Как решать уравнения с двумя неизвестными 4 класс формула пример

Конспект урока по математике в 4 классе «Уравнения с неизвестными в обеих частях» система Л.В.Занкова

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №1 им. М.В.Ломоносова».

Тема: « Уравнения с неизвестным в обеих частях».

учитель начальных классов

Ярошенко Наталья Викторовна

Цели: 1). Продолжить работу по формированию понятия об уравнении;

2). Развивать умение решать уравнения, требующие тождественных преобразований на основе взаимосвязи между компонентами действий и на основе использования основных свойств равенств;

3). Развивать умение анализировать задачи и записывать решение алгебраическим способом;

4). Формировать вычислительные навыки.

I). Настрой на урок.

— Как прошла перемена? Садитесь.

— Сегодня на уроке решаем задачу, уравнения, изучаем новый материал;

И, конечно же. я для вас подготовила занимательно-познавательное задание.

— С какого задания хотите начать урок?

II). Устное занимательно-познавательное задание

3600: 60 П 63000: 7000 Р 72:12 Е

12х- х Л 5а + 8а К 3в + 18в Е

— Что можете сказать об этих выражениях?

( можно разделить на 2 группы – числовые, буквенные;

выражения с действиями 1, 2 ступеней;

1 группа – можно найти значения, 2 группа – нельзя, можно упростить;

Нужно использовать рациональные способы деления.)

— Устно найдите значения выражений 1 строки, а 2 строки упростите. Полученные результаты соотнесите с буквой.

— Поработайте в паре. Сравните свои записи. Какое слово у вас получилось?

— ИОГАНН КЕПЛЕР – немецкий учёный-астроном, сделавший свои открытия в начале XVII века.

Путём точных математических расчётов установил законы движения планет (их 3). О достижениях этого учёного вы подробно узнаете в старших классах на уроках астрономии.

А вас знания законов математики и точные математические расчёты приведут к открытиям на сегодняшнем уроке.

— Выполняя следующее задание, попробуйте определить тему урока.

III). Изучение нового.

5х + 15=80 5х + 15 = 80 – 8х

— Сравните данные уравнения. Что о них можете сказать? ( для решения первого уравнения нужно выполнить 2 действия, для второго больше;

Первое уравнения можем решить. 2 – не умеем решать.

— Самостоятельно решите то уравнение, которое умеете решать. ( два ученика работают на доске.)

— Чем второе уравнение отличается от тех, которые уже решали? (неизвестное число в обеих частях)

— Кто уже может определить тему сегодняшнего урока? (Уравнения с неизвестным в обеих частях).

— Вы правильно определили тему урока.

( Учитель открывает тему на доске).

Уравнения с неизвестным в обеих частях

— Сегодня мы будем учиться решать уравнения с неизвестным в обеих частях.

— Попробуйте предположить: корни данных уравнений будут одинаковые или разные?

— Запишите новое уравнение в тетрадь.

— Для упрощения нового уравнения вам потребуются старые знания.

— Обсудите в парах, какие знания вам потребуются. (1 свойство равенства).

Учитель на доске под комментирование учеников:

— Выполним проверку. Что надо помнить? (найденное число подставляем в первое уравнение).

— Подведём итог нашей работе.

— Продолжите фразу: «Теперь я знаю как…»

«Теперь я смогу попробовать самостоятельно …»

— А попробуете вы свои силы в решении новых уравнений после физминутки.

Физминутка «Дотянись до звезды»

— Встаньте поудобнее и закройте глаза. Сделайте 3 глубоких вдоха и выдоха.

— Представьте. что над вами ночное небо. усыпанное звёздами.

— Выберете звёздочку (это ваша мечта).

— Откройте глаза и протяните руки к небу, чтобы дотянуться до своей звезды.

— Снимите её с неба и бережно положите перед собой.

— Я уверена, что мечта у вас не единственная. Сорвите сами ещё несколько звёздочек. Дышите так:

Тянешься за звездой – глубокий вдох.

Выдох- кладёте звезду к первой.

IV). Самостоятельная работа.

— Откройте с.30 № 294 (6 задание).

— Попробуйте самостоятельно решить. Когда закончите работу, проверьте её друг у друга.

— Постарайтесь рассказать, как вы решали уравнение.

— Молодцы, вы замечательно справились с работой, помогая друг другу.

V). Решение задачи. (Задача – на карточке).

Скорость движения Земли на 6 км/ч больше скорости Марса. С какой скоростью движется каждая планета?

— Прочитайте задачу про себя.

— Что заметили? ( не хватает данных )

— Добавьте в условие недостающие данные, чтобы задачу можно было решить.

— Прочитайте получившуюся задачу.

— Запишем её кратко.

— Что обозначает число 54?

— Перефразируйте вопрос задачи.

— Обсудите решение задачи в парах. ( удобнее решить уравнением)

— Какое искомое удобно взять за х?

— Так как общая скорость двух планет равна 54км/ч, получаю уравнение:

х=24 (км/ч) – скорость Марса

24+6=30 (км/ч) – скорость Земли.

-Проверьте правильность решения задачи.

— Найдите другой способ проверки правильности решения задачи. (другой способ решения).

— Попробуйте решить эту задачу по действиям.

— Посмотрите, поможет ли вам такая схема краткой записи:

(54-6):2=24 (км/ч) – скорость Марса

24+6=30 (км/ч) – скорость Земли

— Подведите итог.( задача решена верно)

VI) Новые знания.

— Вы сейчас решили задачу уравнением и по действиям.

У этих способов решения задачи в математике есть свои названия.

— Если для решения задачи используют уравнение –

Алгебра – часть науки математики.

— это когда задачу решают… ( по действиям или сложным выражением).
— Арифметика – это тоже часть математики. Многое из того. Что мы изучали в предыдущих классах, тоже относится к арифметике.

— К самым древним задачам на составление уравнений относятся задачи из древнеегипетских папирусов. Сохранились 2 математических папируса. Одна из этих задач в № 347. По желанию попробуйте её решить дома.

VII). Самостоятельная работа (разноуровневая)

VIII) Подведение итогов.

— Что можете сказать о сегодняшнем уроке? ( Я узнал… Я научился…).

— Продолжите фразу: «Мне ещё сложно…»

— Не переживай, над этой темой мы ещё будем работать.

— Ребята, спасибо вам за работу! Я с удовольствием ставлю «5»-….

— Без помощи и поддержки друг друга мы не смогли бы добиться цели.

Видео:УРАВНЕНИЕ 4 КЛАСС МАТЕМАТИКА УЧИМСЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ #уравнениеСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Классный час «3 декабря-День Неизвестного солдата» ( 3-4 класс)

Во всем мире памятники погибшим на войне устанавливают для того, чтобы люди помнили, за что воины отдали свою жизнь. Могилы солдат часто бывают безымянными, и раньше к ним не приходили почтить их памя.

Конспект урока на тему: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класс

Конспект урока на тему: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класс (конспект + презентация).

Конспект урока на тему: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класс

Конспект урока на тему: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класс.

Конспект урока математики «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» (2 класс)

Цели деятельности учителя:формирование умения решать задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого;совершенствование вычислительного навыка и навыка устного счета;развитие внимания и логическо.

Технологическая карта урока математики «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класса УМК «Школа России»

Цели деятельности учителя: научить решать задачи на нахождение третьего слагаемого, познакомить с алгоритмом решения задач на нахождение третьего слагаемого.Планируемые результатыПредметные: Зна.

Технологическая карта по математике на тему: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класс

Конспект урока (математика)Тема: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» Цели деятельности учителя: формирование умения решать задачи на нахождение неизвестного .

Технологическая карта урока по математике на тему «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого» 2 класс

Тема: «Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого»Цели деятельности учителя: Продолжить работу над задачами на нахождение неизвестного третьего слагаемого.Планируемые результаты.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение уравнений с двумя неизвестными

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Видео:4 класс: как легко составить уравнение по задаче?Скачать

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными.Скачать

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

Видео:Уравнение с двумя неизвестными. Решить в целых числах. ЗадачаСкачать

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y Z

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

9x – 18y = 5

x + y= xy

Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

1. Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
2. Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
3. Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

а) =>

б) =>

в) =>

г) =>

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

а)

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

б)

в)

Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

а) x + y = xy	(0;0), (2;2)
б)	(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

Число 3 можно разложить на множители:

a)

б)

в)

г)

в)	(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)	(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)	(48;0), (24;1), (24;-1)
е)	x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1	x = m: y = 2m – 1, m Z
з)	x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)	решений нет

4) Решить уравнения в целых числах

	(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5	(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3	(0;-4), (1;-2), (1;2)
	(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
	(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
	(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)

5) Решить уравнения в целых числах.

а)	(-1;0)
б)	(5;0)
в)	(2;-1)
г)	(2; -1)

📺 Видео

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Математика 4 класс.Решение сложных уравнений. Пример 3.Скачать

Математика 4 класс (Урок№21 - Решение уравнений.)Скачать

РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ х + 216 = 345 + 89. Примеры | МАТЕМАТИКА 4 классСкачать

Решение сложных уравнений 4-5 класс.Скачать

Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Математика 2 класс (Урок№26 - Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа.)Скачать

РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ х – 173 = 600 – 270. Примеры | МАТЕМАТИКА 4 классСкачать