Про уравнения - легко » Статьи

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Обновлено
Содержание
  1. Решение задач с помощью квадратных уравнений
  2. Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений
  3. Примеры
  4. Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»
  5. Основные методы решения систем повышенной сложности
  6. 🎦 Видео

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = -16 \ x_2 = 11 end right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = 15 \ x_2 = 21 end right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -9 \ x_2 = 18 end right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin <left< begin x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end right.> \ <left< begin x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end right.> end right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 6 \ x_2 = 18 end right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс

Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
  2. Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Как решать задачи на системы квадратных уравненийЗначит надо решить систему уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

откуда Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Корнями этого квадратного уравнения служат Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Если y1=3, то из Как решать задачи на системы квадратных уравненийнаходим х1=1. Если же Как решать задачи на системы квадратных уравнений.

Ответ: Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Ответ: Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Решение. Обозначим Как решать задачи на системы квадратных уравненийчерез u, а Как решать задачи на системы квадратных уравненийчерез v. Тогда система примет вид

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: Как решать задачи на системы квадратных уравненийи подставляя во второе уравнение, получим Как решать задачи на системы квадратных уравнений, откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Ответ: Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Ответ: Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Решить систему уравнений Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие Как решать задачи на системы квадратных уравнений. В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если Как решать задачи на системы квадратных уравнений, а числа Как решать задачи на системы квадратных уравненийне удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Получится уравнение

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Введем вспомогательное неизвестное Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Уравнение примет вид Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Это квадратное уравнение, имеющее корни Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо Как решать задачи на системы квадратных уравненийлибо Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Осталось подставить выражения Как решать задачи на системы квадратных уравненийи Как решать задачи на системы квадратных уравнений(рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение Как решать задачи на системы квадратных уравнений, откуда Как решать задачи на системы квадратных уравнений; соответственно Как решать задачи на системы квадратных уравнений. Во втором случае получается уравнение Как решать задачи на системы квадратных уравнений, откуда Как решать задачи на системы квадратных уравнений; соответственно Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Ответ: Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Возможный способ оформления

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

разделим первое уравнение на Как решать задачи на системы квадратных уравнений, получим

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Пусть Как решать задачи на системы квадратных уравнений, тогда

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Ответ: Как решать задачи на системы квадратных уравнений

V. Работа в малых группах.

Решите систему уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

Решите систему уравнений

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

VI. Подведение итогов урока.

VII. Задание на дом.

Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика

Основные методы решения систем повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как решать задачи на системы квадратных уравнений

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

🎦 Видео

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)Скачать

Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫ

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравнения

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 класс

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: