Уравнения с аргументом комплексного числа

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

Уравнения с аргументом комплексного числа
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Уравнения с аргументом комплексного числа

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Подставим найденные значения в формулу:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Уравнения с аргументом комплексного числа

Пример 2. Найти все корни уравнения

Уравнения с аргументом комплексного числа

Найдем дискриминант уравнения:

Уравнения с аргументом комплексного числа
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Найдем корни уравнения:

Уравнения с аргументом комплексного числа
Ответ:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Пример 3. Найти все корни уравнения

Уравнения с аргументом комплексного числа

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Подставим найденные значения в формулу:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Пример 4. Найти корни уравнения

Уравнения с аргументом комплексного числа
Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Уравнения с аргументом комплексного числа
Подставим найденные значения в формулу:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа

Уравнения с аргументом комплексного числаАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Уравнения с аргументом комплексного числаСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Уравнения с аргументом комплексного числаКомплексно сопряженные числа
Уравнения с аргументом комплексного числаМодуль комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Уравнения с аргументом комплексного числаИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Уравнения с аргументом комплексного числаАргумент комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаТригонометрическая форма записи комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Уравнения с аргументом комплексного числаИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Видео:Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Уравнения с аргументом комплексного числау которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа

Видео:Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать

Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Уравнения с аргументом комплексного числа

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Уравнения с аргументом комплексного числа

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:Аргумент комплексного числаСкачать

Аргумент комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Деление на нуль запрещено.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Уравнения с аргументом комплексного числа

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп #calculusСкачать

Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп  #calculus

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Уравнения с аргументом комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Тогда оказывается справедливым равенство:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Уравнения с аргументом комплексного числа(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Уравнения с аргументом комплексного числа(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπУравнения с аргументом комплексного числа
Первый
квадрант
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Положительная
мнимая
полуось
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Второй
квадрант
Уравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числаУравнения с аргументом комплексного числа
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыУравнения с аргументом комплексного числа
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Уравнения с аргументом комплексного числа
АргументУравнения с аргументом комплексного числа
ПримерыУравнения с аргументом комплексного числа
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Уравнения с аргументом комплексного числа
АргументУравнения с аргументом комплексного числа
ПримерыУравнения с аргументом комплексного числа
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Уравнения с аргументом комплексного числа
АргументУравнения с аргументом комплексного числа
ПримерыУравнения с аргументом комплексного числа

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Уравнения с аргументом комплексного числаи Уравнения с аргументом комплексного числазаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Уравнения с аргументом комплексного числа

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Комплексные числа и "золотое" уравнениеСкачать

Комплексные числа и "золотое" уравнение

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Уравнения с аргументом комплексного числа— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Уравнения с аргументом комплексного числаназывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Уравнения с аргументом комплексного числа

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Уравнения с аргументом комплексного числа

следствием которых являются равенства

Уравнения с аргументом комплексного числа(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Уравнения с аргументом комплексного числа(10)

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Уравнения с аргументом комплексного числас центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Уравнения с аргументом комплексного числа

то по формуле (10) получаем:

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Уравнения с аргументом комплексного числа

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать

Комплексные числа в уравнениях

Уравнения с аргументом комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

🎬 Видео

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над ними
Поделиться или сохранить к себе: