Квадратные уравнения с помощью номограммы

Для уравнения z2 – 9 z + 8 = 0,

номограмма дает корни z = 8,0 и z2 = 1,0

2. Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 – 9z + 8 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z – 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z= 4 и z= 0,5

3. Решить самостоятельно:

4. Проверить полученные результаты:

Для уравнения z2 + 5z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из

– р, т. е. z 2 = – р –1 = – 5 – 1 = – 6,0

Для решения уравнения z2 – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z=4,0, отрицательный корень равен z= – р – z= 2–4 = – 2

Уравнения для закрепления:

С каким способом познакомились?

· Каков план решения при этом способе?

· Какие могут быть варианты при решении уравнения данным способом?

1) Решить уравнения с помощью номограмм:

2) В теоретическом материале:

— Доказать подобие треугольников

— Подготовить алгоритм решения квадратного уравнения с помощью номограмм

(План решения с помощью номограмм может быть таким:

1. Отметить числа, соответствующие коэффициентам квадратного уравнения z2 + рz + q = 0 на вертикальных осях

2. Соединить их отрезком

3. На шкале определить числа, соответствующие точкам пересечения отрезка и осей

— Если оба корня положительные, то получаем ответ

— Если один из корней отрицательный на шкале получим один корень, а второй корень найдем, используя теорему Виета)

4. Подумать над вариантами решения уравнений (если не предложат, то:

— Если оба корня отрицательные

— Если коэффициенты выходят за пределы шкалы)

На следующем занятии рассмотрим остальные возможные случаи решения уравнений способом номограмм.

Вычислить квадратные корни из 784, 841, 1156, 3364, 2116 без таблиц

Выбрать цвет соответствующий состоянию в конце занятия

· Зеленый – все понятно в новом способе

· Желтый – не совсем понятно

· Красный – все непонятно, требуется помощь

1. Брадис математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. – М.: Просвещение, 1990. С. 83.

2. Клюквин , 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. – М.: Просвещение, 1963.

3. , Рубанов по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: высшая школа, 1969.

4. Математика (приложение к газете «Первое сентября), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Пресман АА. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М.: Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник B. C., Милое вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. – М., Высшая школа, 1973.

7. 7. И. Сборник задач по алгебре и элементарным
функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М.: Просвещение,1970

8. , Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М.: 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949;

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Квадратные уравнения с помощью номограммы

Введение

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.У.У. Сойер

(английский математик XX века)

Актуальность исследования:

Я выбрала эту тему, потому что моя подруга попросила объяснить, как решаются квадратные уравнения и найти для неё самый лёгкий и рациональный способ решения. В процессе поиска легкого и рационального способа я обнаружила, что существует множество способов решения квадратного уравнения, больше, чем предусмотрено в школьной программе. Мне стало интересно: «Какие ещё способы решения квадратных уравнений существуют и почему мы их не рассматриваем на уроках алгебры?»

Гипотеза: Я предположила, что в школьных учебниках дана неполная информация о квадратных уравнениях и способах их решения, потому что другие способы сложные и нерациональные.

Цель исследования: изучить различные способы решения квадратных уравнений и научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Задачи:

найти необходимую информацию по данной теме;

разобрать все способы на 6 примерах;

провести опрос среди одноклассников и продемонстрировать результаты моего исследования;

выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

изучение литературы по теме исследования;

анализ полученной информации;

сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.

Ожидаемые результаты:

Создать наглядные пособия по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, которую можно использовать учителю на уроке и стенда в помощь школьникам.

1. Теоретическая часть:

1.1.Определение квадратного уравнения и его виды

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0,

гдех — переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х;с – свободный член или свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть это многочлен второй степени

Если старший коэффициент равен 1, то квадратное уравнение вида х² + рх + q = 0 называют приведенным. Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты bи с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Коэффициент а всегда присутствует в квадратном уравнении, а ≠ 0.

1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах 2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах 2 = 0.

Корнем квадратного уравненияax 2 + bx + c = 0, называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + cобращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Я в своей работе буду разбирать способы решения только на полных неприведенных квадратных уравнениях и полных приведенных квадратных уравнениях. Неполные квадратные уравнения в своей работе я не рассматривала.

1.2. Способы решения квадратных уравнений

С помощью учителя математики я выяснила, какие способы решения квадратных уравнений существуют, это:

Решение квадратных уравнений по формуле.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета.

Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Решение квадратного уравнения графическим способом.

Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

В этой части своей работы я подробно описала суть каждого способа. Начала с тех способов, которые есть в учебнике.

I способ: Решение квадратных уравнений по формуле.

1. Уравнение вида: ax 2 + bx + c = 0, можно решить по формулам на рисунке 1.

Число действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта D = b 2 − 4ac.

2.Если второй коэффициент b = 2k– четное число, то решить уравнение можно по формулам на рисунке 2:

Рис. 1

Рис. 2

II способ: Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета.

Познакомили поэта с теоремою Виета.Оба корня он сложил, минус p он получил.А корней произведенье дает q из уравнения.

Если приведенное квадратное уравнение х² + рх + q = 0 имеет действительные корниx₁иx₂, то их сумма равна —p, а произведение равно q, то есть:

x₁ + x₂ = –p,

x₁x₂ = q.

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равносвободному члену.

В общем случае квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 теорема Виета формулируется так: если x₁ и x₂– корни данного уравнения , то

Франсуа Виет – французский математик (1540-1603) (Рис. 3), известен как разработчик элементарной алгебры. [1]

Рис. 3

III способ: Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0,, гдеа ≠ 0.

1 0 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = с/а.

2 0 Если а + с = b (т.е. сумма крайних коэффициентов равна среднему коэффициенту), то х₁ = -1, х₂ = — с/а.

3 0 Если дано уравнение вида: ax 2 + (а 2 + 1)x + а = 0, то х₁ = -а, х₂ = — 1/а.

IV способ:Решение квадратного уравнения графическим способом.

Перенести в уравнении aх 2 + bx + c = 0 второй и третий члены в правую часть, получим aх 2 = — bx — c.

Разделим обе части уравнения на коэффициент а ≠ 0.

Получаем уравнение: х 2 = — px – q, где p=b/a и q=c/a.

Построим в одной системе координат графики зависимости: у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая (Рис. 4).

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Рис. 4

V способ: Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

Необходимо привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х) = 0, где А(х)и В(х)– многочлены относительно х.

Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при:А(х)=0или В(х)=0.

VI способ:Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.

Необходимо привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения: (а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 .

VII способ: Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, гдеа ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Найдем его корни у₁и у₂. Окончательно получаем х₁ = у₁/аи х₁ = у₂/а.

При этом способе, коэффициент а, умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

VIII способ:Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Построим точки S (центр окружности) и A(0; 1).

Проведем окружность с радиусом SA;

Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. (Рис. 5).

Рис. 5

Возможны следующие случаи:

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Если SА = SК, окружность касается оси ОХ в точке B(К)(х₁; 0), где х₁ – корень квадратного уравнения (Рис. 7).

Если SА 2 + pz + q = 0.

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. (Рис. 9).

Рис. 9

X способ: Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.[4]

Пусть P(x) = ax 2 + bx + c.

Теорема Безу: Остаток при делении многочлена P(x) на многочлен х – а равен значению этого многочлена при х = а, то есть P(а).

Разложение на множители с помощью угадывания корней:

Из теоремы Безу следует, что многочлен P(x) делится без остатка на многочлен х – а тогда и только тогда, когда Р(а) = 0. Поэтому для разложения многочлена P(x) на множители достаточно угадать какой-нибудь кореньa уравнения P(x)=0 и разделить P(x) на x−a, тем самым разложив его на два множителя.

Итак, что дает нам Теорема Безу?

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена и искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0.

Для этого надо:

Найти делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а.

Найти делители трехчлена : ±с, ±с/а

Подставитьих в левую часть уравнения и проверить будет лиP(x)=0, если да, то х = корень уравненияax 2 + bx + c = 0

Разделим ax 2 + bx + cна (х — )

Остается решить уравнение: Q(x) = 0.

Этьен Безу (1730 — 1783)- французский математик. (Рис. 10).

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре. Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося.[5]

Рис. 10

В практической части исследования я для чистоты эксперимента рассмотрела все способы на примере решения 6 уравнений.Сначала я решила данные уравнения способами, которые есть в учебнике. Практическая часть находится в приложении.

2. Результаты исследования

В ходе исследовательской работы была проведена самостоятельная работа среди моих одноклассников, целью которой было выявить, какими способами решения квадратного уравнения они владеют. Им было предложено решить 6 данных квадратных уравнений.

Результаты проверки показали, что большая часть тестируемых, находили корни уравнений с помощью общей формулы корней. Таких учащихся оказалось порядка 90%. Из них, формулу для четного коэффициента применили, только 40%.С помощью теоремы Виета корни приведенных уравнений нашли – 10% учащихся, а другими способами –0 % .

На следующем этапе моей работы я продемонстрировала с помощью презентации результаты моей исследовательской работы.

Проделанная мной работа заинтересовала учащихся. Я попросила дать характеристику способов решения квадратного уравнения по таким критериям, как:

Далее попросила заполнить таблицу. Результаты внесены в таблицу №1.

📸 Видео

НомограммаСкачать

Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Решение квадратных уравнений методом группировкиСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравненийСкачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)Скачать

АЛГЕБРА 8 класс : Графическое решение квадратных уравнений | ВидеоурокСкачать