Конспект на тему уравнение линии на плоскости

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Видео:Уравнение линии на плоскости | Геометрия 7-9 класс #89 | ИнфоурокСкачать

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Тема урока: Уравнение линии на плоскости.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности.

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности; развивать пространственное мышление; воспитывать трудолюбие.

Устный счет: (опрос, три ученика работают по карточкам)

а) По какой из данных формул можно найти координаты середины отрезка:

A(3;-4), D (-3;6) x =0, y =1 (0;1)

б) Расстояние между двумя точками находится по формуле:

в) Принадлежит ли точка A(-6;2) графику функции (нет)

г) Функция задана уравнением . Какая линия служит графиком этой функции? (прямая)

д) Сколько точек надо взять для построения прямой? (две)

Карточка 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если A(-2;3), В(6;-3)/

Карточка 2. Найдите длину отрезка ЕН, если Е(-3;8), Н(2;-4)/

Карточка 3. Вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А(8;-3), В(5;1), С(12;0). Докажите, что

Ответ: , , значит, равнобедренный, следовательно .

Объяснение нового материала.

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат (параболы, гиперболы, прямые), в частности график функции у=х.

Вопрос: Что можно сказать про функцию у=х?

Ответ: графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат О(0;0) и А(2;2).

Координаты любой точки М(х;у), лежащей на прямой ОА, удовлетворяют уравнению у=х (так как ), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение у=х является уравнением прямой ОА.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром в заданной прямоугольной системе координат.

, точка М лежит на окружности, , , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром имеет вид:

Уравнение окружности радиуса r и с центром в начале координат имеет вид:

Замечание: не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность

4.Закрепление изученного материала (решение задач)

Центр окружности: О(-5;1).

а) Расстояние от точки до центра окружности должно быть меньше радиуса окружности.

Ответ: а) С, б) В, в) А и D .

— уравнение окружности радиуса r и с центром в А.

Домашнее задание: п.90, 91.,вопросы 15-17, №963(а,б), №966(а,б)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:9 класс, 5 урок, Уравнение линии на плоскостиСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 745 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.04.2016
• 1344
• 6

• 27.04.2016
• 639
• 1

• 27.04.2016
• 728
• 0

• 27.04.2016
• 343
• 0

• 27.04.2016
• 363
• 0

• 27.04.2016
• 396
• 0

• 27.04.2016
• 1046
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.04.2016 1627
• DOCX 410.2 кбайт
• 19 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Цаллагова Оксана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 6427
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности.
план-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Скачать:

Видео:Уравнение прямой на плоскостиСкачать

Предварительный просмотр:

Уравнение линии на плоскости.
Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

I. Математический диктант (10–15 мин). Или (Самостоятельная работа по карточкам).

1. Найдите координаты середины отрезка AB , если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH , если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5 x ?

5. Функция задана уравнением y = 2 x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В , расстояние между которыми равно 13 см. л ежит ли центр окружности на прямой АВ ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что B = C .

1. Найдите координаты середины отрезка CD , если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB , если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C . Определите вид треугольника ABC .

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4 x ?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x . Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомительном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = r 2 ,

где C ( x 0 ; y 0 ). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x 2 + y 2 = r 2 .

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4 х 2 + у 2 = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х 2 + у 2 = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х 2 + у 2 = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. р ешить задачу № 959 (а, б, д).

2. Устно решить задачу № 960.

3. р ешить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. р ешить задачу № 964 на доске и в тетрадях.

а) x = 3, тогда (3 – 3) 2 + ( y – 5) 2 = 25; y 2 – 10 y + 25 = 25;

y 2 – 10 y = 0; y ∙ ( y – 10) = 0; y = 0 или y = 10. Точки А (3; 0) и В (3; 10).

б) y = 5, тогда ( x – 3) 2 + (5 – 5) 2 = 25; x 2 – 6 x + 9 = 25;

x 2 – 6 x – 16 = 0; x 1 = 8; x 2 = –2; точки С (–2; 5) и D (8; 5).

5. Решить задачу № 966 (в, г).

6. Разобрать решение задачи по учебнику на с. 243.

Домашнее задание : изучить материал пунктов 90, 91; вопросы 15–17; решить задачи №№ 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок геометрии в 8 классе по теме «Уравнения окружности и прямой»

Урок по теме «Уравнения окружности и прямой» в 8 классе сопровождается мультимедийной презентацией, которая используется на этапе актуализации знаний и на этапе проверки самостоятельной р.

ТЕМА: «Уравнение окружности и прямой.» Решение задач.

Повторение уравнений окружности и прямой и применение при решении задач.Совершенствование навыков решения задач методом координат.

Презентация. Уравнение. линии на плоскости.

Презентация к уроку геометрии: «Уравнение линии на плоскости». 9 класс.

Уравнение линии на плоскости

Слайды презентации являются опорными карточками для вывода уравнения окружности на плоскости.Презентацию лучше использовапть при создании проблебной ситуации на уроке.

Урок «Уравнение линии на плоскости»

Презентация к уроку «Уравнение линии на плоскости».

Презентация «Линии и углы в окружности»

Презентация является экономичной с точки зрения времени: выполнение большого количества чертежей на доске с помощью циркуля занимает много времени в отличие от слайдового представления. Это незаменимы.

Урок по геометрии по теме: «Уравнение фигуры. Уравнение окружности»

Презентации по геометрии за 9 класс по теме: » Уравнение фигуры. Уравнение окружности&quot.

📹 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика это не ИсламСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямойСкачать

Уравнение прямой. Урок 6. Геометрия 9 классСкачать

Уравнение прямой на плоскости. Решение задачСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

§8.1 Общее уравнение прямой на плоскостиСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать