Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.
Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.
Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.
- Линейное уравнение
- Решение простых линейных уравнений
- Понятие уравнения
- Какие бывают виды уравнений
- Как решать простые уравнения
- Примеры линейных уравнений
- Решение задач с помощью уравнений
- Введение
- Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
- Примеры решений
- Задачи для самостоятельного решения
- Решение линейных уравнений. 6-й класс
- Ход урока
- I. Проверка предыдущего домашнего задания.
- II. Повторение теоретического материала.
- III. Устные задания по слайдам.
- IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.
- 💥 Видео
Видео:Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать
Линейное уравнение
В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.
Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.
Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.
Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.
Вам уже хорошо известно, что уравнение — это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.
Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.
Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.
Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.
Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, — это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.
Корень уравнения — это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Уравнения могут иметь разное количество корней.
Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.
Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.
Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.
х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)
3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).
Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.
Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.
Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0
х— неизвестное число
a и b— некоторые числа:
а— это коэффициент уравнения.
b— это свободный член уравнения.
Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Уравнения с одним неизвестным умели решать в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте более четырех тысяч лет назад.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что знания о неизвестных величинах и методах их вычисления, которыми тогда владели ученые, были образными.
Одним из древнейших задачников по математике (примерно 1700 г до н.э.) является древнеегипетский папирус Ахмеса (также известный, как папирус Ринда (Райнда) по имени его первого владельца).
Папирус Ахмеса содержит условия и решения 84 задач. Он является наиболее полным старейшим математическим сборником задач, дошедшим до наших дней.
Все задачи, описанные и решенные в нем, имели практическое значение и могли применяться в строительстве, в межевании земельных наделов и т.д.
Папирус содержит множество задач, которые сводятся к решению различных видов уравнений, в том числе и к линейным уравнениям.
Папирус был обнаружен в 1858 г. Сейчас большая часть рукописи хранится в Британском музее.
В III веке н.э. древнегреческий математик Диофант Александрийский в своей рукописи «Арифметика» изложил 130 задач, которые решались с помощью определенных (имеющих одно решение) и неопределенных уравнений.
Уравнения, изложенные в книге, сейчас называются «Диофантовыми уравнениями».
Также Диофант Александрийский впервые ввел буквенную символику в математику.
Однако первым руководством по решению задач стал научный труд багдадского ученого IX века Мухамеда Бен Мусы аль-Хорезми «Книга о восстановлении и противопоставлении».
Данная научная работа стала началом становления науки о решении уравнений.
Мухамед Бен Муса аль-Хорезми впервые представил алгебру (раздел математики) как самостоятельную науку об общих методах решения уравнений, предложил классификацию уравнений.
Но его математические сочинения в большей степени выражались словесно, в связи с чем казались очень громоздкими и сложными.
Значительно упростить и облегчить описание и решение уравнений удалось великому французскому ученому XVI века Франсуа Виету.
Он был первым, кто ввел буквенное обозначение коэффициентам уравнений и неизвестным величинам.
Установил связь между корнями и коэффициентами уравнения.
Франсуа Виет внедрил в науку мысль о том, что преобразования можно производить не только над величинами, но и над символами, таким образом, решать любую задачу в общем виде, т.е., по сути, он ввел понятие математической формулы.
До сих пор многие идеи Виета являются актуальными и востребованными
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Видео:дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Видео:Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:
если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;
если а = 0 — уравнение корней не имеет;
если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Видео:6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12
- Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
-4x = 12 | : (-4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Алгоритм решения простого линейного уравнения |
---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Видео:Решение уравнений - математика 6 классСкачать
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать
Решение задач с помощью уравнений
Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.
Видео:Решить уравнение - Математика - 6 классСкачать
Введение
В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.
Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.
Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.
Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.
Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:
- Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
- Решают уравнение.
- Истолковывают результат.
Видео:Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 классСкачать
Примеры решений
Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?
Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.
Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.
Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)
Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.
Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.
Монет в мешке: $48$
Монет в сундуке: $48cdot 3=144$
Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?
Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.
Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.
Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.
Муки во втором мешке: $700$ кг.
Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.
Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.
Картошки во втором мешке: $15$ кг.
Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:
По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)
Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.
Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).
Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.
Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$
Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac=frac$.
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$
Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.
Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.
Видео:Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать
Задачи для самостоятельного решения
По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?
Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.
В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$
Ответ: Рабочие отработали 6 дней.
Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:
1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.
Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:
$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:
Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.
Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:
Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.
Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:
$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$
$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$
Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.
Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать
Решение линейных уравнений. 6-й класс
Разделы: Математика
Класс: 6
Цели урока:
- повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых;
- ввести определение линейного уравнения с одним неизвестным;
- познакомить учащихся со свойствами равенств;
- научить решать линейные уравнения;
- научить решать задачи на «было − стало».
Оборудование: компьютер, проектор.
Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
Ход урока
I. Проверка предыдущего домашнего задания.
II. Повторение теоретического материала.
- Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое]
- Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность]
- Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность]
- Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель]
- Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное]
- Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное]
- Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? [Опустить скобки и этот знак плюс, переписать слагаемые с теми же знаками]
- Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус? [Опустить скобки и этот знак минус, переписать слагаемые с противоположными знаками]
- Как выглядит распределительное свойство умножения? [(a+b)∙c=ac+bc]
III. Устные задания по слайдам.
(слайд 2, слайд 3).
1) Раскройте скобки:
3+(х+2); 3-(х+2); 3+(х-7); 3-(х-7); 3+(-х+5); 3-(-х+5); -4(-5-х); 9(
; 9(
; 2(7+9х); 4(2-3х); -6(9-5х); -3(1+4х).
2) Приведите подобные слагаемые:
6b-b; 9,5m+3m; a —
a;
m-m; -4x-x+3; 7x-6y-3x+8y.
3) Упростите выражение:
IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.
До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.
Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.
Линейные уравнения обладают свойствами:
- Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
- Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).
Рассмотрим план решения линейного уравнения:
х-1+(х+2)=-4(-5-х)-5 х-1+х+2=20+4х-5 х+х-4х=20-5+1-2 -2х=14 х=14:(-2) х=-7 Ответ: -7. | 1) раскрыть скобки, если они есть; 2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую; 3) привести подобные слагаемые; 4) найти неизвестный множитель. |
Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)
Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.
х+3=
х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
(х+3)∙9=(
х+5)∙9 Далее − по плану.
💥 Видео
Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать
Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать
Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать
6 класс. Решение уравнений с модулями.Скачать
Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 6 класс математика 5 классСкачать
Вычитание рациональных чисел . Решение уравнений . 6 класс .Скачать