Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 19.4 Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах
Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Вычисление длины дуги

Формула для вычисления длины дуги кривой заданной уравнением у=f(x) в прямоугольной системе координат:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

a — начала дуги по оси OX;

b — конец дуги по оси OX a

Если плоская кривая задана уравнением x=g(y) то формула имеет вид:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

c — начала дуги по оси OY;

d — конец дуги по оси OY a

Если кривая задана в полярных координатах r=r(φ), α≤φ≤β, то длина дуги вычисляется по формуле:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Если кривая задана параметрическим уравнением вида x=x(t) и y=y(t), то длина дуги определяется по формуле

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

t2, t1 — значения параметров, которые соответствуют концам дуги t1

Найти длину дуги функции на промежутке от 0 до 1.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Найдем производную функции:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Возведём в квадрат функцию:

Подставляя в формулу, найдем длину дуги:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Найти длину дуги окружности от точки $left( right)$ до точки $left( right)$. Уравнение окружности задано в параметрическом виде.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Найдем параметр t в точках M1 и M2, решим системы уравнений.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Здесь t1=0

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Подставляя в формулу, найдем длину дуги окружности.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Вычислить длину дуги одного лепестка циклоиды. Уравнение циклоиды задано параметрическим уравнением.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Продифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Подставляя в формулу, получаем

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Видео:1703 Вычисление длины линии в полярной системе координатСкачать

1703 Вычисление длины линии в полярной системе координат

One comment

Была бы оценка 5, если бы не дурак, который не от большого ума изукрасил весь текст, особенно формулы и ответы, серыми узорами! Сколько времени и усилий ушло на расшифровку ответов! Так что 3,5 балла — это ещё слишком много! Так и передайте идеологу этой мазни!

Видео:Вычисление длины дуги кривой в параметрических и полярных координатах. Вычисление объема тела.Скачать

Вычисление длины дуги кривой в параметрических и полярных координатах. Вычисление объема тела.

Как найти длину дуги кривой с помощью интеграла

Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.

Видео:Нахождение длины дуги кривойСкачать

Нахождение длины дуги кривой

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.

Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Возьмём на дуге AB точки A, M 1 , M 2 , . M i , . B с абсциссами x 0 = a, x 1 , x 2 , . x i , . b = x n и проведём хорды AM 1 , M 1 M 2 , . M n-1 B , длины которых обозначим соответственно через Δs 1 , Δs 2 , . Δs n . Тогда получим ломаную AM 1 M 2 . M n-1 B , вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах(1).

Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.

Пример 1. Найти длину дуги кривой Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах, если Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Решение. Находим производную данной функции:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Используем формулу (1), подставляя найденную производную:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Ответ: длина дуги кривой равна 74.

Пример 2. Найти длину окружности Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах,

откуда находим производную функции:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Ответ: длина всей окружности равна Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах. (2)

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах(3).

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

если Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Вычислим производные функций x и y:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Используем формулу (3):

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Ответ: длина дуги кривой равна 26.

Если параметрическими уравнениями

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах. (4)

Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Решение. Вычислим производные функций x, y и z:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Используем формулу (4):

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Видео:Длина дуги кривойСкачать

Длина дуги кривой

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Длина её дуги вычисляется по формуле:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах(5).

Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах

Решение. Вычислим производную функции:

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатахи и умножим её на 2. Используем формулу (5):

Как вычислить длины дуг кривых заданных уравнениями в полярных координатах.

🎥 Видео

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.

Астроида: найдем площадь и длину через определенный интегралСкачать

Астроида: найдем площадь и длину через определенный интеграл

Видеоурок "Длина дуги кривой"Скачать

Видеоурок "Длина дуги кривой"

Нахождение длины дуги кривой.Скачать

Нахождение длины дуги кривой.

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода

Длина дуги кривой| Урок 1| Надежда Павловна МедведеваСкачать

Длина дуги кривой| Урок 1| Надежда Павловна Медведева

Лекция 22 Вычисление длины дуги кривойСкачать

Лекция 22 Вычисление длины дуги кривой

Кривые, заданные параметрическиСкачать

Кривые, заданные параметрически

Вычисление длины дугиСкачать

Вычисление длины дуги

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: