Как решать уравнения рациональных чисел 6 класс (8 видео)

Содержание

Решение уравнений — РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Решение целых и дробно рациональных уравнений
Рациональное уравнение: определение и примеры
Решение целых уравнений
Решение дробно рациональных уравнений
Решение рациональных уравнений
Как решать рациональные уравнения?
Готовые работы на аналогичную тему
Преобразования для упрощения формы уравнения
Решение рациональных уравнений со степенями больше двух
🔍 Видео

Видео:Вычитание рациональных чисел . Решение уравнений . 6 класс .Скачать

Решение уравнений — РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Цели: вести понятие корня уравнения; ознакомить со свойствами уравнений и новым способом решения уравнений, с решением задач нового типа; отрабатывать умение решать уравнения; развивать грамотную математическую речь.

I. Организационный момент и анализ контрольной работы

1. Познакомить учащихся с результатами контрольной работы.

2. Решить задания, в которых допущено наибольшее количество ошибок.

1. Раскройте скобки:

2. Решите уравнения:

3. Найдите значение выражений:

— Запишите ответы в порядке возрастания.

-29, -7, -6, 3, 19. (Титло.)

— Прочитайте получившееся слово.

— Как вы думаете, что оно обозначает?

В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком, который писали над буквой. Этот знак назывался ТИТЛО.

4. Который теперь час, если оставшаяся часть суток в 2 раза меньше предыдущей?

5. Квадраты двух последовательных натуральных чисел отличаются лишь перестановкой последних двух цифр. Найдите эти числа. (13 и 14. 132 = 169, 142 = 196.)

III. Индивидуальная работа

IV. Сообщение темы урока

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». (А. Эйнштейн).

— Сегодня мы будем решать уравнения, используя их свойства.

V. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

— Какое равенство называют уравнением? (Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.)

— Что значит решить уравнение? (Это значит найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.)

Решите уравнение, применив сначала распределительное свойство умножения:

— Как по-другому можно решить уравнение? (По правилу отыскания неизвестных компонентов.)

— Что неизвестно в уравнении? (2 множитель.)

— Как найти неизвестный множитель? (Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.)

— Что неизвестно? (Уменьшаемое.)

— Как найти неизвестное уменьшаемое? (Надо к разности прибавить вычитаемое.)

2. Работа над новой темой.

а) Корнем уравнения называют то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

— Проверим, является ли число 7 корнем уравнений х — 3 = 4 и 5 · (х — 3) = 20.

Так как 7 — 3 = 4 и 5 · (7 — 3) = 20, то 7 — корень уравнения.

— Сравните два уравнения: 5 · (х — 3) = 20 и х — 3 = 4.

— Как из первого уравнения получить второе? (Второе уравнение можно получить, разделив обе части первого уравнения на 5 или умножив на 1/5.)

— Мы с вами убедились, что корнем этих двух уравнений будет одно и то же число.

— Поэтому корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

б) Решите уравнения: х + 8 = —15, (х = —23); х — 3 = -20, (х = —17); 37 — х = —5, (х — 42).

— Эти уравнения решались с использованием зависимостей между компонентами и результатами математических действий. Но изучение отрицательных чисел дает возможность решить эти уравнения иначе.

— Вспомним, чему равна сумма противоположных чисел. (0.)

— Как можно получить в левой части уравнения только слагаемое с х? (Прибавить или отнять числа, противоположные числам в левой части уравнения.)

Рассмотрим эти уравнения:

— Слагаемые без переменной перешли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Возьмем другие уравнения: 6х = 3х + 9.

— Нужно получить такое уравнение, чтобы слагаемые с х были только слева.

— Как вы думаете, что для этого надо сделать? (Для этого надо к обеим частям уравнения прибавить (-3х).)

6х — 3х = 3х + 9 — 3х,

Или надо перенести слагаемое 3х из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.

3х — 19 = 4х — 10, получаем:

— Какой же можно сделать вывод? (Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.)

— Принято при решении уравнений переносить слагаемые так, чтобы в левой части уравнения были неизвестные числа, а в правой — известные числа.

3. Работа с учебником.

— Учебник, стр. 231. Прочитайте текст под рубрикой «Говори правильно».

— Склоняется ли название букв в математике? (Склонять название букв в математике не принято.)

Например: х = 3, «икс» равен трем; k = 4, «ка» равно четырем, у = —5, «игрек» равен минус пяти.

— При чтении уравнений помните, что названия букв х, у, z — мужского рода, а названия остальных латинских букв — среднего рода.

VI. Закрепление изученного материала

1. № 1314 стр. 231 (на доске и в тетради).

— Какое свойство уравнений мы применили?

а) 8х + 5,9 = 7х + 20

б) 6х — 8 = -5х — 1,6

2. № 1317 (а, б) стр. 231 (на доске и в тетрадях).

— Для чего мы умножаем обе части уравнения на одно и то же число? (Чтобы избавиться от дробных чисел.)

а) Какой наименьший общий знаменатель у дробей 7/9 и 2/3? (9.)

— Умножим обе части уравнения на 9.

б) Какой наименьший общий знаменатель у дробей 1/2, 1/4 и 2/3? (12.)

— На какое число надо умножить обе части уравнения? (На 12.)

(Ответ: х = 18, у — 60.)

3 . № 1320 (а) стр. 232 (на доске и в тетрадях).

— Как называются числа в пропорции?

— Сформулируйте основное свойство пропорции.

— Решим это уравнение другим способом: с помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число.

— Сравните эти два способа решения.

— На ваш взгляд, какой способ удобнее?

VII. Самостоятельная работа

IX. Повторение изученного материала

1. Вынесите общий множитель за скобку.

2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

X. Подведение итогов урока

— Какое равенство называют уравнением?

— Что значит решить уравнение?

— Объясните, что такое корень уравнения.

— Как проверить, верно ли решено уравнение?

Рассмотреть примеры 2 и 3 в учебнике на стр. 229—230. Выучить формулировки свойств уравнений.

№ 1342 (а—в) стр. 234, № 1350, 1351 стр. 235.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Видео:Сложение и вычитание рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Видео:Деление рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x — 1 = 2 + 2 7 · x — a · ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 — 12 x — 1 = 3 .

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

3 · x + 2 = 0 и ( x + y ) · ( 3 · x 2 − 1 ) + x = − y + 0 , 5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1 x — 1 = x 3 и x : ( 5 · x 3 + y 2 ) = 3 : ( x − 1 ) : 5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Видео:Умножение рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n .

Необходимо найти корни целого уравнения 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) = x · ( 2 · x − 1 ) − 3 .

Решение

Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = 0 .

Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x 2 − 5 · x − 6 = 0 . Дискриминант этого уравнения положительный: D = ( − 5 ) 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 25 + 24 = 49 . Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

x = — — 5 ± 49 2 · 1 ,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 — 7 2 ,

x 1 = 6 или x 2 = — 1

Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3 · ( 6 + 1 ) · ( 6 − 3 ) = 6 · ( 2 · 6 − 1 ) − 3 и 3 · ( − 1 + 1 ) · ( − 1 − 3 ) = ( − 1 ) · ( 2 · ( − 1 ) − 1 ) − 3 . В первом случае 63 = 63 , во втором 0 = 0 . Корни x = 6 и x = − 1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

Ответ: 6 , − 1 .

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 4

Найдите решение уравнения ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) .

Решение

Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком: ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) − 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 0 . Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0 . Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x 2 − 10 · x + 13 . Так мы придем к уравнению вида ( x 2 − 10 · x + 13 ) · ( x 2 − 2 · x − 1 ) = 0 . Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x 2 − 10 · x + 13 = 0 и x 2 − 2 · x − 1 = 0 и найдем их корни через дискриминант: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Ответ: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Есть ли корни у уравнения ( x 2 + 3 · x + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( x 2 + 3 · x − 4 ) ?

Решение

Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x 2 + 3 · x .

Теперь мы будем работать с целым уравнением ( y + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( y − 4 ) . Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y 2 + 4 · y + 3 = 0 . Найдем корни квадратного уравнения: y = − 1 и y = − 3 .

Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x 2 + 3 · x = − 1 и x 2 + 3 · x = − 3 . Перепишем их как x 2 + 3 · x + 1 = 0 и x 2 + 3 · x + 3 = 0 . Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: — 3 ± 5 2 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

Ответ: — 3 ± 5 2

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Решение дробно рациональных уравнений

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 , где p ( x ) и q ( x ) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 положено следующее утверждение: числовая дробь u v , где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p ( x ) q ( x ) = 0 может быть сведено в выполнению двух условий: p ( x ) = 0 и q ( x ) ≠ 0 . На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 :

находим решение целого рационального уравнения p ( x ) = 0 ;
проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q ( x ) ≠ 0 .

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Найдем корни уравнения 3 · x — 2 5 · x 2 — 2 = 0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p ( x ) q ( x ) = 0 , в котором p ( x ) = 3 · x − 2 , q ( x ) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступим к решению линейного уравнения 3 · x − 2 = 0 . Корнем этого уравнения будет x = 2 3 .

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 − 2 ≠ 0 . Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5 · 2 3 2 — 2 = 5 · 4 9 — 2 = 20 9 — 2 = 2 9 ≠ 0 .

Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2 3 .

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 . Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p ( x ) = 0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 :

решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
находим область допустимых значений переменной x ;
берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x , в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

Пример 7

Решите уравнение x 2 — 2 · x — 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Решение

Для начала решим квадратное уравнение x 2 − 2 · x − 11 = 0 . Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D 1 = ( − 1 ) 2 − 1 · ( − 11 ) = 12 , и x = 1 ± 2 3 .

Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x 2 + 3 · x ≠ 0 . Это то же самое, что x · ( x + 3 ) ≠ 0 , откуда x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x = 1 ± 2 3 в область допустимых значений переменной x . Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x = 1 ± 2 3 .

Ответ: x = 1 ± 2 3

Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x , а корни уравнения p ( x ) = 0 иррациональные. Например, 7 ± 4 · 26 9 . Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 127 1101 и − 31 59 . Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q ( x ) ≠ 0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

В тех случаях, когда корни уравнения p ( x ) = 0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 . Быстрее сразу находить корни целого уравнения p ( x ) = 0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q ( x ) ≠ 0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p ( x ) = 0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Найдите корни уравнения ( 2 · x — 1 ) · ( x — 6 ) · ( x 2 — 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) x 5 — 15 · x 4 + 57 · x 3 — 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0 .

Решение

Начнем с рассмотрения целого уравнения ( 2 · x − 1 ) · ( x − 6 ) · ( x 2 − 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) = 0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2 · x − 1 = 0 , x − 6 = 0 , x 2 − 5 · x + 14 = 0 , x + 1 = 0 , из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x = 1 2 , из второго – x = 6 , из третьего – x = 7 , x = − 2 , из четвертого – x = − 1 .

Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

( − 1 ) 5 − 15 · ( − 1 ) 4 + 57 · ( − 1 ) 3 − 13 · ( − 1 ) 2 + 26 · ( − 1 ) + 112 = 0 .

Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 1 2 , 6 и − 2 .

Ответ: 1 2 , 6 , — 2

Найдите корни дробного рационального уравнения 5 · x 2 — 7 · x — 1 · x — 2 x 2 + 5 · x — 14 = 0 .

Решение

Начнем работу с уравнением ( 5 · x 2 − 7 · x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 . Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0 и x − 2 = 0 .

Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x = 7 ± 69 10 , а из второго x = 2 .

Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x . В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 · x − 14 = 0 . Получаем: x ∈ — ∞ , — 7 ∪ — 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x .

Корни x = 7 ± 69 10 — принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ: x = 7 ± 69 10 .

Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

Решите дробное рациональное уравнение — 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Решение

Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Решение

Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x .

Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x , при которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 . Решениями уравнения x 4 + 5 · x 3 = 0 являются 0 и − 5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 · ( x + 5 ) = 0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0 , откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x = 0 и x = − 5 .

Получается, что дробное рациональное уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и — 5 .

Ответ: — ∞ , — 5 ∪ ( — 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r ( x ) = s ( x ) , где r ( x ) и s ( x ) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений сводится к решению уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 .

Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение r ( x ) = s ( x ) равносильно уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 . Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 в тождественную ему рациональную дробь вида p ( x ) q ( x ) .

Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r ( x ) = s ( x ) к уравнению вида p ( x ) q ( x ) = 0 , решать которые мы уже научились.

Следует учитывать, что при проведении переходов от r ( x ) − s ( x ) = 0 к p ( x ) q ( x ) = 0 , а затем к p ( x ) = 0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x .

Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r ( x ) = s ( x ) и уравнение p ( x ) = 0 в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p ( x ) = 0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r ( x ) = s ( x ) . В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :

переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p ( x ) q ( x ) , последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

r ( x ) = s ( x ) → r ( x ) — s ( x ) = 0 → p ( x ) q ( x ) = 0 → p ( x ) = 0 → о т с е и в а н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й

Решите дробное рациональное уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Перейдем к уравнению x x + 1 — 1 x + 1 = 0 . Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p ( x ) q ( x ) .

Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

x x + 1 — 1 x — 1 = x · x — 1 · ( x + 1 ) — 1 · x · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) = = x 2 — x — 1 — x 2 — x x · ( x + 1 ) = — 2 · x — 1 x · ( x + 1 )

Для того, чтобы найти корни уравнения — 2 · x — 1 x · ( x + 1 ) = 0 , нам необходимо решить уравнение − 2 · x − 1 = 0 . Получаем один корень x = — 1 2 .

Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим — 1 2 — 1 2 + 1 = 1 — 1 2 + 1 . Мы пришли к верному числовому равенству − 1 = − 1 . Это значит, что x = − 1 2 является корнем исходного уравнения.

Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x . Это будет все множество чисел, за исключением − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x = − 1 2 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

Ответ: − 1 2 .

Найдите корни уравнения x 1 x + 3 — 1 x = — 2 3 · x .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = 0

Проведем необходимые преобразования: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x .

Приходим к уравнению x = 0 . Корень этого уравнения – нуль.

Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 0 1 0 + 3 — 1 0 = — 2 3 · 0 . Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

Решите уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 7 24

Решение

Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

Отнимем от правой и левой частей 7 , получаем: 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 24 .

Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 24 7 .

Вычтем из обеих частей 3 : 1 2 + 1 5 — x 2 = 3 7 . По аналогии 2 + 1 5 — x 2 = 7 3 , откуда 1 5 — x 2 = 1 3 , и дальше 5 — x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Видео:Вычитание рациональных чисел, 6 классСкачать

Решение рациональных уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $frac$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $frac$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $frac+frac=frac$; $frac=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Видео:Законы сложения рациональных чисел . 6 классСкачать

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Готовые работы на аналогичную тему

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $frac$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Решите дробно-рациональное уравнение: $frac+frac=frac$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$begin x_1 + x_2 = 3 \ x_1 cdot x_2 = -10 \ end$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$frac=frac$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $frac$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:

Общий знаменатель здесь $5 cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

Через дискриминант вычислим корни:

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_=frac<-3±sqrt<frac>>$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_=frac<-3±sqrt<frac>>$.

Видео:Сложение и вычитание рациональных и отрицательных рациональных чисел. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Видео:6 класс. Решение уравнений с модулями.Скачать

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0. P_n(x)=0$.

Решите уравнение: $x^3+2x^2+3x+6=0$

Вынесем общие множители:

После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x^2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.

Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.

Для приведённых уравнений справедливо следующее:

Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.

Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 03 2021