Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Этими факторами объясняется причина создания данной статьи. Материал статьи подобран и структурирован так, что с его помощью Вы сможете

  • подобрать оптимальный метод решения Вашей системы линейных алгебраических уравнений,
  • изучить теорию выбранного метода,
  • решить Вашу систему линейных уравнений, рассмотрев подробно разобранные решения характерных примеров и задач.

Краткое описание материала статьи.

Сначала дадим все необходимые определения, понятия и введем обозначения.

Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение. Во-первых, остановимся на методе Крамера, во-вторых, покажем матричный метод решения таких систем уравнений, в-третьих, разберем метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных переменных). Для закрепления теории обязательно решим несколько СЛАУ различными способами.

После этого перейдем к решению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных или основная матрица системы является вырожденной. Сформулируем теорему Кронекера — Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы. Также рассмотрим метод Гаусса и подробно опишем решения примеров.

Обязательно остановимся на структуре общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Дадим понятие фундаментальной системы решений и покажем, как записывается общее решение СЛАУ с помощью векторов фундаментальной системы решений. Для лучшего понимания разберем несколько примеров.

В заключении рассмотрим системы уравнений, сводящиеся к линейным, а также различные задачи, при решении которых возникают СЛАУ.

Навигация по странице.

Содержание
  1. Определения, понятия, обозначения.
  2. Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.
  3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
  4. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
  5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
  6. Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  7. Теорема Кронекера – Капелли.
  8. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  9. Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.
  10. Решение систем уравнений, сводящихся к СЛАУ.
  11. Векторная форма записи общего решения неоднородной системы уравнений
  12. Структура общего решения системы уравнений
  13. Свойства решений однородной системы уравнений
  14. Алгоритм решения однородной системы уравнений
  15. Структура общего решения неоднородной системы уравнений
  16. Свойства решений неоднородной системы уравнений
  17. Алгоритм решения неоднородной системы уравнений
  18. 🎦 Видео

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Определения, понятия, обозначения.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными ( p может быть равно n ) вида
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— неизвестные переменные, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме,
где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— основная матрица системы, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— матрица-столбец неизвестных переменных, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т , а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формепри данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными. Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, следом брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Разберем их.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Пусть Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— определитель основной матрицы системы, а Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Решите систему линейных уравнений методом Крамера Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Основная матрица системы имеет вид Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью определитель матрицы: определение, методы вычисления, примеры, решения):
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Составим и вычислим необходимые определители Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме(определитель Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеполучаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, определитель Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— заменив второй столбец на столбец свободных членов, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов):
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Находим неизвестные переменные по формулам Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех.

Для более детальной информации смотрите раздел метод Крамера: вывод формул, примеры, решения.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Если умножить обе части равенства Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формена Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеслева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Решите систему линейных уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формематричным методом.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Так как
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Построим обратную матрицу Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формес помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А (при необходимости смотрите статью методы нахождения обратной матрицы):
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Осталось вычислить Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формена матрицу-столбец свободных членов Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме(при необходимости смотрите статью операции над матрицами):
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеили в другой записи x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1 .

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n неизвестными переменными Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находится xn , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1 , и так далее, из первого уравнения находится x1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Система уравнений после таких преобразований примет вид
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, а Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Будем считать, что Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме(в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой , где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Система уравнений после таких преобразований примет вид
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, а Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

Решите систему линейных уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеметодом Гаусса.

Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеи на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формесоответственно:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Теперь из третьего уравнения исключим x2 , прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3 :
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Из второго уравнения получаем Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Более детальную информацию и дополнительные примеры смотрите в разделе решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

В общем случае число уравнений системы p не совпадает с числом неизвестных переменных n :
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам уравнений, основная матрица которых квадратная и вырожденная.

Далее нам потребуется понятие минора матрицы и ранга матрицы, которые даны в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Теорема Кронекера – Капелли.

Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли:
для того, чтобы система из p уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T) .

Рассмотрим на примере применение теоремы Кронекера – Капелли для определения совместности системы линейных уравнений.

Выясните, имеет ли система линейных уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формерешения.

Найдем ранг основной матрицы системы Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор второго порядка Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеотличен от нуля. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной матрицы равен двум.

В свою очередь ранг расширенной матрицы Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеравен трем, так как минор третьего порядка
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
отличен от нуля.

Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли можно сделать вывод, что исходная система линейных уравнений несовместна.

система решений не имеет.

Итак, мы научились устанавливать несовместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли.

А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?

Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.

Минор наивысшего порядка матрицы А , отличный от нуля, называется базисным.

Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.

Для примера рассмотрим матрицу Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как элементы третьей строки этой матрицы представляют собой сумму соответствующих элементов первой и второй строк.

Базисными являются следующие миноры второго порядка, так как они отличны от нуля
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Миноры Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формебазисными не являются, так как равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.

Если ранг матрицы порядка p на n равен r , то все элементы строк (и столбцов) матрицы, не образующие выбранный базисный минор, линейно выражаются через соответствующие элементы строк (и столбцов), образующих базисный минор.

Что нам дает теорема о ранге матрицы?

Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r ), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений).

В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая.

Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Решите систему линейных алгебраических уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Ранг основной матрицы системы Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеравен двум, так как минор второго порядка Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеотличен от нуля. Ранг расширенной матрицы Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форметакже равен двум, так как единственный минор третьего порядка равен нулю
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
а рассмотренный выше минор второго порядка отличен от нуля. На основании теоремы Кронекера – Капелли можно утверждать совместность исходной системы линейных уравнений, так как Rank(A)=Rank(T)=2 .

В качестве базисного минора возьмем Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Его образуют коэффициенты первого и второго уравнений:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, поэтому исключим его из системы на основании теоремы о ранге матрицы:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Так мы получили элементарную систему линейных алгебраических уравнений. Решим ее методом Крамера:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных переменных n , то в левых частях уравнений оставляем слагаемые, образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые части уравнений системы с противоположным знаком.

Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях уравнений, называются основными.

Неизвестные переменные (их штук), которые оказались в правых частях, называются свободными.

Теперь считаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных будут выражаться через свободные неизвестные переменные единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Разберем на примере.

Решите систему линейных алгебраических уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Найдем ранг основной матрицы системы Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеметодом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем . Начнем поиск ненулевого минора второго порядка, окаймляющего данный минор:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Так мы нашли ненулевой минор второго порядка. Начнем поиск ненулевого окаймляющего минора третьего порядка:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Таким образом, ранг основной матрицы равен трем. Ранг расширенной матрицы также равен трем, то есть, система совместна.

Найденный ненулевой минор третьего порядка возьмем в качестве базисного.

Для наглядности покажем элементы, образующие базисный минор:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, участвующие в базисном миноре, остальные переносим с противоположными знаками в правые части:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Придадим свободным неизвестным переменным x2 и x5 произвольные значения, то есть, примем Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— произвольные числа. При этом СЛАУ примет вид
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Полученную элементарную систему линейных алгебраических уравнений решим методом Крамера:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Следовательно, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

В ответе не забываем указать свободные неизвестные переменные.

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— произвольные числа.

Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений общего вида, сначала выясняем ее совместность, используя теорему Кронекера – Капелли. Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то делаем вывод о несовместности системы.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то выбираем базисный минор и отбрасываем уравнения системы, которые не участвуют в образовании выбранного базисного минора.

Если порядок базисного минора равен числу неизвестных переменных, то СЛАУ имеет единственное решение, которое находим любым известным нам методом.

Если порядок базисного минора меньше числа неизвестных переменных, то в левой части уравнений системы оставляем слагаемые с основными неизвестными переменными, остальные слагаемые переносим в правые части и придаем свободным неизвестным переменным произвольные значения. Из полученной системы линейных уравнений находим основные неизвестные переменные методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Методом Гаусса можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого вида без предварительного их исследования на совместность. Процесс последовательного исключения неизвестных переменных позволяет сделать вывод как о совместности, так и о несовместности СЛАУ, а в случае существования решения дает возможность отыскать его.

С точки зрения вычислительной работы метод Гаусса является предпочтительным.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

В этом разделе речь пойдет о совместных однородных и неоднородных системах линейных алгебраических уравнений, имеющих бесконечное множество решений.

Разберемся сначала с однородными системами.

Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.

Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как ( – это матрицы столбцы размерности n на 1 ), то общее решение этой однородной системы Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формепредставляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами , то есть, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)?

Смысл прост: формула Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формезадает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянных , по формуле Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формемы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ.

Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.

Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1,0,0,…,0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X (1) — первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0,1,0,0,…,0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X (2) . И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0,0,…,0,1 и вычислим основные неизвестные, то получим X (n-r) . Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, где Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— общее решение соответствующей однородной системы, а Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме— частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0,0,…,0 и вычислив значения основных неизвестных.

Разберем на примерах.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум. Базисным минором возьмем Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме. Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X (1) придадим свободным неизвестным переменным значения , тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Решим ее методом Крамера:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Таким образом, Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Теперь построим X (2) . Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения , тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Опять воспользуемся методом Крамера:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Получаем Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формеи Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, где C1 и C2 – произвольные числа.

Найдите общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Общее решение этой системы уравнений будем искать в виде Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Исходной неоднородной СЛАУ соответствует однородная система
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
общее решение которой мы нашли в предыдущем примере
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Следовательно, нам осталось найти частное решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме.

Ранг основной матрицы системы равен двум, ранг расширенной матрицы системы также равен двум, так как все миноры третьего порядка, окаймляющие минор Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, равны нулю. Также примем минор Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формев качестве базисного, исключим третье уравнение из системы и перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правые части уравнений системы:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Для нахождения Как представить решение системы линейных уравнений в векторной формепридадим свободным неизвестным переменным значения , тогда система уравнений примет вид Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, откуда методом Крамера найдем основные неизвестные переменные:
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Имеем Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме, следовательно,
Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме
где C1 и C2 – произвольные числа.

Следует заметить, что решения неопределенной однородной системы линейных алгебраических уравнений порождают линейное пространство размерности , базисом которого является фундаментальная система решений.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Решение систем уравнений, сводящихся к СЛАУ.

Некоторые системы уравнений с помощью замены переменных можно свести к линейным. Рассмотрим несколько примеров.

Видео:Графический и векторный способ решения систем линейных уравнений.Скачать

Графический и векторный способ решения систем линейных уравнений.

Векторная форма записи общего решения неоднородной системы уравнений

Общее решение неоднородной системы уравнений АХ = В равняется сумме частного решения этой системы К и линейной комбинации решений фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы уравнений АХ = 0, т.е.

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

где К — какое-либо решение неоднородной системы уравнений АХ= В:

FvF2, . Fk — фундаментальная система решений однородной системы уравнений АХ = 0;

1. Подставим X = К + F1tl + F2t2+ . + Fktk в уравнение АХ = В, получим Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

так как векторы Fv /у, . /у являются решениями однородной системы АХ = 0.

Следовательно, X является решением системы АХ = В.

2. Покажем, что любое решение уравнения АХ = В имеет вид

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Пусть К — некоторое частное решение уравнения АХ = B,L — любое другое решение этого же уравнения. Разность этих решений (L — К) является решением однородного уравнения АХ = 0. Действительно, A(L — К) = AL — АК = В — В = 0. Поэтому L — К является линейной комбинацией векторов-решений фундаментальной системы однородной системы уравнений, т.е.

Отсюда Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Пример 4.2. Найти и записать в векторном виде общее решение системы уравнений Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Решение. Приводим исходную систему уравнений к равносильной разрешенной системе уравнений. Последовательность вычислений приведена в таблице.

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

В результате получаем

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

В качестве частного решения этой системы уравнений можно взять ее базисное решение. Полагаем х3 = х4 = х5 = 0, получаем х = 2,

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Найдем фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений

Как представить решение системы линейных уравнений в векторной форме

Находим три линейно независимых частных решения этой системы. Задавая свободным неизвестным значения х3 = 1, х4 = 0, х5 = О, находим х = 4, х2 = 1. Имеем частное решение /у = (-4, 1, 1, 0, 0). Задавая свободным неизвестным значения х., = 0, х4 = 1, х = 0, находим значения х = -4, х2 = -3. Имеем частное решение F2 = (-4, -3, 0, 1, 0). Задавая свободным неизвестным значения х., = 0, х4 = 0, х = 1 находим х< = -5, х2 = -1. Имеем частное решение F3 = (-5, -1, 0, 0, 1). Данные вычисления удобно записать в виде таблицы.

Видео:Матричная форма записи системы линейных уравненийСкачать

Матричная форма записи системы линейных уравнений

Структура общего решения системы уравнений

Однородная система линейных уравнений

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных , то тривиальное решение единственное. Предположим, что . Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду , т.е. . Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений :

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация также является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений , придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений .

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных , при которых это решение удовлетворяет равенству (5.14).

Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу , приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то . Так как каждый из столбцов матрицы является решением системы , то по первой формуле из (5.13) получаем

Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы. Значит, первые строк матрицы можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно, , так как после вычеркивания в матрице будет всего строк. Таким образом, . Значит, есть базисный минор матрицы , который расположен в первых ее столбцах, а столбец не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа , что

Итак, обратное утверждение доказано.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Алгоритм решения однородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное тривиальное решение и процесс решения заканчивается.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.

6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).

7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).

1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.

2. Матрица столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде

3. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица размеров является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.

Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы

2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы , приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):

Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.

5. Переменные — базисные, а — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы

6. Находим фундаментальную систему решений. Так как и , надо подобрать линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:

В результате получили фундаментальную систему решений

7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):

Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, и . Тогда получим другую фундаментальную систему решений

Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Структура общего решения неоднородной системы уравнений

Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.

Рассмотрим неоднородную систему и соответствующую ей однородную систему . Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Свойства решений неоднородной системы уравнений

1. Разность двух решений и неоднородной системы есть решение однородной системы.

Действительно, из равенств и следует, что .

2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решение неоднородной системы можно представить в виде

В самом деле, для любого решения неоднородной системы разность по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. — решение однородной системы.

Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.

Пусть — решение неоднородной системы, а — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец

при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных , при которых это решение удовлетворяет равенству (5.15).[/i]

Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.

Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).

6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.

7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).

1. Используя фундаментальную матрицу однородной системы , решение неоднородной системы можно представить в виде

2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде

где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.

Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:

Переменные — базисные, а — свободные.

6. Полагая , получаем частное решение неоднородной системы .

7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы

Искомая структура множества решений найдена.

Получим формулу общего решения вторым способом , используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:

Записываем частное решение неоднородной системы

и составляем фундаментальную матрицу:

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):

🎦 Видео

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

ФСР. Система однородных уравнений 2Скачать

ФСР. Система однородных уравнений 2

Теорема о количестве решений системы линейных уравненийСкачать

Теорема о количестве решений системы линейных уравнений

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод Гаусса

Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Базисные решения систем линейных уравнений (03)

Неоднородные системы линейных уравненийСкачать

Неоднородные системы линейных уравнений

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ

6 способов в одном видеоСкачать

6 способов в одном видео
Поделиться или сохранить к себе: