Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой и второй степени

Алгебраическое уравнение первой степени имеет вид:

Ax+By+C=0

где A, B, C — действительные числа и одна из величин A, B не равна нулю.

Алгебраическим уравнением второй степени записывается следующем образом:

Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F = 0

где одна из величин A, B, C не равна нулю.

Пример 1
Уравнение у=4х 2 , равносильное уравнению 4x 2 -у=0, — алгебраическое уравнение второй степени (А=4, В=0, С=0, D=0, Е=-1, F= 0)

Пример 2
Уравнение ху=1, равносильное уравнению ху-1=0, есть алгебраическое уравнение второй степени (А=0, В=1, С=0, D=0, E=0, F=- 1)

Пример 3
Уравнение (х+у+2) 2 -(х+у+1) 2 =0 есть уравнение первой степени, так как оно равносильно уравнению 2х+2у +3= 0.

Аналогично определяются алгебраические уравнения третьей, четвертой, пятой и т. д. степеней. Величины А, В, С, D и т. д. (в том числе свободный член) называются коэффициентами алгебраического уравнения.

Пример 4
Линия, представляемая уравнением y=sin(х) синусоида — не является алгебраической.

Содержание
  1. Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения
  2. Содержание:
  3. Как решать уравнения первой степени
  4. Графическая интерпретация
  5. Примеры простых линейных уравнений
  6. Целочисленные уравнения
  7. Дробные уравнения
  8. Буквальные уравнения
  9. Системы уравнений первой степени
  10. Линейные уравнения с абсолютным значением
  11. Простые решаемые упражнения
  12. — Упражнение 1
  13. Решение
  14. — Упражнение 2.
  15. Решение
  16. — Упражнение 3.
  17. Решение
  18. Ссылки
  19. Алгебраические уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения
  20. Делимость многочлена
  21. Общий вид алгебраического уравнения
  22. Некоторые свойства алгебраического уравнения
  23. Методы решения целых алгебраических уравнений
  24. Разложение на множители
  25. Подбор корня с последующим понижением степени уравнения
  26. Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами
  27. Метод неопределённых коэффициентов
  28. Метод умножения на функцию
  29. Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения
  30. Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкование
  31. Уравнение с одной буквой (неизвестным)
  32. Уравнение с двумя буквами (переменными)
  33. Линейное уравнение с двумя переменными
  34. Нелинейные уравнения с двумя переменными
  35. Алгебраические уравнения и алгоритм их решения
  36. Общая теория уравнений
  37. Область допустимых значений
  38. Уравнения
  39. Совокупности уравнений
  40. Преобразования уравнений
  41. Теоремы о равносильности уравнений
  42. Уравнения с одним неизвестным
  43. Метод разложения на множители
  44. Метод введения нового неизвестного
  45. Биквадратные уравнения
  46. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения

Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения — Наука

Видео:Алгебра.7 класс (Урок№42 - Уравнения первой степени с одним неизвестным.)Скачать

Алгебра.7 класс (Урок№42 - Уравнения первой степени с одним неизвестным.)

Содержание:

В первая степень или линейные уравнения с неизвестным — это те, которые могут быть выражены как сумма двух членов следующим образом:

куда а и б, с участием к ≠ 0, являются действительными числами R или также комплексными C. Чтобы решить эту задачу, члены транспонируются, что означает изменение членов с одной стороны равенства на другую.

Чтобы решить неизвестное, транспонируется член + b, который должен перейти в правую часть равенства с измененным знаком.

Затем значение x очищается следующим образом:

В качестве примера мы собираемся решить следующее уравнение:

Переносим член -5 в правую часть с измененным знаком:

Это эквивалентно добавлению 5 к обеим сторонам исходного уравнения:

6x — 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

А теперь решаем неизвестный «х»:

Это эквивалентно делению обеих частей равенства на 6. Таким образом, мы можем использовать следующее, чтобы получить решение:

-Вы можете прибавить или вычесть одно и то же количество к обеим сторонам равенства в уравнении, не изменяя его.

-Вы также можете умножить (или разделить) на одинаковую величину все члены как слева, так и справа от уравнения.

-И если оба члена уравнения возведены в одну и ту же степень, равенство также не изменяется.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Как решать уравнения первой степени

Решение уравнения первой степени также называется его корнем. Именно значение x преобразует исходное выражение в равенство. Например в:

Если мы подставим в это уравнение x = 5, мы получим:

Поскольку линейные уравнения первой степени бывают разных форм, которые иногда не очевидны, существует ряд общих правил, которые включают в себя несколько алгебраических манипуляций, чтобы найти значение неизвестного:

— Во-первых, если есть указанные операции, их необходимо провести.

— Группирующие символы, такие как круглые скобки, скобки и фигурные скобки, если они существуют, должны быть удалены с сохранением соответствующих знаков.

— Термины переносятся так, что все те, которые содержат неизвестное, помещаются с одной стороны равенства, а те, которые не содержат его, с другой.

-Затем все подобные термины сокращаются до формы топор = -b.

И последний шаг — прояснить неизвестное.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Графическая интерпретация

Уравнение первой степени, поставленное в начале, может быть получено из уравнения прямой y = mx + c, в результате чего y = 0. Полученное значение x соответствует пересечению прямой с горизонтальной осью.

На следующем рисунке есть три линии. Начиная с зеленой линии, уравнение которой:

Делая y = 0 в уравнении прямой, получается уравнение первой степени:

Чье решение — x = 6/2 = 3. Теперь, когда мы детализируем график, легко понять, что на самом деле линия пересекает горизонтальную ось в точке x = 3.

Синяя линия пересекает ось x в точке x = 5, которая является решением уравнения –x + 5 = 0. Наконец, линия с уравнением y = 0,5x + 2 пересекает ось x в точке x = — 4, что легко увидеть из уравнения первой степени:

Видео:Алгебра 10 класс (Урок №1 - Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок №1 - Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение.)

Примеры простых линейных уравнений

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Целочисленные уравнения

Это те, в терминах которых нет знаменателей, например:

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Дробные уравнения

Эти уравнения содержат по крайней мере один знаменатель, отличный от 1. Чтобы решить их, рекомендуется умножить все члены на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, чтобы исключить их.

Следующее уравнение является дробным типом:

Поскольку эти числа малы, нетрудно увидеть, что m.c.m (6, 8,12) = 24. Этот результат легко получить, выразив числа как произведение простых чисел или их степеней, давайте посмотрим:

Наименьшее общее кратное определяется путем умножения общего и необычного множителей 6, 8 и 12 на их наибольшую экспоненту, затем:

lcm (6,8,12) = 2 3 ⋅3 = 8 × 3 = 24

Поскольку у нас есть наименьшее общее кратное, его нужно умножить на каждый из членов уравнения:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Мы пользуемся распределительным свойством:

4x + 20 — 6x -9 = 2 — 10x

Все члены, содержащие неизвестный «x», сгруппированы в левой части равенства, а независимые или числовые члены остаются в правой части:

4x — 6x + 10 x = 2 +9 — 20

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.

Буквальные уравнения

Это линейные уравнения с одним неизвестным, которые, однако, сопровождаются буквальными коэффициентами (буквами). Эти буквы обрабатываются так же, как и числа. Пример буквального уравнения первой степени:

Это уравнение решается так же, как если бы независимые члены и коэффициенты были числовыми:

-3ax — 5x = — b — 2a

Факторизация неизвестного «x»:

х (-3a — 5) = — b — 2a

х = (- b — 2a) / (-3a — 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Видео:Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений.Скачать

Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений.

Системы уравнений первой степени

Системы уравнений состоят из системы уравнений с двумя или более неизвестными. Решение системы состоит из значений, которые одновременно удовлетворяют уравнениям, и для его однозначного определения должно быть уравнение для каждой неизвестной.

Общий вид системы м линейные уравнения с п неизвестные это:

Если у системы есть решение, оно называется совместимый определен, когда существует бесконечный набор значений, которые удовлетворяют, это неопределенный совместимый, и, наконец, если у нее нет решения, то она несовместимый.

При решении систем линейных уравнений используются несколько методов: редукция, подстановка, выравнивание, графические методы, метод исключения Гаусса-Жордана и использование определителей являются одними из наиболее часто используемых. Но есть и другие алгоритмы решения, более удобные для систем со многими уравнениями и неизвестными.

Пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7лет — 9
6х = 3у + 6

Решение этой системы представлено далее в разделе решенных упражнений.

Видео:РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ алгебраических 9 класс алгебра МакарычевСкачать

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ алгебраических 9 класс алгебра Макарычев

Линейные уравнения с абсолютным значением

Абсолютное значение действительного числа — это расстояние между его положением на числовой прямой и нулем на числовой прямой. Поскольку это расстояние, его значение всегда положительно.

Абсолютное значение числа обозначается полосами по модулю: │x│. Абсолютное значение положительного или отрицательного числа всегда положительно, например:

В уравнении абсолютного значения неизвестное находится между стержнями модуля. Рассмотрим следующее простое уравнение:

Есть две возможности, первая — это положительное число x, и в этом случае мы имеем:

Другая возможность состоит в том, что x — отрицательное число, в этом случае:

Это решения этого уравнения. Теперь посмотрим на другой пример:

Сумма внутри столбцов может быть положительной, поэтому:

Или это может быть отрицательно. В таком случае:

-x — 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

А ценность неизвестного:

Таким образом, это уравнение абсолютного значения имеет два решения: x1 = 5 и x2 = -17. Мы можем проверить, что оба решения приводят к равенству в исходном уравнении:

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнение

Простые решаемые упражнения

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№46 - Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.)Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№46 - Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.)

— Упражнение 1

Решите следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

8x — 5 = 7y -9
6х = 3у + 6

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Решение

Как предлагается, эта система идеальна для использования метода подстановки, поскольку во втором уравнении неизвестная Икс практически готов к оформлению:

И его можно сразу подставить в первое уравнение, которое затем становится уравнением первой степени с неизвестным «y»:

8 [(3y + 6) / 6] — 5 = 7y — 9

Знаменатель можно опустить, умножив каждый член на 6:

6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] — 6.5 = 6 .7y– 6. 9

8⋅ (3лет + 6) — 30 = 42лет — 54

Применяя распределительное свойство в первом члене справа от равенства:

24 года + 48-30 = 42 года — 54 ⇒ 24 года + 18 = 42 года — 54

Уравнение можно упростить, так как все коэффициенты кратны 6:

4лет + 3 = 7лет — 9

С этим результатом переходим к очистке от x:

х = (3у +6) / 6 → х = (12 + 6) / 6 = 3

Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!

— Упражнение 2.

Решите следующее уравнение:

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Решение

Продукты представлены в этом уравнении, и, следуя инструкциям, данным в начале, они должны быть разработаны в первую очередь:

3х — 10х +14 = 5х + 36х + 12

Тогда все члены, содержащие неизвестные, переносятся в левую часть равенства, а в правую часть будут стоять независимые члены:

3x — 10x — 5x — 36x = 12 — 14

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.

— Упражнение 3.

Сложение трех внутренних углов треугольника дает 180 °. Наивысшее превосходит второстепенное на 35 °, а последнее, в свою очередь, превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °. Какие углы?

Видео:7 класс, 39 урок, Метод алгебраического сложенияСкачать

7 класс, 39 урок, Метод алгебраического сложения

Решение

Мы будем называть «x» большим углом, «y» — средним, а «z» — наименьшим. Когда в утверждении говорится, что их сумма равна 180º, можно записать:

Тогда мы знаем, что большее превышает меньшее на 35º, мы можем записать это так:

Наконец, наименьшее значение превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °:

У нас есть система из 3-х уравнений и 3-х неизвестных:

Решая для z из первого уравнения, мы имеем:

180 — х — у = х — у + 20

Передача неизвестных в левую часть, как всегда:

-x — y — x + y = 20 — 180

Буква «y» отменяется и остается:

Из второго уравнения находим значение z:

z = x — 35 = 80 — 35 = 45º

И значение y находится от первого или третьего:

y = 180 — x — z = 180 — 80 — 45 = 55º

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод Подстановки

Ссылки

  1. Балдор. 1977. Элементарная алгебра. Венесуэльские культурные издания.
  2. Монтерейский институт. Уравнения, неравенства и абсолютное значение. Получено с: montereyinstitute.org.
  3. Интернет-учитель. Классификация линейных уравнений или уравнений первой степени. Получено с: profesorenlinea.cl.
  4. Хоффман, Дж. Выбор тем по математике. Том 2.
  5. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
  6. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.

Устойчивое потребление: для чего это нужно, важность, действия, примеры

Видео:Уравнение первой степени с двумя неизвестнымиСкачать

Уравнение первой степени с двумя неизвестными

Алгебраические уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Алгебраическое уравнение — это уравнение вида. где. — многочлен от переменных. , которые называются неизвестными.

Алгебраические уравнения первой степени это

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Делимость многочлена

Делимость многочлена, целого относительно х, на разность xа.

Теорема Безу:

Многочлен, целый относительно х:
Алгебраические уравнения первой степени это,
при делении на разность х — а (где а есть произвольное число, положительное или отрицательное) даёт остаток
Алгебраические уравнения первой степени это
равный тому значению делимого, которое оно получает при х=а.

Доказательство:

Из процесса деления многочлена, расположенного по убывающим степеням буквы х, видно, что деление такого многочлена на х — а можно продолжать до тех пор, пока высший член остатка R не будет содержать в себе буквы х. Пусть при этом частное будет некоторый многочлен Q. Тогда мы можем написать равенство:
M=(x- a)Q+R.

Равенство это есть тождество, т. е. оно верно при всевозможных значениях буквы х, а потому оно должно быть верно и при х-а. Но при x=а оно даёт
M’ = (α — α) Q’ + R
если буквами М‘ и Q‘ обозначим те значения M и Q, которые эти многочлены принимают при х=а (остаток R, как не содержащий вовсе x, не изменится от подстановки а на место х). Так как a — α=0, то и произведение (а — a) Q‘ равно 0; значит, последнее равенство даёт M‘= R, т. е.
Алгебраические уравнения первой степени это
что и требовалось доказать.

Следствие:

Так как x+α=x— (—а), то, применяя доказанную теорему к сумме х+а, найдём:
многочлен Алгебраические уравнения первой степени это

при делении на сумму x+α даёт в остатке число, равное
Алгебраические уравнения первой степени это
т. е. число, равное тому значению делимого, которое оно получает при x= —а.

Примеры:
1) Многочлен x⁵—3x²+5x—1 при делении на х—2 даёт остаток, равный
2⁵-3 ∙ 2²+5 ∙ 2—1=29.

2) Многочлен x⁵—3x²+5x—1 при делении на x+2 даёт остаток
(-2)⁵-3 (- 2)²+5 (-2)—1=-55.

Следствие:

Для того чтобы многочлен
Алгебраические уравнения первой степени это
делился на разность х—а, необходимо и достаточно, чтобы при х=а он обращался в нуль.

Это необходимо, так как если указанный многочлен делится на x—а, то остаток от деления должен быть нуль, а этот остаток, по доказанному выше, есть то значение делимого, которое оно принимает при x=а. Это и достаточно, так как если многочлен обращается в нуль при x=a, то это значит, что остаток от деления этого многочлена на х—а равен нулю.

Следствие:

Для того чтобы многочлен
Алгебраические уравнения первой степени это
делился на сумму х+а, необходимо и достаточно, чтобы при х = —а он обращался в нуль, так как сумма х+а есть разность x—(— а).

Примеры:
1) Многочлен x³-4x²+9 делится на х—3, потому что
З³ — 4∙3²+9=0.
2) Многочлен 2x²+x-45 делится на x+5, так как
2 (-5)²+(-5)—45=0.

Делимость двучлена Алгебраические уравнения первой степени этона Алгебраические уравнения первой степени это. 1) Разность одинаковых степеней двух чисел делится на разность тех же чисел, так как Алгебраические уравнения первой степени этопри делении на х—а даёт остаток Алгебраические уравнения первой степени это, т. е. 0.

2) Сумма одинаковых степеней двух чисел не делится на разность этих чисел, так как Алгебраические уравнения первой степени этопри делении на х—а даёт остаток Алгебраические уравнения первой степени это, а не 0.

3) Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится, а нечётных не делится на сумму этих чисел, так как при делении разности Алгебраические уравнения первой степени это, на х+а остаток равен Алгебраические уравнения первой степени это, что при m чётном равно нулю, а при tn нечётном составляет — Алгебраические уравнения первой степени это.

4) Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится, а чётных не делится на сумму этих чисел, так как. при делении суммы Алгебраические уравнения первой степени этона x+α остаток равен Алгебраические уравнения первой степени эточто при m нечётном равно 0, а при m чётном составляет Алгебраические уравнения первой степени это.

Примеры:
1) x¹+α¹ делится на x+α, но не делится на х—а.
2) x²- α² делится и на х—а, и на x+a.
3) x²+α² не делится ни на х—а, ни на x+a.
4) x³- α³ делится на х—а, но не делится на x+α.
5) x³+α³ делится на x+a, но не делится на х—а.

Частные, получаемые при делении Алгебраические уравнения первой степени этона Алгебраические уравнения первой степени это. Если произведём деление двучлена Алгебраические уравнения первой степени этона двучлен х—а, то в частном получим многочлен:
Алгебраические уравнения первой степени это
(остатки при этом делении идут в такой последовательности: 1-й остаток Алгебраические уравнения первой степени это, 2-й остаток Алгебраические уравнения первой степени это, 3-й остаток Алгебраические уравнения первой степени это,…, m-й остаток Алгебраические уравнения первой степени это).

Очевидно, что многочлен, получившийся в частном, содержит m членов; сумма показателей в каждом члене при а и х одна и та же, именно: m—1; показатели х идут, уменьшаясь на 1,от m—1 до 0, показатели же а идут, увеличиваясь на 1, от 0 до m—1; коэффициенты у всех членов равны 1; знаки все +; число членов в частном m.

Заметив это, можем прямо писать:
x³- α³=(x-a) (x²+αx+α²);
x⁴- α⁴=(x-α) (x³+αx²+α²x+ α³);
x⁵ — α⁵=(x-a) (x⁴+αx3+α²x²+α³x+α⁴) и т. п.

Чтобы получить частное от деления Алгебраические уравнения первой степени этона x + a при m чётном или при делении Алгебраические уравнения первой степени этона x+a при m нечётном, достаточно в полученном выше частном заменить а на —а. Таким образом:
x³+α³=(x+α) (x²-αx+α²);
x⁴—α⁴=(x+α) (х³-αx²+α²x-α³);
x⁵+a⁵=(x+α) (х⁴ — αx³+α²x² — a³x+a⁴) и т.п.

Общий вид алгебраического уравнения

Мы ранее видели, что уравнение, содержащее неизвестное в знаменателях, может быть приведено к целому виду. Далее мы знаем, что уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, может быть приведено к рациональному виду. Вследствие этого можем сказать, что всякое уравнение, в котором неизвестное связано с данными числами посредством конечного числа шести алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечения корня), может быть приведено к такому целому и рациональному виду:
Алгебраические уравнения первой степени это
где коэффициенты А, В, С, … , K и L суть постоянные вещественные или комплексные числа, а m есть показатель степени уравнения. Некоторые коэффициенты, кроме первого, в частных случаях могут равняться нулю.

Уравнение такого вида называется алгебраическим. Алгебраические уравнения степени выше второй называются уравнениями высших степеней.

Некоторые свойства алгебраического уравнения

Уравнения высших степеней составляют предмет высшей алгебры. Элементарная же рассматривает только некоторые частные виды этих уравнений.

Высшая алгебра устанавливает следующую важную теорему:
Всякое алгебраическое уравнение имеет вещественный или комплексный корень (теорема Гаусса 2), 1799 г.).

Допустив эту истину (доказательство которой в элементарной алгебре было бы затруднительно), нетрудно показать, что:
Алгебраическое уравнение имеет столько корней, вещественных или комплексных, сколько единиц в показателе его степени.

Действительно, согласно теореме Гаусса, уравнение
Алгебраические уравнения первой степени это(1)
имеет вещественный или комплексный корень; пусть этот корень будет а. Тогда многочлен, стоящий в левой части уравнения (1), должен делиться на х—а. Если произвести это деление, то в частном получим многочлен степени m—1, у которого первый коэффициент будет А. Обозначив другие его коэффициенты соответственно буквами B₁, C₁ ,…, K₁ и приняв во внимание, что делимое равно делителю, умноженному на частное, можем представить уравнение (1) так:
Алгебраические уравнения первой степени это(2)
Приравняв нулю многочлен, стоящий во вторых скобках, получим новое уравнение, которое по той же теореме должно иметь некоторый корень β; вследствие этого левая его часть может быть разложена на два множителя: х—β и многочлен степени m—2, у которого первый коэффициент по-прежнему будет А. Поэтому уравнение (1) можно переписать так:
Алгебраические уравнения первой степени это(3)

Продолжая эти рассуждения далее, дойдём, наконец, до того, что многочлен, заключённый в последних скобках, будет второй степени, причём первый его коэффициент останется А. Разложив этот трёхчлен на множители, приведём уравнение (1) к виду:
A(x- а) (х—β) (х— γ) . .. (х—λ)=0, (4)
где всех разностей: x-a, х- β,…, будет m. Очевидно, что уравнение (4) обращается в тождество при каждом из значений: x=α, x=β, x=γ, . x=λ и не удовлетворяется никакими иными значениями x (если A≠0); значит, уравнение (1) имеет m корней: a, β, γ ,…, λ. В частных случаях некоторые корни могут оказаться одинаковыми.

Полезно заметить ещё следующие истины, доказываемые в высшей алгебре.

Сумма корней всякого алгебраического уравнения Алгебраические уравнения первой степени это
равна Алгебраические уравнения первой степени это, а произведение корней равно Алгебраические уравнения первой степени это(примером может служить квадратное уравнение).

Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то число этих корней — чётное (примером может служить биквадратное уравнение).

Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет n корней вида p+qi, оно имеет ещё n корней вида p—qi (примером может служить биквадратное уравнение, комплексные корни которого всегда сопряжённые), и так как
[х—(p+qi)][x-(р— qi)]=[(x-p)- qi] (x-p)+qi] =
=(х—р)²—q²i²=(x-p)²+q²=x²-2 +(p²+q²),
то левая часть уравнения содержит в этом случае n вещественных множителей вида ax²+bx+c.

Алгебраическое уравнение нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет, по крайней мере, один вещественный корень.

Уравнения с произвольными буквенными коэффициентами степени не выше четвёртой разрешены алгебраически, т. е. для корней этих уравнений найдены общие формулы, составленные из коэффициентов уравнения посредством алгебраических действий.

В этом смысле уравнения с произвольными коэффициентами степени выше четвёртой не могут быть разрешены алгебраически (теорема Абеля); однако, если коэффициенты уравнения какой угодно степени выражены числами, всегда есть возможность вычислить с желаемой степенью приближения все его корни как вещественные, так и мнимые. Способы такого вычисления излагаются в высшей алгебре.

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений Алгебраические уравнения первой степени это(или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример:

Решить уравнение Алгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Из 1-го уравнения находим корни Алгебраические уравнения первой степени это, а второе не имеет решений.

Пример:

Найти все положительные корни уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию Алгебраические уравнения первой степени этоЕё производная Алгебраические уравнения первой степени этопри всех действительных x, так как Алгебраические уравнения первой степени этоСледовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ: Алгебраические уравнения первой степени это

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

Алгебраические уравнения первой степени это

где Алгебраические уравнения первой степени этоцелый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень Алгебраические уравнения первой степени этоданного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен Алгебраические уравнения первой степени этона разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность Алгебраические уравнения первой степени это, разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен Алгебраические уравнения первой степени это, степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Алгебраические уравнения первой степени это

Пример:

Решить уравнение Алгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая уравнение Алгебраические уравнения первой степени это, находим ещё два корняАлгебраические уравнения первой степени это

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример:

Решить уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоАлгебраические уравнения первой степени этоАлгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

Алгебраические уравнения первой степени это

причём все коэффициенты Алгебраические уравнения первой степени этоалгебраического многочлена Алгебраические уравнения первой степени этоявляются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена Алгебраические уравнения первой степени это(их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через Алгебраические уравнения первой степени это. Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения Алгебраические уравнения первой степени это. Обозначим эти делители через Алгебраические уравнения первой степени это. В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида Алгебраические уравнения первой степени это. Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень Алгебраические уравнения первой степени это, вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена Алгебраические уравнения первой степени этона разность Алгебраические уравнения первой степени это, (причём в силу следствия из теоремы Безу Алгебраические уравнения первой степени этообязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен Алгебраические уравнения первой степени этостепени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример:

При каких натуральных n уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоимеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел Алгебраические уравнения первой степени этоПодставим их поочерёдно в уравнение.

Алгебраические уравнения первой степени это

Ответ: Алгебраические уравнения первой степени это

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Суть метода состоит в том, что многочлен Алгебраические уравнения первой степени этов левой части уравнения представляется в виде произведения линейных Алгебраические уравнения первой степени этои(или) квадратичных Алгебраические уравнения первой степени этосомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени этоЧтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен Алгебраические уравнения первой степени эток стандарт-ному виду. Так как два многочлена Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоодной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты Алгебраические уравнения первой степени этостановятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

Алгебраические уравнения первой степени это

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени этодля нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Алгебраические уравнения первой степени это

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

Алгебраические уравнения первой степени это

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример:

Решить уравнениеАлгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Алгебраические уравнения первой степени это

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Алгебраические уравнения первой степени это

Приравнивая коэффициенты слева и справа при Алгебраические уравнения первой степени это,Алгебраические уравнения первой степени этои свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Алгебраические уравнения первой степени это

Найдя подбором решение Алгебраические уравнения первой степени этоподставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Алгебраические уравнения первой степени этоОно имеет три корняАлгебраические уравнения первой степени это

Пример:

При каких значениях а все корни уравнения Алгебраические уравнения первой степени этоявляются корнями уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Алгебраические уравнения первой степени это

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Алгебраические уравнения первой степени это

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример:

Решить уравнениеАлгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

Алгебраические уравнения первой степени это

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоПоскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения

Введем понятия алгебраического и трансцендентного уравнения.

Алгебраическое уравнение — уравнение, в котором переменная Алгебраические уравнения первой степени этонаходится в основании степени с рациональным показателем.

Примерами алгебраических уравнений могут служить уравнения вида: Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это.

Уравнение, содержащее неизвестную переменную под знаком логарифма, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций или в показателе степени некоторого числа, называется трансцендентным.

Примерами трансцендентных уравнений могут служить уравнения вида:

Алгебраические уравнения первой степени это

Решить предложенное уравнение — значит найти все значения переменной Алгебраические уравнения первой степени это, обращающие его в верное тождество (корни уравнения), или доказать, что корней нет.

Из курса алгебры нам известны методы и приемы решения некоторых видов алгебраических и трансцендентных уравнений: например, квадратных уравнений; уравнений, решаемых методом группировки и вынесения за скобки общего множителя. Но даже решение несложного кубического уравнения вызовет у нас определенные сложности. Если нс удастся решить заданное уравнение привычными способами, существуют методы приближенного решения уравнений, состоящие из двух этапов:

1. отделение корней;

2. уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из следующих методов:

Этап отделения корней необходим для того, чтобы определить, какому промежутку принадлежат корни уравнения. На этом этапе обычно используется графический способ.

Пример:

Определить промежуток, которому принадлежат корни уравнения Алгебраические уравнения первой степени это.

Алгебраические уравнения первой степени это

Решение:

Преобразуем данное уравнение к виду: Алгебраические уравнения первой степени это.

Построим графики функций Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это(рис. 46.1).

Алгебраические уравнения первой степени это— кубическая парабола, строится по таблице значений:

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это— прямая, строится по двум точкам:

Алгебраические уравнения первой степени это

По рисунку видим, что графики функций Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этопересекаются в единственной точке Алгебраические уравнения первой степени это, координата Алгебраические уравнения первой степени этокоторой принадлежит отрезку Алгебраические уравнения первой степени это. Следовательно, уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоимеет ровно один корень на промежутке Алгебраические уравнения первой степени это.

Ответ: Алгебраические уравнения первой степени это.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкование

Уравнение с одной буквой (неизвестным)

Один из основных вопросов, которыми занимается алгебра, заключается в решении уравнений нормального вида. Так называются уравнения, у которых в левой части стоит многочлен, расположенный по степеням неизвестной буквы, а в правой части — нуль.

Степень многочлена в левой части носит название степени уравнения.

Мы встречались не раз с уравнениями, которые не имели нормального вида: таковы, например, уравнения Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это.

Подобного рода уравнения могут быть приведены к уравнениям нормального вида. Для этого до­ статочно освободиться от дробей, затем перенести на­ лево члены, стоящие в правой части, сделать приведение подобных членов и, наконец, правильно располо­жить члены.

Таким образом, привести заданное уравнение к уравнению нормального вида удается по большей части несложными приемами.

Напротив, нахождение всех корней уравнения представляет собою более трудную задачу, в особенности в том случае, если уравнение высокой степени.

Уравнение первой степени (линейное) имеет вид Алгебраические уравнения первой степени это.

Уравнение второй степени (иначе квадратное) имеет вид Алгебраические уравнения первой степени это.

Уравнение третьей степени (иначе кубическое) имеет вид Алгебраические уравнения первой степени это.

Так можно продолжать и дальше. Ради единообразия неизвестное здесь обозначено буквой Алгебраические уравнения первой степени это; коэффициенты же Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои т. д. — известные числа. В уравнении нормального вида старший коэффициент, конечно, следует считать отличным от нуля.

Уравнение первой степени мы решаем (см. гл. 6) следующим образом: свободный член переносим направо Алгебраические уравнения первой степени это, затем делим уравнение на коэффициент при Алгебраические уравнения первой степени это: Алгебраические уравнения первой степени это.

В случае уравнений второй степени или высших степеней решение уравнения тесно связано с разложением левой части на линейные множители. Так, напри­мер, уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоможно переписать в виде Алгебраические уравнения первой степени это; далее сошлемся на теорему: если про­изведение двух множителей равно нулю, то непременно один из множителей равен нулю. Поэтому или Алгебраические уравнения первой степени этоили Алгебраические уравнения первой степени это; значит, или Алгебраические уравнения первой степени этоили Алгебраические уравнения первой степени это. Обратно, если Алгебраические уравнения первой степени этоили Алгебраические уравнения первой степени это, то или первый множитель равен нулю или второй; но в обоих случаях произведение равно нулю, т. е. уравнение удовлетворяется. Итак, уравнение имеет два корня: Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это.

В отдельных примерах нам удавалось разлагать трехчлен второй степени на линейные множители; более полно общий прием разложения (по ­средствам «выделения квадрата») будет рассмотрен в главе 12.

Что касается уравнений третьей, четвертой и высших степеней, то, не говоря об отдельных частных случаях, разложить их левую часть на множители весь­ма трудно. С другой стороны, очень просто можно составить уравнение, имеющее наперед заданные корни; при этом степень уравнения в точности будет равняться числу корней.

Например, пусть заданы три числа: Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это; тогда уравнение, имеющее эти числа (и только их) своими корнями, таково: Алгебраические уравнения первой степени это, или Алгебраические уравнения первой степени это.

Производя умножение, получаем окончательно: Алгебраические уравнения первой степени это.

Можно доказать, что число корней уравнения никогда не превышает его степени. Но иногда оно бывает меньше степени уравнения.

Например, уравнение Алгебраические уравнения первой степени это— третьей степени, но имеет только один корень Алгебраические уравнения первой степени это. Это сразу видно, если в левой части вынести Алгебраические уравнения первой степени этоза скобку Алгебраические уравнения первой степени это(здесь второй множитель Алгебраические уравнения первой степени этони при каком значении Алгебраические уравнения первой степени этоне обращается в нуль).

Совокупность точек на числовой оси, являющихся корнями уравнения (иначе, удовлетворяющих этому уравнению), дает нам геометрическое представление этого уравнения.

Уравнение с двумя буквами (переменными)

Нам хорошо известно, что решением (корнем) уравнения с одной неизвестной буквой называется вся­кое значение входящей буквы, удовлетворяющее уравнению.

Если уравнение содержит две неизвестные буквы, понятие решения должно быть обобщено и именно следующим образом: решением уравнения с двумя неизвестными буквами называется пара значений двух неизвестных, удовлетворяющая уравнению.

Так, пара чисел Алгебраические уравнения первой степени этоесть решение уравнения Алгебраические уравнения первой степени это; то же можно сказать о паре чисел Алгебраические уравнения первой степени это; но, например, пара Алгебраические уравнения первой степени этоне есть решение.

В случае уравнения с двумя неизвестными найти и перечислить все решения, как правило, невозможно. Уже простейшие примеры, вроде Алгебраические уравнения первой степени этоили Алгебраические уравнения первой степени это, показывают, что такое уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Поэтому, если в уравнение входят две (или более) неизвестных буквы, их называют обыкновенно не неизвестными, а переменными (переменными величинами).

Алгебраическое уравнение с двумя буквами считается нормальным, если в правой части стоит нуль, а в левой — многочлен, расположенный по обеим бук­вам.

Уравнения с двумя буквами (как и уравнения с од­ной буквой) классифицируются по степеням: степенью уравнения называется степень многочлена, стоящего в его левой части, причем обе буквы считаются главными.

Уравнения первой степени (линейные) имеют вид Алгебраические уравнения первой степени это.

Уравнения второй степени (квадратные) имеют вид Алгебраические уравнения первой степени это.

Отдать себе отчет в том, какова совокупность решений данного уравнения, нам помогает геометрическое представление уравнения: оно делает наглядной ту зависимость, которая существует между значениями букв, удовлетворяющими уравнению. Познакомимся ближе с этим геометрическим представлением.

Так как у нас имеется не одна, а две буквы, до­пустим, Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоиз которых каждая может принимать различные значения, то уже нельзя обойтись числовой прямой, а необходимо прибегнуть к числовой (координатной) плоскости. Проведем на листе клетчатой бумаги горизонтальную ось Алгебраические уравнения первой степени этои вертикальную ось Алгебраические уравнения первой степени этомасштабы на осях будем брать одинаковые. Каждая пара значений букв Алгебраические уравнения первой степени этоизображается, как нам известно, некоторой определенной точкой плоскости Алгебраические уравнения первой степени это, именно — точкой с абсциссой Алгебраические уравнения первой степени этои ординатой Алгебраические уравнения первой степени это. Поэтому совокупность всех пар значений Алгебраические уравнения первой степени это, удовлетворяющих уравнению, изображается также не­ которой совокупностью (геометрическим местом) точек на плоскости Алгебраические уравнения первой степени это. Эта совокупность и дает геометрическое представление решений нашего уравнения; она называется графиком уравнения. Итак, график урав­нения есть совокупность всех тех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Пример:

Рассмотрим уравнение Алгебраические уравнения первой степени это.
Его графиком является совокупность точек Алгебраические уравнения первой степени это, у ко­торых абсцисса Алгебраические уравнения первой степени эторавна ординате Алгебраические уравнения первой степени этолегко понять, что все такие точки лежат на биссектрисе первого и треть­ его координатных углов: эта биссектриса и представляет собой график нашего уравнения.

Пример:

Второй пример возьмем более сложный. Пусть нам дано уравнение второй степени: Алгебраические уравнения первой степени это.

Посмотрим, как можно наметить его график.

Ничего не стоит решить уравнение относительно буквы Алгебраические уравнения первой степени это: Алгебраические уравнения первой степени это

Дальше можно составить табличку числовых значений переменной Алгебраические уравнения первой степени это, соответствующих заранее назначенным значениям переменной Алгебраические уравнения первой степени это:Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени этоЧерт. 39

Каждую полученную точку сейчас же отмечают на черте­ же. Точки располагаются с известной правильностью.

Чертеж 39 показывает, что при возрастании значений Алгебраические уравнения первой степени этоот Алгебраические уравнения первой степени этодо Алгебраические уравнения первой степени этозначения Алгебраические уравнения первой степени этотакже возрастают от Алгебраические уравнения первой степени этодо Алгебраические уравнения первой степени это; затем при дальнейшем возрастании Алгебраические уравнения первой степени этоот Алгебраические уравнения первой степени этодо Алгебраические уравнения первой степени этозначения Алгебраические уравнения первой степени этоубывают от Алгебраические уравнения первой степени этодо Алгебраические уравнения первой степени это. При Алгебраические уравнения первой степени этополучаем уже отрицательное значение: Алгебраические уравнения первой степени это, придется поставить точку ниже оси Алгебраические уравнения первой степени это.

При Алгебраические уравнения первой степени этополучаем Алгебраические уравнения первой степени это; и еще дальше значения Алгебраические уравнения первой степени этобыстро убывают (в алгебраическом смысле).

Можно букве Алгебраические уравнения первой степени этодавать и отрицательные значения; например, при Алгебраические уравнения первой степени этобудем иметь Алгебраические уравнения первой степени этои т. д.

Полезло убедиться, что точки, получающиеся при подстановке дробных значений Алгебраические уравнения первой степени это, не нарушают общей правильности в расположении точек графика (напри­мер, при Алгебраические уравнения первой степени этополучаем Алгебраические уравнения первой степени это).

Поставим себе еще и такой вопрос: имеет ли наш график какие-нибудь точки на оси Алгебраические уравнения первой степени это, кроме двух, уже найденных? Чтобы получить ответ, достаточно в уравнении положить Алгебраические уравнения первой степени этои решить полученное уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоотносительно Алгебраические уравнения первой степени это. Мы получаем два корня: Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это. Иных корней нет. Значит, график пересекается с осью Алгебраические уравнения первой степени этотолько в двух, уже ранее найденных точках.

Хотя мы отметили на чертеже не свыше десятка точек, положение которых нам известно вполне точно, тем не менее правильность их расположения не оставляет сомнений в том, что все остальные, не отмеченные нами, точки графика лежат на некоторой плавной кривой, проходящей через отмеченные точки.

Эта кривая и есть график нашего уравнения. Провести ее от руки не представит труда.

Правда, полученная таким образом кривая даст возможность лишь приближенно судить о положении тех точек графика, координаты которых не были вычислены.

Использованный нами прием получения графика но­сит название построения графика по точкам.

Постараемся дать описание этого приема, не связывая его с каким-либо определенным примером. Пусть дано некоторое уравнение, содержащее буквы Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это, мы хотим знать, каков его график.

Посмотрим, существуют ли такие точки графика, ко­торые имеют заранее назначенную абсциссу, скажем, Алгебраические уравнения первой степени это. Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно под­ставить в уравнение вместо буквы Алгебраические уравнения первой степени эточисло Алгебраические уравнения первой степени этои решить полученное уравнение (содержащее теперь уже только одну букву) относительно буквы Алгебраические уравнения первой степени это. Корни этого уравнения дают нам ординаты всех точек графика, имеющих абсциссу Алгебраические уравнения первой степени это, т. е. лежащих на одной и той же вертикальной прямой, отстоящей вправо от оси Алгебраические уравнения первой степени этона расстоянии Алгебраические уравнения первой степени это. Продолжая поступать таким же образом, т. е. давая абсциссе Алгебраические уравнения первой степени этодругие, заранее назначенные, значения, например, Алгебраические уравнения первой степени этоможно найти все точки графика, расположенные на других вертикальных пря­мых. Обыкновенно поступают именно таким образом; при этом стараются облегчить себе работу тем, что предварительно решают данное уравнение относительно буквы Алгебраические уравнения первой степени это, т. е. приводят его к такому виду, чтобы в левой части была одна буква Алгебраические уравнения первой степени это, а правая за­висела только от Алгебраические уравнения первой степени это, но не от Алгебраические уравнения первой степени это, Тогда нахождение то­чек графика сводится к выполнению числовых подста­новок в правой части уравнения.

Разумеется, можно было бы также решить данное уравнение относительно буквы Алгебраические уравнения первой степени этои затем придавать ряд значений букве Алгебраические уравнения первой степени это.

Примечание:

Иные уравнения — таковы, что не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению.
Тогда график отсутствует или представляет собою «пустое место».
Этим свойством обладает, например, уравнение Алгебраические уравнения первой степени этокоторого левая часть всегда положительна.

В редких случаях график может оказаться состоящим из одной точки или нескольких точек (в конечном числе). Так, уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоудовлетворяется только одной парой значений Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это.

Действительно, каждый из квадратов Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоможет быть или положительным числом, или нулем, но никак не отрицательным числом, сумма же Алгебраические уравнения первой степени эторавна нулю только в том случае, если Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоодновременно равны нулю. Следовательно, весь график сводится к одной точке — началу Алгебраические уравнения первой степени это.

Линейное уравнение с двумя переменными

На чертеже 40 изображен график уравнения Алгебраические уравнения первой степени это(1)

Это — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная в первой и третьей четвертях.

Уравнение показывает, что величина у прямо пропорциональна величине Алгебраические уравнения первой степени это. Желая найти все точки графика с целыми координатами, мы даем букве Алгебраические уравнения первой степени этозначения, кратные Алгебраические уравнения первой степени это, и получаем точки: Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои т. д.

Алгебраические уравнения первой степени этоЧерт. 40

Эти точки отмечены на чертеже. Чтобы перейти от од­ной такой точки к следующей (считая вправо), достаточно отсчитать « Алгебраические уравнения первой степени этоклеточек вправо и Алгебраические уравнения первой степени это— вверх».

Коэффициент пропорциональности Алгебраические уравнения первой степени этопозволяет
таким образом, определить направление нашей прямой.

Если бы вместо уравнения (I) было задано, напри­мер, уравнение
Алгебраические уравнения первой степени это, (2) то мы получили бы точки графика (с целыми координатами): Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои т. д.; отмечая их одну за другой, мы отсчитывали бы « Алгебраические уравнения первой степени этоклетки вправо, Алгебраические уравнения первой степени это— вверх», Рассмотрим еще уравнение Алгебраические уравнения первой степени это(3).

При значениях Алгебраические уравнения первой степени это, кратных Алгебраические уравнения первой степени это, получаем точки: Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои т. д.

Отсчитывать нужно « Алгебраические уравнения первой степени этоклеток вправо и Алгебраические уравнения первой степени это— вниз». Прямая, являющаяся графиком этого уравнения, расположена во второй и в четвертой четвертях. Из наших примеров можно сделать следующие об­щие заключения. Графиком уравнения вида Алгебраические уравнения первой степени это(4) является прямая линия, проходящая через начало Алгебраические уравнения первой степени это. Придавая уравнению вид Алгебраические уравнения первой степени это, мы убеждаемся, что коэффициент пропорциональности Алгебраические уравнения первой степени этопредставляет собою отношение ординаты любой точки графика к ее абсциссе. Если Алгебраические уравнения первой степени это, то прямая проходит в первой и третьей четвертях; если Алгебраические уравнения первой степени это, то во второй и четвертой. При Алгебраические уравнения первой степени этоуравнение принимает вид Алгебраические уравнения первой степени это, и графиком тогда является ось Алгебраические уравнения первой степени это.

Чем меньше Алгебраические уравнения первой степени этопо абсолютному значению, тем более полого расположена прямая (т. е. тем меньше острый угол, образованный ею с горизонтальной осью); напротив, чем больше Алгебраические уравнения первой степени этопо абсолютному значению, тем более круто расположена прямая (тем упомянутый острый угол ближе к прямому).

Коэффициент Алгебраические уравнения первой степени этов уравнении (4) называется наклоном прямой, являющейся графиком этого уравнения.

Обратим внимание на то, чем график уравнения Алгебраические уравнения первой степени этоотличается от графика уравнения Алгебраические уравнения первой степени это. При каждом данном значении абсциссы Алгебраические уравнения первой степени этосоответствующая ордината увеличена на Алгебраические уравнения первой степени этоединиц (Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этоили Алгебраические уравнения первой степени это); значит, получается снова прямая линия, но «сдвинутая» на Алгебраические уравнения первой степени этоединиц в направлении оси Алгебраические уравнения первой степени это: она уже не проходит через начало Алгебраические уравнения первой степени это, а пересекает ось Алгебраические уравнения первой степени этов точке Алгебраические уравнения первой степени это.

Таким образом, направление прямой Алгебраические уравнения первой степени этото же, что и направление прямой Алгебраические уравнения первой степени это: оно зависит от коэффициента Алгебраические уравнения первой степени этопри Алгебраические уравнения первой степени этов уравнении прямой, решенном относительно Алгебраические уравнения первой степени это(называемого и в этом случае наклоном прямой).

Другими словами, прямые Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этопараллельны.

На черт. 41 изображен график уравнения Алгебраические уравнения первой степени это. Это — прямая, параллельная прямой Алгебраические уравнения первой степени это, но образующая на оси Алгебраические уравнения первой степени этоотрезок, равный Алгебраические уравнения первой степени это.

Алгебраические уравнения первой степени этоЧерт. 41

Пусть буква Алгебраические уравнения первой степени этообозначает какое угодно число. Постараемся уяснить себе, каков график уравнения Алгебраические уравнения первой степени это.

Нам нужно установить, какова совокупность точек на плоскости Алгебраические уравнения первой степени это, координаты которых удовлетворяют уравнению. Уравнение не удовлетворяется, если значение абсциссы Алгебраические уравнения первой степени этоне равно Алгебраические уравнения первой степени это; если же оно равно Алгебраические уравнения первой степени это, то, како­ во бы ни было значение ординаты Алгебраические уравнения первой степени это, уравнение удовлетворяется. Это значит, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки на прямой, параллельной оси Алгебраические уравнения первой степени этои отстоящей от этой оси вправо на расстоя­нии Алгебраические уравнения первой степени это.

Итак, уравнение вида Алгебраические уравнения первой степени этоимеет графиком прямую, параллельную оси Алгебраические уравнения первой степени это. Точно так же уравнение вида Алгебраические уравнения первой степени этоимеет графиком прямую, параллельную оси Алгебраические уравнения первой степени это.

Из предыдущего следует весьма важное заключение: всякое уравнение, линейное относительно буквы Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоименно, уравнение вида Алгебраические уравнения первой степени это(где Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это— постоянные числа, причем Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоне равны нулю одновременно), имеет своим графиком прямую линию .

Действительно, если буква Алгебраические уравнения первой степени этона самом деле входит в уравнение (это значит, что Алгебраические уравнения первой степени этоне равно нулю), то не представляет труда решить уравнение относительно Алгебраические уравнения первой степени это. Мы получим: Алгебраические уравнения первой степени этои далее, деля все уравнение на Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени этополагая затем
Алгебраические уравнения первой степени этоприходим к уравнению вида
Алгебраические уравнения первой степени это, которое, как нам уже известно, изображается прямой линией.

Если же буква Алгебраические уравнения первой степени этоотсутствует в уравнении (т. е., если Алгебраические уравнения первой степени это), то тогда уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоможно решить относительно буквы Алгебраические уравнения первой степени это(раз Алгебраические уравнения первой степени это, то, по предположе­нию, Алгебраические уравнения первой степени это), и мы получим: Алгебраические уравнения первой степени этоили Алгебраические уравнения первой степени это(где для краткости положено Алгебраические уравнения первой степени это). Графиком такого уравнения является совокупность точек, имеющих абсциссу Алгебраические уравнения первой степени это; это также прямая, но уже параллельная оси Алгебраические уравнения первой степени это.

Рассматривать случай, когда Алгебраические уравнения первой степени этоне представляет интереса. В этом случае, если Алгебраические уравнения первой степени это, заданное уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоне удовлетворяется ни при каких значениях Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этои, значит, гра­фик этого уравнения представляет собою «пустое место»; если же Алгебраические уравнения первой степени это, то напротив, уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоудовлетворяется при всех значениях Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этотогда его «график» — вся плоскость.

Раз известно, что линейное уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоизображается прямой линией, то для того, чтобы начертить эту линию на координатной плоскости (на листе клетчатой бумаги), нет необходимости в боль­ших вычислениях.

В самом деле, прямая определяется двумя точками: значит, достаточно сделать две числовые подстановки.

Проще всего установить точки пересечения прямой с осями Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это. Пусть, например, дано уравнение Алгебраические уравнения первой степени это. Полагая Алгебраические уравнения первой степени это, получим уравнение от­носительно Алгебраические уравнения первой степени это: Алгебраические уравнения первой степени это, из которого следует, что Алгебраические уравнения первой степени это. Таким образом, найде­на точка графика Алгебраические уравнения первой степени это, лежащая на оси Алгебраические уравнения первой степени это. Пола­гая Алгебраические уравнения первой степени это, получим таким же образом: Алгебраические уравнения первой степени это, откуда следует, что Алгебраические уравнения первой степени это. Итак, найдена точка графика Алгебраические уравнения первой степени это, лежащая на оси Алгебраические уравнения первой степени это. Затем остается провести прямую через точки Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это.

Указанный прием неудобен только в том случае, если точки Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этонаходятся очень близко одна от другой, т. е. близки к началу Алгебраические уравнения первой степени это; он непригоден вовсе, если график проходит через начала Алгебраические уравнения первой степени это. В этих случаях следует делать какие-нибудь другие под­становки.

Например, чтобы построить график прямой Алгебраические уравнения первой степени это, заметим прежде всего, что она проходит через начало Алгебраические уравнения первой степени это; чтобы получить еще одну точку, положим Алгебраические уравнения первой степени этои получим Алгебраические уравнения первой степени это; итак, прямая проходит через точку Алгебраические уравнения первой степени это.

Нелинейные уравнения с двумя переменными

Мы видели, что если заданное уравнение — линейное (т. е. первой степени) относительно букв Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это, то его график — прямая линия.

Дальнейшие примеры покажут, что если заданное уравнение — не линейное (т. е. степени второй или выше) относительно букв Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени это, то его графиком являются кривые линии.

Степень уравнения относительно букв Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этоназы­вается порядком соответствующей кривой.

Мы рассмотрим здесь только несколько наиболее простых и важных примеров кривых, преимущественно второго порядка.

Пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

С этим уравнением мы уже встречались. Оно говорит о том, что пе­ременные величины Алгебраические уравнения первой степени этои Алгебраические уравнения первой степени этообратно пропорциональны.

Можно ли решить уравнение относительно Алгебраические уравнения первой степени это? От­вет — утвердительный, если только Алгебраические уравнения первой степени этоимеет значение, не равное нулю. Но легко понять, что при Алгебраические уравнения первой степени этоника­кое значение Алгебраические уравнения первой степени этоне может удовлетворить уравнению: это значит геометрически, что на оси Алгебраические уравнения первой степени этонет ни одной точки графика.

Итак, пусть теперь Алгебраические уравнения первой степени это. Решим уравнение отно­сительно у: Алгебраические уравнения первой степени это.

Это равенство свидетельствует, что Алгебраические уравнения первой степени этоесть «величи­на, обратная величине Алгебраические уравнения первой степени это». Посмотрим, как изменится величина, обратная Алгебраические уравнения первой степени это, при изменении самого Алгебраические уравнения первой степени это.

Ограничиваясь пока положительными значениями величины Алгебраические уравнения первой степени это, станем составлять табличку и одновременно отмечать точки на чертеже. Ясно, что с увеличением Алгебраические уравнения первой степени этовеличина Алгебраические уравнения первой степени этоубывает, приближаясь к нулю. Но значения Алгебраические уравнения первой степени этоона не принимает.

Алгебраические уравнения первой степени это

Попробуем взять и дробные значения Алгебраические уравнения первой степени это:

Алгебраические уравнения первой степени это

Получающиеся на чертеже точки имеют правильное расположение: через них можно с уверенностью про­ вести плавную кривую. Менее ясно пока, как вести кривую влево, в промежутке от Алгебраические уравнения первой степени этодо Алгебраические уравнения первой степени это. Продолжим табличку:

Алгебраические уравнения первой степени это

и станем отмечать новые точки. Теперь становится яс­но, что с убыванием положительных значений Алгебраические уравнения первой степени этовели­чина Алгебраические уравнения первой степени этовозрастает и притом не ограничено. Имен­но, Алгебраические уравнения первой степени этопримет какое угодно большое значение, если только значение Алгебраические уравнения первой степени этобудет достаточно малым. Кривая (при движении справа налево) поднимается вверх, примыкая к оси Алгебраические уравнения первой степени это, хотя, как мы видели, с этой осью общих точек не имеет (см. черт. 42).

Алгебраические уравнения первой степени этоЧерт. 42

Вся полученная кривая расположена в первой четверти. Если бы мы пожелали давать букве Алгебраические уравнения первой степени этоотрица­тельные значения, то, составляя соответствующую таблицу и при этом производя деление по известным правилам, получили бы в третьей чет­верти другую «ветвь» кривой.

Обе «ветви». рассматриваемые совместно, обра­зуют кривую, называемую «гиперболой».

Гипербола — кривая второго порядка.

Пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

Подставляя положительные значения Алгебраические уравнения первой степени это, получаем таблицу:

Алгебраические уравнения первой степени это

Отметив соответствующие точки на чертеже, мы видим, что при увеличении абсциссы Алгебраические уравнения первой степени этоордината Алгебраические уравнения первой степени этоочень быстро возрастает, причем сам график (если попробо­вать его провести) все больше выпрямляется. Напротив, ближе к началу Алгебраические уравнения первой степени этоон довольно сильно искривлен. Под­ставляя еще значения Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это, Алгебраические уравнения первой степени это, мы получим:

Алгебраические уравнения первой степени это

В первой клеточке Алгебраические уравнения первой степени этосделаем подстановки даже через одну десятую:

Алгебраические уравнения первой степени это

Последняя табличка позволяет заключить, что. под­ ходя к началу Алгебраические уравнения первой степени это. график тесно примыкает к оси Алгебраические уравнения первой степени это, касается ее.

Обращаясь к отрицательным значениям Алгебраические уравнения первой степени это, мы видим, что при возведении в квадрат отрицательного числа знак минус будет уничтожаться. Отсюда ясно, что кри­вая продолжается из первой четверти во вторую симметрично относительно вертикальной оси.

Алгебраические уравнения первой степени этоЧерт. 43

Полученная кривая носит название параболы(см. черт. 43).

Парабола — кривая также второго порядка.

Пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

При подстановке больших значений Алгебраические уравнения первой степени это, как показы­вает следующая таблица, кубы возрастают гораздо быстрее, чем квадраты:

Алгебраические уравнения первой степени это

Напротив, при подстановке значений, близких к нулю, кубы убывают быстрее, чем квадраты:

Алгебраические уравнения первой степени это

Поэтому кривая Алгебраические уравнения первой степени этос возрастанием Алгебраические уравнения первой степени этоподни­мается вверх гораздо круче, чем парабола Алгебраические уравнения первой степени это; и при убывании Алгебраические уравнения первой степени этодо нуля гораздо теснее примыкает к оси Алгебраические уравнения первой степени это.

На параболу Алгебраические уравнения первой степени этоэта кривая не похожа еще и в том отношении, что у нее отсутствует вертикальная ось симметрии; но имеется центр симметрии в начале Алгебраические уравнения первой степени это. Это зависит от того, что при возведении в куб отрицательного числа его абсолютное значение возво­дится в куб, но знак остается отрицательный.

Общий вид кривой Алгебраические уравнения первой степени это(кубической параболы) показан на черт. 44.

Алгебраические уравнения первой степени этоЧерт. 44

Это — кривая третьего порядка.

Алгебраические уравнения и алгоритм их решения

Общая теория уравнений

Тождества:

Введем понятие тождественного равенства функ­ций на числовом множестве X.

Пусть функции у = f(х) и у = F(х) имеют области определения А и В соответственно, и X является подмножеством как A, так и В (но не обязательно совпадает с пересечением А и В). Тогда функции у = f(х) и у = F(х) определены на X.

Функции у=f(х) и у=F(х) называются тождественно равны­ми на числовом множестве X, если для любого числа х из X выпол­няется равенство f(х)=F(х). В этом случае говорят, что равенст­во f(х)=F(х) является тождеством на множестве X.

Разумеется, равенство f(х)=F(х) может быть тождеством на некотором множестве X, но не быть тождеством на каком-нибудь другом множестве Y . Рассмотрим, например, функции у=х и у =|x|. На множестве X положительных чисел эти функции тождественно равны: если х — положительное число, то |х|=х. На множестве же Y всех действительных чисел эти функции не явля­ются тождественно равными: при отрицательных значениях х ра­венство

Алгебраические уравнения первой степени это

не имеет места, так как при этих значениях |x|= — х.

Совершенно так же определяется понятие тождественного равенства для функций нескольких переменных. Например, функции Алгебраические уравнения первой степени этопеременных х и у тождественно рав­ны на множестве всех значений этих переменных: для любых значе­ний х и у выполняется равенство

Алгебраические уравнения первой степени это

Функции же z=х+у и z =|х+у | тождественно равны лишь на множестве пар чисел х, у , для которых Алгебраические уравнения первой степени этоили, что то же самое, Алгебраические уравнения первой степени это

Область допустимых значений

Тождественные преобразова­ния многочленов и алгебраических дробей изучались в начальной алгебре, и мы не будем подробно останавливаться на этом вопросе. Разберем лишь вопрос об области допустимых значений функцио­нального равенства. Пусть дано равенство вида

Алгебраические уравнения первой степени это

Может случиться, что функции у=f(x) и у=F(x) определены не для всех значений х . Областью допустимых значений аргумента х для равенства (1) мы будем называть множество всех значений х, при которых определены и левая и правая части этого равенства.

Например, для тождества

Алгебраические уравнения первой степени это

областью допустимых значений является совокупность всех действительных чисел, из которой исключены числа 2 и 4 (при х=2 не определена функция Алгебраические уравнения первой степени это, а при х=4 — функция Алгебраические уравнения первой степени это).

Следует иметь в виду, что такие преобразования, как приведение подобных членов, могут привести к изменению области допус­тимых значений. Например, тождество (2) справедливо для всех значений х , кроме х=2 и х=4. Если же мы приведем подобные члены, то получим тождество

Алгебраические уравнения первой степени это

справедливое для всех без исключения значений х.

Уравнения

Обычно когда даны две функции у=f(х) и у=F(х), то неизвестно, каково множество, на котором эти функ­ции тождественно равны. Поэтому возникает следующая задача: найти все значения х, для которых выпол­няется равенство

Алгебраические уравнения первой степени это

При такой постановке задачи (*) называют уравнением с неизвестным х , а все х , при которых функции у=f(х) и у=F(х) принимают одинаковые значения, — корнями или решениями этого уравнения.

Итак, уравнение f(x) =F(х) выражает задачу об отыскании таких значений переменного х, при которых функции f(x) и F(x) имеют оди­наковые значения. Решить уравнение — это значит найти все такие значения х, т. е. все корни (решения) уравнения.

Областью допустимых значений для уравнения (1) называют множество всех х у при которых определены обе функции у=f(х) и у=F(х). Например, для уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

область допустимых значений определяется условиями:

Алгебраические уравнения первой степени это

Область допустимых значений может заранее ограничиваться некоторыми условиями. Например, могут иметь смысл лишь поло­жительные или лишь целые корни. В этом случае надо рассмат­ривать уравнение лишь для положительных (или целых) значе­ний х.

Тогда мы считаем, что функции f(x) и F(х) заданы на некотором множестве X, и рассматриваем уравнение лишь на этом множестве.

Пусть даны два уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Обозначим множество корней уравнения (1) через M, а множество корней уравнения (2) через N. Если Алгебраические уравнения первой степени это(то есть, если всякий ко­рень уравнения (1) является корнем уравнения (2)), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Например, уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоявляется следствием уравнения 2х—6= 0. В самом деле, корнем уравнения 2х — 6=0 является х=3, а при этом значении многочлен Алгебраические уравнения первой степени этообращается в нуль.

Если множества М и N корней уравнений (1) и (2) совпадают, то эти уравнения называются равносильными. Иными словами, уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

равносильны, если всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (3) и, обратно, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения (2).

В частности, уравнения равносильны, если множества М и N — пусты, то есть если каждое из уравнений не имеет решений.

Если уравнения (2) и (3) равносильны, то каждое из них явля­ется следствием другого.

Следует отметить, что понятие равносильности уравнений существенно зависит от того, какие значения корней считаются до­пустимыми. Рассмотрим, например, уравнения:

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Корнями первого уравнения является число х=3, а второго — числа Алгебраические уравнения первой степени этоТак как эти множества различны, то уравнения (4) и (5) не являются равносильными. Но если рассматривать лишь рациональные значения корней уравнения, то уравнения (4) и (5) оказываются равносильными — ибо они имеют по единственному рациональному корню х = 3. Как правило, мы будем в дальнейшем рассматривать равносильность относительно множества всех действительных чисел. Иными словами, уравнения будут считаться равносильными, если они имеют одни и те же действительные корни.

Совокупности уравнений

Пусть задано несколько уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

и требуется найти все значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих уравнений. Тогда говорят, что задана совокупность уравнений, а такие значения х называют решениями или корнями этой совокупности. Следует различать совокупность уравнений и систему уравнений — для системы уравнений требуется искать значения неизвестных, которые удовлетворяют всем урав­нениям, а для совокупности — хотя бы одному из уравнений.

Чтобы отличать совокупность уравнений от системы уравнений, мы будем обозначать совокупность квадратными скобками, а систему — фигурными скобками.

Алгебраические уравнения первой степени это

имеет одно решение Алгебраические уравнения первой степени это, а совокупность тех же уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

имеет три решения Алгебраические уравнения первой степени это

Обозначим множество решений уравнения Алгебраические уравнения первой степени эточерез Алгебраические уравнения первой степени этоа мно­жество решений совокупности уравнений (1) через N. Тогда Алгебраические уравнения первой степени этоНапример, множество решений совокупности

Алгебраические уравнения первой степени это

состоит из чисел 2, 3 (решений уравнения Алгебраические уравнения первой степени это1, —1 (решений уравнения Алгебраические уравнения первой степени это) и —7 (решения уравнения Алгебраические уравнения первой степени этоЧисло х=3 является решением, хотя при этом значении не определена функция Алгебраические уравнения первой степени это

Две совокупности уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней.

Например, совокупности уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

равносильны — их корнями являются числа 2, —2 и —3.

Преобразования уравнений

При решении уравнений мы переходим от одного уравнения к другому, пока не придем к уравне­нию вида х = а или совокупности уравнений такого вида. Возьмем, например, уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Прибавляя к обеим частям этого уравнения (—Зх+3) и приводя подобные члены, получаем уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

А теперь умножим обе части уравнения (2) на и получим, что

Алгебраические уравнения первой степени это

В процессе решения этого уравнения мы прибавляли к обеим частям уравнения некоторое алгебраическое выражение (а именно, —Зх+3), умножали обе части уравнения на одно и то же число (а именно, наАлгебраические уравнения первой степени это). Кроме того, мы выполняли тождественные преоб­разования. Заметим, что уравнения (1), (2) и (3) имели одно и толь­ко одно решение х = 2. Таким образом, все проведенные преобра­зования приводили к уравнениям, равносильным первоначальному уравнению (1), имевшим с ним одно и то же решение.

Однако не всегда одинаковые преобразования обеих частей уравнения приводят к уравнению, равносильному первоначальному. Рассмотрим уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Его решением является х = 3. Если же мы умножим обе части уравнения на х — 2, то получим уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Это уравнение, кроме решения х=3, имеет еще решение х= 2— оно имеет лишний корень по сравнению с (4).

С другой стороны, если мы возьмем уравнение (5), имеющее решения х=2, х=3, и «сократим» его на х — 2 (то есть разделим обе части уравнения на х — 2), то получим уравнение 2х+1= =х+4 с единственным решением х=3. Значит, здесь мы в про­цессе решения потеряли корень х=2.

Не является «безобидным» и прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения. Например, уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

имеет решение х =2. Но если прибавить к обеим частям этого уравнения выражение Алгебраические уравнения первой степени это, то получим уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

для которого х =2 не является решением — обе части этого уравнения не имеют смысла при х=2. Таким образом, произошла по­теря решения.

Эти примеры наглядно показывают, что при преобразовании уравнений необходима осторожносгь — неправильно преобразуя уравнение, мы можем как приобрести лишние решения, так и поте­рять решения данного уравнения. При этом надо иметь в виду, что приобретение лишних решений не столь опасно, как потеря сущест­вующих. Ведь после того, как уравнение решено, можно подставить все найденные решения в заданное уравнение и отобрать те из реше­ний, которые ему удовлетворяют. А потерянные решения восстано­вить уже нельзя.

Из изложенного видно, что, прежде чем решать конкретные ви­ды уравнений, надо познакомиться с общей теорией уравнений, выяснить, какие преобразования приводят к равносильным уравне­ниям, какие дают посторонние решения, а при каких решения мо­гут быть потеряны. Только после этого мы сможем решать урав­нения «с открытыми глазами».

Теоремы о равносильности уравнений

Сформулируем сна­чала условия, при которых одно уравнение является следствием другого уравнения. Потом из этих условий будут получены условия равносильности уравнений.

Теорема:

Если к обеим частям уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

прибавить функцию Алгебраические уравнения первой степени этоимеющую смысл при всех допустимых значениях неизвестного х, то получится новое уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

являющееся следствием данного.

Доказательство:

В самом деле, пусть а—корень уравнения (1). Тогда f(а)=F(а). Но Алгебраические уравнения первой степени этоявляется некоторым числом, так как по условию функция Алгебраические уравнения первой степени этоопределена для всех допустимых значений х и, в частности, при х=а. Прибавим к обеим частям числового равенства f(a)=F(а) число Алгебраические уравнения первой степени это. Получим равенство

Алгебраические уравнения первой степени это

которое показывает, что число а является корнем уравнения (2). Таким обра­зом, всякий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), то есть уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Условие, что функция Алгебраические уравнения первой степени этоопределена при всех допустимых значениях х, существенно. Если Алгебраические уравнения первой степени этоне определено при х=а, где а — решение уравния (1), то уравнение (2) не является следствием уравнения (1) и уравнения (1) и (2) неравносильны: х = а является решением для (1), но не является ре­шением для уравнения (2). Примером могут служить уравнения (6) и (7) из п. 5.

Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения не может привести к приобретению посторонних корней, если это прибавление не сопровождается приведением подобных членов или иными преобразованиями, меняющими область определения уравнения (например, сокращением дробей). Рассмотрим, например, уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Если прибавить к обеим частям — Алгебраические уравнения первой степени этои привести подобные члены, то получим уравнение Зх +1= 9 — х, имеющее решение х = 2. Это решение не принадлежит области определения исходного уравнения и потому не удовлетворяет ему.

Перейдем к вопросу об умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

Теорема:

Если обе части уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

умножить на функцию Алгебраические уравнения первой степени это, имеющую смысл при всех допустимых значениях х, то получится новое уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

являющееся следствием уравнения (3).

Доказательство.

Пусть а — корень уравнения (3). Тогда справедливо равенство f(а)=F(а). Умножим обе части этого равенства на число Алгебраические уравнения первой степени это. Мы получим числовое равенство Алгебраические уравнения первой степени этоОно показывает, что а является корнем и уравнения (4). Таким образом, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то есть (4) — следст­вие (3).

Из доказанных теорем следует, например, что уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

является следствием уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Действительно, уравнение (5) получается из уравнения (6) прибавлением к обеим частям функции Зх+2 и умножением полученного уравнения на х + 2.

Многочлены определены при всех значениях х. Поэтому прибавление к обеим частям уравнения многочлена, равно как и умножение обеих частей

уравнения на многочлен, приводит к уравнению, являющемуся следствием исходного.

Оговорка о том, что Алгебраические уравнения первой степени этодолжно иметь смысл при всех допустимых зна­чениях х, существенна для справедливости теоремы 2. Рассмотрим, напри­мер, уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

и умножим обе части этого уравнения на Алгебраические уравнения первой степени этоМы получим уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоОно уже не является следствием исходного: уравнение (7) имеет корни 2 и 3, а уравнение Алгебраические уравнения первой степени это— лишь корень 3. При­чиной потери корня явилось то, что функция Алгебраические уравнения первой степени этоне определена при х = 2, а это значение как раз является корнем заданного уравнения.

Докажем теперь теоремы о равносильности уравнений. Чтобы доказать равносильность двух уравнений, надо показать, что пер­ вое из них является следствием второго, а второе — следствием первого.

Теорема:

Если функция Алгебраические уравнения первой степени этоопределена при всех допустимых значениях неизвестного х, то уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Доказательство:

Мы уже видели, что при условии теоремы уравнение (9) является следствием уравнения (8). Но уравнение (8) в свою очередь получается из уравнения (9) прибавлением к обеим частям функции — Алгебраические уравнения первой степени этои приведением подобных членов.

Так как функция Алгебраические уравнения первой степени этоопределена при всех допустимых значениях х, то уравнение (8) является следствием уравнения (9). Тем самым доказано, что уравнения (8) и (9) равносильны.

Из доказанной теоремы вытекает правило перенесения слагае­мых из одной части уравнения в другую: если некоторое слагаемое данного уравнения перенести из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

В самом деле, в силу теоремы 3 уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

равносильны: уравнение (11) получается путем прибавления функции — Алгебраические уравнения первой степени эток обеим частям уравнения (10) и приведения подобных членов.

Кратко правило перенесения слагаемых формулируют так: всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Из доказанной теоремы вытекает, что всякое уравнение f(х) =F(х) можно заменить равносильным ему уравнением вида Ф(х) = 0. Для этого достаточно перенести F(х) в левую часть уравнения, заменив знак на противоположный, и положить f(х)— F(х) =Ф (х).

Теорема:

Если функция Алгебраические уравнения первой степени этоопределена для всех допустимых значений х и ни при одном допустимом значении х не обращается в нуль, то уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Доказательство:

Мы уже видели (теорема 2), что уравнение (13) является следствием уравнения (12). Докажем, что уравнение (12) в свою очередь является следствием уравнения (13). Уравнение (12) получается из уравнения (13) умножением обеих частей на функцию Алгебраические уравнения первой степени этоТак как по условию функция Алгебраические уравнения первой степени этоопределена для всех допустимых значений х и не обращается при этих значениях в нуль, то функция Алгебраические уравнения первой степени этотакже опре­делена при всех допустимых значениях х. Поэтому уравнение (12) является следствием уравнения (13), а значит, эти уравнения равносильны.

Из доказанной теоремы вытекает, например, что уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

равносильны в области действительных чисел. В самом деле, урав­нение (15) получается из уравнения (14) умножением на функцию Алгебраические уравнения первой степени это, а эта функция всюду определена и не обращается в нуль при действительных значениях х.

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

не являются равносильными — второе получается из первого умножением на функцию Алгебраические уравнения первой степени это, а эта функция обращается в нуль при х = ± 1. Поэтому второе уравнение, кроме корня Алгебраические уравнения первой степени этоудовлетворяющего и первому уравнению, имеет еще и корни Алгебраические уравнения первой степени этоАлгебраические уравнения первой степени это

Уравнения (12) и (13) могут быть неравносильными и в том случае, когда множитель Алгебраические уравнения первой степени этотеряет смысл при некоторых допустимых значениях неизвестного. Например, уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

неравносильны: множитель Алгебраические уравнения первой степени этотеряет смысл при х = 2, а x = 2 как раз является корнем уравнения Алгебраические уравнения первой степени это

Если в ходе решения уравнения приходилось умножать обе части этого уравнения на выражение Алгебраические уравнения первой степени это, содержащее неизвестное, то надо проверить две вещи: а) Не обращается ли Алгебраические уравнения первой степени этов нуль при допустимых значениях не­ известного? б) Не теряет ли Алгебраические уравнения первой степени этосмысл при некоторых допустимых значениях неизвестного?

В первом случае среди найденных корней могут оказаться посторонние корни, и надо проверить все найденные корни, удов­летворяют ли они первоначально заданному уравнению. Во вто­ром же случае возможна потеря корней, и мы должны подставить в заданное уравнение значения неизвестного, при которых теряет смысл Алгебраические уравнения первой степени это— среди этих значений могут оказаться потерянные в ходе решения корни уравнения.

Из теоремы 4 непосредственно вытекает справедливость утверждения: если обе части уравнения умножить на произвольное отлич­ное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Это утверждение кратко формулируют так: обе части уравнения можно умножать на произвольное отличное от нуля число.

Уравнения с одним неизвестным

Алгебраические уравнения с одним неизвестным:

Рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

Алгебраические уравнения первой степени это

где R(х) — алгебраическая дробь относительно х. К такому виду можно в силу теорем 3 и 5, привести любое уравнение Алгебраические уравнения первой степени этоАлгебраические уравнения первой степени это— алгебраические дроби. Например, уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

является рациональным алгебраическим. В дальнейшем мы будем называть такие уравнения просто алгебраическими.

Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить каждое уравнение вида (1) равносильным ему уравнением вида:

Алгебраические уравнения первой степени это

где f(x)— многочлен от х. Для этого надо записать дробь R(x) в ви­де отношения двух многочленов. Мы получим уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

где f(х) и Алгебраические уравнения первой степени это— многочлены от х. Но дробь может равняться нулю лишь в случае, когда равен нулю ее числитель. Поэтому решение уравнения (1) сводится к решению уравнения f(x)=0, где f(х) — многочлен от х. При этом нужно иметь в виду, что решениями уравнения (1) являются лишь те корни уравнения (2), при которых дробь R(x) имеет смысл (то есть Алгебраические уравнения первой степени этоотлично от нуля).

Пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

Перенесем Алгебраические уравнения первой степени этов левую часть уравнения и приведем получившуюся сумму к общему знаменателю. Получим уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Приравнивая нулю числитель этой дроби, получаем уравнение х—2=0, корнем которого является число х=2. Однако при x=2 дробь Алгебраические уравнения первой степени этоне определена. Поэтому заданное уравне­ние корней не имеет.

Метод разложения на множители

Рассмотрим некоторые методы решения алгебраических уравнений, а также отдельные виды таких уравнений.

Выше было сказано, что при решении уравнения его заменяют другими уравнениями или совокупностями уравнений, равносильными заданному, но более простыми

Рассмотрим следующий пример. Пусть надо решить уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Мы знаем, что произведение может равняться нулю тогда и только тогда, когда хоть один из его сомножителей равен нулю. Поэтому, чтобы решить уравнение (1), надо найти все значения, при кототых хоть один из сомножителей равен нулю. А это все равно, что решить совокупность уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая ее, находим для х значения Алгебраические уравнения первой степени этои 6. Они и дают корни уравнения (1).

Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде формулируется так.

Теорема:

Если функции Алгебраические уравнения первой степени этоопределены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

равносильно совокупности уравнений

Алгебраические уравнения первой степени это

Доказательство:

Пусть а — одно из решений совокупности (3). Это означает, что а является корнем одного из уравнений этой совокуп­ности, например, уравнения Алгебраические уравнения первой степени этоа все остальные функции Алгебраические уравнения первой степени этоопреде­лены при х = а. Но тогда

Алгебраические уравнения первой степени это

так как один из сомножителей Алгебраические уравнения первой степени эторавен нулю. Следовательно, любое решение совокупности (3) является корнем уравнения (2).

Наоборот, пусть а — корень уравнения (2). Тогда f (а)=0, то есть Алгебраические уравнения первой степени этоНо произведение равно нулю лишь в случае, когда хоть один из сомножителей равен нулю. Поэтому хотя бы одно из чисел Алгебраические уравнения первой степени эторавно нулю. Это означает, что а является корнем хотя бы одного из уравнений Алгебраические уравнения первой степени этото есть одним из решений совокупно­сти уравнений (3).

Пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

Левая часть этого уравнения разлагается на множители следующим образом:

Алгебраические уравнения первой степени это

Отсюда следует, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений:

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая уравнения этой совокупности, получаем корни урав­нения (4):

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

не равносильны, так как при х = 0 функция Алгебраические уравнения первой степени этоне определена. На множестве же Алгебраические уравнения первой степени этоони равносильны.

В некоторых случаях разложение на множители связано с искусственными преобразованиями. Рассмотрим, например, уравне­ние:

Алгебраические уравнения первой степени это

Нетрудно заметить, что

Алгебраические уравнения первой степени это

Поэтому уравнение (б) можно записать в виде:

Алгебраические уравнения первой степени это

Таким образом, все свелось к решению совокупности двух квадратных уравнений:

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая их, находим корни уравнения (6):

Алгебраические уравнения первой степени это

Метод введения нового неизвестного

Наряду с методом разложения на множители часто применяется другой метод — введе­ние нового неизвестного.

Рассмотрим следующий пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

Если раскрыть скобки, то получится уравнение четвертой степени, решить которое довольно сложно. Мы поступим иначе. Обозначим Алгебраические уравнения первой степени эточерез r. Тогда Алгебраические уравнения первой степени это

Поэтому уравнение (1) после введения нового неизвестного z принимает вид

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая это квадратное уравнение, получаем, что его корни равны: Алгебраические уравнения первой степени это

Но Алгебраические уравнения первой степени этоПоэтому х удовлетворяет или уравнению Алгебраические уравнения первой степени этоили уравнению Алгебраические уравнения первой степени этото есть совокупности уравнений:

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая ее, получаем:

Алгебраические уравнения первой степени это

Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде заключается в следующем.

Пусть дано уравнение F(х)=0 и пусть функцию F(х) можно представить в виде Алгебраические уравнения первой степени этотак что уравнение F (х)=0 записывается в виде

Алгебраические уравнения первой степени это

Введем новое неизвестное z, положив Алгебраические уравнения первой степени этоТогда вместо уравнения (1) получаем уравнение относительно Алгебраические уравнения первой степени этоДока­жем следующую теорему.

Теорема:

Если а — один из корней уравнения f(z) = 0, а b — один из корней уравнения Алгебраические уравнения первой степени этото b является одним из корней уравнения F(х)=0, где Алгебраические уравнения первой степени это. Обратно, если b — корень уравнения F(х)=0, то Алгебраические уравнения первой степени это— один из корней уравнения f(z)= 0 .

Доказательство. Пусть b — корень уравнения Алгебраические уравнения первой степени этогде а — корень уравнения f (z)=0; f(а) =0. Тогда Алгебраические уравнения первой степени этои потому

Алгебраические уравнения первой степени это

Таким образом, b удовлетворяет уравнению F (х) = 0.

Обратно, пусть b — корень уравнения F(х)=0 и Алгебраические уравнения первой степени этоТогда

Алгебраические уравнения первой степени это

Следовательно, а — корень уравнения f(z)=0. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения вида Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени этосводится к следующему: сначала находят корни Алгебраические уравнения первой степени этоуравнения f(z) =0; после этого надо решить все уравнения Алгебраические уравнения первой степени этоСовокупность корней этих уравнений и дает решение уравнения (2).

Биквадратные уравнения

Метод замены неизвестного при­ меняется для решения уравнений вида

Алгебраические уравнения первой степени это

Такие уравнения называют биквадратными. Чтобы решить уравнение (1), положим Алгебраические уравнения первой степени этоТогда получим квадратное уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Его корнями являются числа:

Алгебраические уравнения первой степени это

Поэтому корни уравнения (1) получаются путем решения уравнений Алгебраические уравнения первой степени этоЗначит, мы получаем четыре корня для уравнения (1)

Алгебраические уравнения первой степени это

Четыре корня возникают при различных комбинациях знаков:

Алгебраические уравнения первой степени это

При решении биквадратных уравнений (как и при решении квадратных уравнений) иногда приходится извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Это приводит к так называемым комплексным числам, которые будут изучены в главе V.

Пример. Решить уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Полагая Алгебраические уравнения первой степени этополучаем квадратное уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Его корнями являются числа Алгебраические уравнения первой степени этоЗначит, корни урав­нения (8) имеют вид:

Алгебраические уравнения первой степени это

Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней

Многочлен n-й степени

Алгебраические уравнения первой степени это

называется возвратным, если его коэффициенты, одинаково уда­ ленные от начала и от конца, равны между собой. Иными словами, коэффициенты возвратного многочлена n-й степени удовлетворяют условию Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраическое уравнение вида f(х)=0, где f(х) — возврат­ный многочлен, называют возвратным уравнением. Примерами та­ких уравнений являются:

Алгебраические уравнения первой степени это

Рассмотрим решение возвратных уравнений третьей и четвер­той степеней. Возвратное уравнение третьей степени имеет вид:

Алгебраические уравнения первой степени это

Группируя члены, разложим выражение в левой части уравнения на множители:

Алгебраические уравнения первой степени это

Отсюда видно, что одним из корней уравнения (1) является х=—1 . Два других корня получаются путем решения квадратного уравнения

Алгебраические уравнения первой степени это

Пример:

Алгебраические уравнения первой степени это

Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем:

Алгебраические уравнения первой степени это

Корни квадратного уравнения Алгебраические уравнения первой степени эторавны Алгебраические уравнения первой степени этоПоэтому корнями заданного уравнения являются числа Алгебраические уравнения первой степени этоАлгебраические уравнения первой степени это

Приведем пример задачи, сводящейся к разобранному типу уравнений.

Задача:

Из квадратного листа жести со стороной а см вы­резают по углам четыре квадратика со стороной х см и делают из получившейся фигуры коробку. При каком значении х объем коробки равен Алгебраические уравнения первой степени это?

Решение:

Основанием коробки является квадрат со сторо­ной а-2x, а ее высота равна х. Значит, объем коробки равен Алгебраические уравнения первой степени этоПо условию имеем уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Положим Алгебраические уравнения первой степени это. Мы получим для z уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Разлагая на множители, получаем

Алгебраические уравнения первой степени это

Поэтому корни нашего уравнения равны

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Из условия задачи следует, что Алгебраические уравнения первой степени этоПоэтому Алгебраические уравнения первой степени этоне удовлетворяет условию. Итак, либо Алгебраические уравнения первой степени это, либо Алгебраические уравнения первой степени это

Теперь рассмотрим возвратное уравнение 4-й степени:

Алгебраические уравнения первой степени это

Так как Алгебраические уравнения первой степени этото х=0 не является корнем этого уравнения. Поэтому если разделить обе части уравнения (2) на Алгебраические уравнения первой степени этото получим равносильное уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Введем новое неизвестное z, положив Алгебраические уравнения первой степени это. Так как Алгебраические уравнения первой степени этоАлгебраические уравнения первой степени это

Следовательно, уравнение (3) превращается в квадратное уравнение отно­сительно z

Алгебраические уравнения первой степени это

Решив это уравнение, найдем его корни Алгебраические уравнения первой степени этоЧтобы найти х, остается решить совокупность уравнений:

Алгебраические уравнения первой степени это

Она сводится к совокупности квадратных уравнений:

Алгебраические уравнения первой степени это

Пример. Решить уравнение

Алгебраические уравнения первой степени это

Перепишем это уравнение в виде

Алгебраические уравнения первой степени это

и введем новое неизвестное Алгебраические уравнения первой степени это. Получим уравнение:

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это

Решая его, находим: Алгебраические уравнения первой степени это. Чтобы найти корни уравнения (4), надо решить уравнения:

Алгебраические уравнения первой степени это

Из них получаем:

Алгебраические уравнения первой степени это

Наряду с уравнениями вида (1) и (2) рассматривают так называемые кососимметричные уравнения, или, иначе, возвратные уравнения второго рода. При n=4 они имеют вид:

Алгебраические уравнения первой степени это

Это уравнение сводится к

Алгебраические уравнения первой степени это

После этого вводят новое неизвестное по формуле Алгебраические уравнения первой степени это. Так как Алгебраические уравнения первой степени этото уравнение (6) сводится к квадратному уравнению Алгебраические уравнения первой степени этоДальнейшее решение ведется так же, как и для обычных возвратных уравнений.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Алгебраические уравнения первой степени это

Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это Алгебраические уравнения первой степени это

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поделиться или сохранить к себе: