Как решить уравнение с х в 4 степени и х во 2 степени

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Видео:Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столбиСкачать

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^=125 Rightarrow 5^=5*5*5 Rightarrow 5^=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^=81 Rightarrow (3*3)^=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^=3^4 Rightarrow 3^=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Видео:Уравнение четвертой степениСкачать

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Видео:10 класс. Алгебра. Уравнение четвертой степени.Скачать

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Видео:Как решать возвратные уравнения?Скачать

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Видео:Решаем быстро и красиво ★ Уравнение четвертой степени ★ x^4+8x-7=0Скачать

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Видео:Подготовка к ОГЭ. Задание 21. Решить уравнение x^4=(2x-15)^2Скачать

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Видео:Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0Скачать

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .

Видео:УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения 4-ой степениСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac — 5frac z + fracz^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Видео:8 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени.Скачать

Немного теории.

Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+14=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где ( c neq 0 );
2) ax 2 +bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac Rightarrow x_ = pm sqrt< -frac> )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac neq 0 )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Видео:Как решить алгебраическое уравнение 4-й степени x^4+4x^3+x^2−6x+2=0?Скачать

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+fracx +frac=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac+left( fracright)^2- left( fracright)^2 + frac = 0 Rightarrow )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_ = frac < -b pm sqrt> ), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac ).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Видео:Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари | #БотайСоМной #026 | Борис ТрушинСкачать

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
( left< begin x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end right. )

📹 Видео

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Решите уравнение x^x=4 ★ Как решать такие уравнения? ★ Почему можно использовать метод подбораСкачать

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать

Уравнение 4-ой степени (x+3)^4+(x+5)^4=4Скачать

Решите уравнение x^2+3x=54. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать