Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений с помощью Python’s Numpy

Два или более линейных уравнения с одинаковым набором переменных называются системой линейных уравнений. Мы можем решить эти переменные в Python с помощью Numpy.

  • Автор записи

Автор: Guest Contributor
Дата записи

Библиотека Numpy может использоваться для выполнения различных математических/научных операций, таких как матричные кросс-и точечные произведения, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипулирование формой и т. Д. Слово Numpy-это сокращенное обозначение “Числового питона”.

В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy Python.

Что такое Система линейных уравнений?

В математике система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой совокупность двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными, x и y :

Чтобы решить приведенную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y . Существует множество способов решения такой системы, таких как Исключение переменных, Правило Крамера, Метод сокращения строк и Матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

В матричном решении система решаемых линейных уравнений представляется в виде матрицы AX . Например, мы можем представить Уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

Чтобы найти значение переменных x и y в Уравнение 1 , нам нужно найти значения в матрице X . Для этого мы можем взять точечное произведение обратной матрицы A и матрицы B , как показано ниже:

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричный точечный продукт, ознакомьтесь с этой статьей .

Решение системы линейных уравнений с Numpy

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений необходимо выполнить две операции: инверсию матрицы и матричное точечное произведение. Библиотека Numpy из Python поддерживает обе эти операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip :

Теперь давайте посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv() и dot()

Во-первых, мы найдем обратную матрицу A , которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A в Python. Для создания матрицы можно использовать метод array модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list , который далее содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки являются двумя строками в матрице A . Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу array , как показано ниже:

Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается в метод linalg.inv() модуля Numpy:

Следующий шаг-найти точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B . Важно отметить, что матричное точечное произведение возможно только между матрицами , если внутренние размеры матриц равны , то есть количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Для поиска точечного продукта с помощью библиотеки Numpy используется функция linalg.dot () . Следующий скрипт находит точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения 1 .

Вот, 2 и 4 являются ли соответствующие значения для неизвестных x и y in Уравнение 1 . Для проверки, если вы подключаете 2 на месте неизвестного x и 4 на месте неизвестного y в уравнении 4x + 3y вы увидите , что результат будет равен 20.

Давайте теперь решим систему из трех линейных уравнений, как показано ниже:

Приведенное выше уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() соединены вместе. Переменная X содержит решение для уравнения 2 и печатается следующим образом:

Значение для неизвестных x , y и z равно 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подключить эти значения в Уравнение 2 и проверить их правильность.

Использование метода solve()

В предыдущих двух примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для нахождения решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.dsolve () , который может быть использован для непосредственного нахождения решения системы линейных уравнений:

Вы можете видеть, что выход такой же, как и раньше.

Реальный Пример

Давайте посмотрим, как система линейных уравнений может быть использована для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, то какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эта задача легко решается с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x , а цена одного апельсина равна y . Вышеприведенная проблема может быть преобразована следующим образом:

Решение приведенной выше системы уравнений показано здесь:

Результат показывает, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина-15 долларов.

Видео:СЛАУ в PythonСкачать

СЛАУ в Python

Решение систем линейных уравнений с помощью Numpy в Python

Библиотеку Numpy можно использовать для выполнения множества математических и научных операций, таких как скалярное произведение, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и т.д.

Видео:Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера в PythonСкачать

Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера в Python

Что такое система линейных уравнений?

Википедия определяет систему линейных уравнений как:

В математике система линейных уравнений (или линейная система) – это набор двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными x и y:

Чтобы решить указанную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y. Есть несколько способов решить такую систему, например, исключение переменных, правило Крамера, метод сокращения строк и матричное решение.

В матричном решении решаемая система линейных уравнений представлена в виде матрицы AX = B. Например, мы можем представить уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

Чтобы найти значение переменных x и y в уравнении 1, нам нужно найти значения в матрице X. Для этого мы можем взять скалярное произведение обратной матрицы A и матрицы B, как показано ниже:

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Решение

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений нам необходимо выполнить две операции: обращение и скалярное произведение матрицы. Библиотека Numpy от Python поддерживает обе операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip:

Давайте теперь посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Использование методов inv() и dot()

Сначала мы найдем матрицу, обратную матрице A, которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A на Python. Для создания матрицы можно использовать метод массива модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list, который дополнительно содержит два списка: [4,3] и [-5,9]. Эти списки представляют собой две строки в матрице A. Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу массива, как показано ниже:

Чтобы найти обратную матрицу, которая передается методу linalg.inv() модуля Numpy:

Следующим шагом является нахождение скалярного произведения между матрицей, обратной матрицей A и B. Важно отметить, что матричное скалярное произведение возможно только между матрицами, если их внутренние размеры равны, т.е. количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Чтобы найти точечный продукт с помощью библиотеки Numpy, используется функция linalg.dot(). Следующий скрипт находит скалярное произведение между обратной матрицей A и B, которая является решением уравнения 1.

Здесь 2 и 4 – соответствующие значения для неизвестных x и y в уравнении 1. Чтобы убедиться, что если вы подставите 2 вместо неизвестного x и 4 вместо неизвестного y в уравнении 4x + 3y, вы увидите что результат будет 20.

Давайте теперь решим систему трех линейных уравнений, как показано ниже:

Вышеупомянутое уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() связаны вместе. Переменная X содержит решение уравнения 2 и печатается следующим образом:

Значения неизвестных x, y и z равны 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подставить эти значения в уравнение 2 и проверить их правильность.

Видео:10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

resolve()

В двух предыдущих примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для поиска решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.solve(), который можно использовать для непосредственного поиска решения системы линейных уравнений:

Вы можете видеть, что результат такой же, как и раньше.

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Пример

Давайте посмотрим, как систему линейных уравнений можно использовать для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эту задачу легко решить с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x, а цена апельсина – y. Вышеупомянутую проблему можно преобразовать так:

Решение для указанной выше системы уравнений показано здесь:

И вот результат:

Выходные данные показывают, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина – 15 долларов.

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

где Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python– неизвестные переменные, Решение систем линейных уравнений методом крамера python– это числовые коэффициенты, в Решение систем линейных уравнений методом крамера python– свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonпри которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается Решение систем линейных уравнений методом крамера python, где

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonи будет решением системы уравнений, а наше равенство Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonпреобразовывается в тождество. Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Если умножить Решение систем линейных уравнений методом крамера python, тогда Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Получается: Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Если матрица Решение систем линейных уравнений методом крамера python– невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonравняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, здесь Решение систем линейных уравнений методом крамера python– 1, 2, …, n; Решение систем линейных уравнений методом крамера python– 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

где Решение систем линейных уравнений методом крамера python– 1, 2, …, n; Решение систем линейных уравнений методом крамера python– 1, 2, 3, …, n. Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Итак, теперь можно найти первое неизвестное Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на Решение систем линейных уравнений методом крамера python, части со второго уравнения на Решение систем линейных уравнений методом крамера python, обе части третьего уравнения на Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonи т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы Решение систем линейных уравнений методом крамера python:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonи приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

И предыдущее равенство уже выглядит так:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Откуда и получается Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Аналогично находим Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Откуда получается Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Замечание.

Тривиальное решение Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonпри Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonможет быть только в том случае, если система уравнений является однородной Решение систем линейных уравнений методом крамера python. И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonдадут Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Решение систем линейных матричных уравнений через формулы КрамераСкачать

Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonравняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

где Решение систем линейных уравнений методом крамера python– алгебраические дополнения элементов Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonпервого столбца изначального определителя:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonпри замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonв исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Если в итоге получилась матрица, которая равняется Решение систем линейных уравнений методом крамера python, тогда система решена правильно. Если же не равняется Решение систем линейных уравнений методом крамера python, скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Значит, если Решение систем линейных уравнений методом крамера python, тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если Решение систем линейных уравнений методом крамера python, тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Часто на практике определители могут обозначаться не только Решение систем линейных уравнений методом крамера python, но и латинской буквой Решение систем линейных уравнений методом крамера python, что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonпри известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python– алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при Решение систем линейных уравнений методом крамера python) и прибавим все три уравнения. Получаем:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonравняется Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Коэффициенты при Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonи Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonбудут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

После этого можно записать равенство:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Для нахождения Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonи Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonперемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на Решение систем линейных уравнений методом крамера python, во втором – на Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonи прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Если Решение систем линейных уравнений методом крамера python, тогда в результате получаем формулы Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения Решение систем линейных уравнений методом крамера python, так и решения отличны от нуля.

Если определитель Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonоднородной системы (3) отличен от нуля Решение систем линейных уравнений методом крамера python, тогда у такой системы может быть только одно решение.

Действительно, вспомогательные определители Решение систем линейных уравнений методом крамера python, как такие у которых есть нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Если у однородной системы есть отличное от нуля решение, тогда её определитель Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonравняется нулю Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Действительно, пусть одно из неизвестных , например, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, отличное от нуля. Согласно с однородностью Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonРавенство (2) запишется: Решение систем линейных уравнений методом крамера python. Откуда выплывает, что Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Видео:Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).Скачать

Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Как видим, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonна столбец свободных коэффициентов. Получается:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Аналогично находим остальные определители:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Ответ

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Задача

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Ответ

Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonРешение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Проверка

Решение систем линейных уравнений методом крамера python* Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python* Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python* Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python* Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python* Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python* Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ

Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python Решение систем линейных уравнений методом крамера python= Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Задача

Решить систему методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение

В этом примере Решение систем линейных уравнений методом крамера python– некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Находим определители при неизвестных:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Используя формулы Крамера, находим:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python, Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Ответ

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python,

Решение систем линейных уравнений методом крамера python.

Видео:Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ExcelСкачать

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonна Решение систем линейных уравнений методом крамера pythonблагодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

Решение методом Крамера в Excel

🎦 Видео

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Решение систем линейных уравнений, урок 2/5. Метод Крамера (метод определителей)Скачать

Решение систем линейных уравнений, урок 2/5. Метод  Крамера (метод определителей)
Поделиться или сохранить к себе: