буквенных обозначений и специальных правил оперирования с ними.
Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику. Но вскоре он стал секретарем и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. Тогда Виет очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии. Знакомство Виета с Генрихом Наваррским, будущим королем Франции Генрихом IV помогло Виету занять видную придворную должность – тайного советника.
Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля в Нидерландах для переписки с испанским двором. Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. Только Виет быстро нашел ключ. Испанцы не представляли себе всего могущества человеческого ума. Они думали, что французам помогает дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили его уничтожить дьявольскую силу.

Задача 5.

Рассмотрим уравнение х 2 – 6х – 16 = 0. Вводим новую переменную (на первый взгляд усложняем уравнение, но посмотрим, к чему это приведёт).

Мы хотим получить неполное квадратное уравнение, при каком значении а это получится?

Основа метода – любое полное уравнение заменой переменных сводим к неполному квадратному уравнению.
Эта идея дала толчок развитию математики. Появился вопрос: «А можно ли решать уравнения третьей, четвёртой, пятой и высших степеней. Существует ли общий метод решения более сложных уравнений?»
Формула решения квадратного уравнения известна с незапамятных времен. В XVI в. Итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции ( сложение, вычитание, умножение и деление. ) и извлечение корней степени не превышающей степень уравнения. Кроме того все уравнения данной степени можно «обслужить» одной формулой. После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Общей формулы для таких уравнений не существует. Это доказал молодой норвежский ученый Нильс Хенрик Абель. Однако, это не означает, что невозможно решить те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Новые открытия в решении уравнений сделал французский ученый Эварист Галуа. Эварист Галуа погиб на дуэли в 20 лет. Свои результаты он изложил в письме, написанном в ночь перед поединком. Потребовались десятилетия, чтобы теория Галуа стала понятна математикам.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Алгебра и геометрия – взаимосвязаны.

Рассмотренные методы решения квадратных уравнений могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников, дают возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся решить следующие квадратные уравнения различными способами.

1. x 2 – 10x – 9 = 0 решить способом в стиле Виета, аль-Хорезми.
2. x 2 – 10x + 9 = 0 решить способом в стиле Евклида.
3. 2x 2 – x – 1 = 0 решить способом в стиле Виета.
4. x 2 – 4x + 3 = 0 подобрать способ решения в стиле Евклида.
5. x 2 – 10x = 16 подобрать способ решения в стиле аль-Хорезми.

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

О чем не знал аль-Хорезми. Мастерская квадратных уравнений. Статья 1

Материал статьи можно использовать для самостоятельного изучения квадратных уравнений или для того, чтобы вспомнить забытое. Главное – достигнуть глубокого понимания темы.

Уравнения вида:ax2+bx+c=0 (причем a0)называются квадратными. Это общая формула, где a, b, c – параметры (переменные, которым в конкретной задаче даются численные значения), а х – неизвестная. С уравнениями такого типа связан также график квадратичной функции. Это очень простые уравнения, чуть сложнее линейных. Однако разобраться в их «устройстве» очень важно, и не только для решения задач, но и потому что это первый шаг по пути изучения уравнений произвольной степени.Впервые полная формула решения квадратного уравнения была найдена в IX веке средневековой Индии, где работали выдающиеся математики того времени Магавира, Бхаскара, Ариабхата…Почти одновременно квадратными уравнениями занялись арабы и европейцы. Но в отличие от индийских математиков, они не умели работать с отрицательными числами, поэтому общее решение разбивалось на множество частных случаев.В своем знаменитом произведении «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабала» великий арабский математик Мухамед ал-Хорезми приводит 6 вариантов. Например, ax2+bx=c рассматривалось отдельно от ax2+c=bx из-за того, что b и с были положительными числами. Но даже и это сочинение, попав в Европу, настолько поразило европейских математиков, которые ни о чем подобном даже и не подозревали, что заговорили о новой науке алгебре, названной по созвучию с «ал-джабра» из трактата Мухаммеда аль-Хорезми. Так возникла алгебра.Путаница продолжалась до тех пор, пока не «открыли», как соединить разрозненные варианты, применить отрицательные числа. А в Индии это было известно уже задолго до того. В те века Восток обгонял Запад. Стремительное развитие западной науки началось только в эпоху Возрождения.Заглянем сначала в книгу аль-Хорезми. Обоснования решений там на древнегреческий манер – геометрические. Вот как, например, объясняется решение уравнения x2+10x=39. Пристроим к двум сторонам квадрата, закрашенного серым цветом, со стороной х два прямоугольника, со сторонами х и 5 (10 пополам). Тогда получившуюся фигуру, площадь которой x2+2·5x=39, до полного квадрата следует дополнить только одним квадратом со стороной, равной 5. Площадь большого квадрата 39+25=64, сторона его 8=x+5, тогда х=3.Красиво, не правда ли? Неудивительно, что небольшая, в 60 страниц, книжечка аль-Хорезми, полная такими изящными доказательствами, оказала огромное влияние на развитие математики.Как мы уже говорили выше, аль-Хорезми и другие арабские математики не применяли отрицательных чисел. Однако мы-то уже умеем с ними работать. Так вот, попробуем применить эту идею к действительным (то есть к положительным и отрицательным) числам. Тогда мы получим уравнениеx2+10x-39=0.Левая часть этого уравнения похожа на левую часть формулы квадрата суммы: x2+2·5x+52=(x+5)2.То, что мы сейчас попытаемся сделать, называется «выделение полного квадрата». Это своего рода искусственный прием, во многом аналогичный тому, что аль-Хорезми делал с чертежом. Мы начнем писать наше уравнение так:x2+2·5x+52…«Эй! – скажете вы. – Но ведь мы должны написать не 52 =25, а -39!» Хорошо. Мы прибавили 52, давайте это и вычтем, чтобы ничего не изменилось, а потом напишем -39:x2+2·5x+52-52-39=0.Хитро? Теперь – преобразуем:(x+5)2-64=0.В результате простых преобразований мы получили, что (x+5)2=64. Практически мы сделали почти то же самое, что и аль-Хорезми, только с формулами. Но что же дальше? В отличие от великого хорезмийца, мы теперь можем утверждать, что x+5=±8. (Потому что если квадрат числа равен 64, то это либо 8, либо -8, так как (-8)2 тоже равно (-8)(-8)=64). То есть кроме корня х=3 должен быть еще корень -13=-8-5, о котором аль-Хорезми ничего не знал.Рассказывают такую легенду. Однажды знаменитый багдадский купец Синдбад-Мореход хотел взять шелковую ткань в кредит у ткача. Тот поинтересовался, насколько богат Синдбад и сможет ли он отдать долг. Купец ответил:- Если количество мешков с золотыми монетами, которыми я владею, возвести в квадрат и к получившемуся прибавить удесятеренное число мешков, которыми я владею, то получится 39 мешков. Клянусь жизнью, что это истина, достопочтенный ткач.Ткач провел вычисления точно по трактату аль-Хорезми и узнал, что Синдбад владеет тремя мешками золотых монет.«Богатый человек», – подумал ткач и отпустил Синдбаду товаров в кредит.А вечером, беседуя с друзьями в чайхане, ткач узнал, что Синдбад не только не имеет ничего за душой, но и должен всем и каждому. Тогда ткач потребовал арестовать Синдбада.- Ты поклялся жизнью, что твои слова – истина. Поэтому я требую, чтобы тебе отрубили голову на главной площади Багдада.- Давай посчитаем, – сказал Синдбад. – В сумме я должен 13 мешков золота. Возведем 13 в квадрат и получим 169. А как утверждают все математики, например Диофант в своей книге «Арифметика», перемножение двух долгов, то есть отрицательных чисел, дает положительное число. Теперь умножим долг в 13 мешков на 10, получим долг в 130 мешков – верно?- Верно, большой долг, – подтвердил ткач.- А теперь прибавим к 169 мешкам долг в 130 мешков, то есть вычтем 130 из 169. Получим… 39 мешков, как я тебе и сказал!Пересчитав все это еще раз, ткач убедился, что Синдбад был совершенно прав.- Вот теперь я вижу, что ты поистине честный человек, – сказал ткач.Они пожали друг другу руки и разошлись. Вот и вся история.Формулы, которые в школе изучают за пару уроков, в действительности создавались десятилетиями и даже веками, и людям потребовалось много выдумки и творческих усилий, поисков и открытий, чтобы продвинуться в понимании, казалось бы, даже несложных проблем.