Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Метод Крамера — вывод формул

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,

a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,

b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица-столбец свободных членов;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

  • Определитель квадратной матрицы A = a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q

  • Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0

p = 1 , 2 , . . . , n , q = 1 , 2 , . . . , n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n

  • Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0

A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

  • Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
  • Найти определители

∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.

  • Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

  • Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3 x 1 — 2 x 2 = 5 6 2 x 1 + 3 x 2 = 2

Основная матрица представлена в виде 3 — 2 2 3 .

Мы можем вычислить ее определитель по формуле:

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13

Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

Находим эти определители:

∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3 = 5 6 × 3 — 2 ( — 2 ) = 5 2 + 4 = 13 2

∆ x 2 = 3 5 6 2 2 = 3 × 2 — 5 6 × 2 = 6 — 5 3 = 13 3

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆

x 1 = ∆ x 1 ∆ = 13 2 13 = 1 2

x 2 = ∆ x 2 ∆ = 3 13 = 1 3

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

3 1 2 — 2 1 3 = 5 6 2 1 2 + 3 1 3 = 2 ⇔ 5 6 = 5 6 2 = 2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x 1 = 1 2 , x 2 = 1 3

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2 y + x + z = — 1 — z — y + 3 x = — 1 — 2 x + 3 z + 2 y = 5

За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x + 2 y + z = — 1 3 x — y — z = — 1 — 2 x + 2 y + 3 z = 5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3

Вычисляем ее определитель:

∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11

Записываем определители и вычисляем их:

∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0

∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22

∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x = ∆ x ∆ , y = ∆ y ∆ , z = ∆ z ∆ .

x = ∆ x ∆ = 0 — 11 = 0

y = ∆ y ∆ = 22 — 11 = — 2

z = ∆ z ∆ = — 33 — 11 = 3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: x = 0 , y = — 2 , z = 3

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

  1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $Deltaneq 0$.
  2. Для каждой переменной $x_i$($i=overline$) необходимо составить определитель $Delta_$, полученный из определителя $Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
  3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=frac<Delta_<x_>>$ ($i=overline$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Матрица системы такова: $ A=left( begin 3 & 2\ -1 & 5 end right)$. Определитель этой матрицы:

$$Delta=left| begin 3 & 2\ -1 & 5 endright|=3cdot 5-2cdot(-1)=17.$$

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $Delta_$ и $Delta_$. Определитель $Delta_$ получаем из определителя $Delta=left| begin 3 & 2\ -1 & 5 endright|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $left(begin -11\ 15endright)$:

Аналогично, заменяя второй столбец в $Delta=left|begin3&2\-1&5endright|$ столбцом свободных членов, получим:

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

$$Delta=left| begin 2 & 1 & -1\ 3 & 2 & 2 \ 1 & 0 & 1 endright|=4+2+2-3=5.$$

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_$:

$$ Delta_=left| begin 3 & 1 & -1\ -7 & 2 & 2 \ -2 & 0 & 1 endright|=6-4-4+7=5. $$

Заменяя второй столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_$:

$$ Delta_=left| begin 2 & 3 & -1\ 3 & -7 & 2 \ 1 & -2 & 1 endright|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

Заменяя третий столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_$:

$$ Delta_=left| begin 2 & 1 & 3\ 3 & 2 & -7 \ 1 & 0 & -2 endright|=-8-7-6+6=-15. $$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Решить СЛАУ $left <begin& 2x_1+3x_2-x_3=15;\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. endright.$ используя метод Крамера.

Матрица системы $ left( begin 2 & 3 & -1\ -9 & -2 & 5 end right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

Теперь матрица системы $ left( begin 2 & 3 \ -9 & -2 end right) $ стала квадратной, и определитель её $Delta=left| begin 2 & 3\ -9 & -2 endright|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

Ответ можно записать в таком виде: $left <begin& x_1=frac;\ & x_2=frac;\ & x_3in R. endright.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Матрица системы $left(begin 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 endright)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

где Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– неизвестные переменные, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– это числовые коэффициенты, в Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейпри которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, где

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейи будет решением системы уравнений, а наше равенство Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейпреобразовывается в тождество. Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Если умножить Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, тогда Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Получается: Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Если матрица Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейравняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, здесь Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– 1, 2, …, n; Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

где Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– 1, 2, …, n; Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– 1, 2, 3, …, n. Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Итак, теперь можно найти первое неизвестное Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, части со второго уравнения на Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, обе части третьего уравнения на Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейи т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейи приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

И предыдущее равенство уже выглядит так:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Откуда и получается Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Аналогично находим Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Откуда получается Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Замечание.

Тривиальное решение Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейпри Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейможет быть только в том случае, если система уравнений является однородной Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейдадут Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейравняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

где Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– алгебраические дополнения элементов Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейпервого столбца изначального определителя:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Видео:10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейпри замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейв исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Если в итоге получилась матрица, которая равняется Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, тогда система решена правильно. Если же не равняется Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Значит, если Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Часто на практике определители могут обозначаться не только Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, но и латинской буквой Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейпри известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей) и прибавим все три уравнения. Получаем:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейравняется Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Коэффициенты при Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейи Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейбудут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

После этого можно записать равенство:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Для нахождения Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейи Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейперемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, во втором – на Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейи прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Если Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, тогда в результате получаем формулы Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Видео:Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ExcelСкачать

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, так и решения отличны от нуля.

Если определитель Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейоднородной системы (3) отличен от нуля Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, тогда у такой системы может быть только одно решение.

Действительно, вспомогательные определители Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, как такие у которых есть нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Если у однородной системы есть отличное от нуля решение, тогда её определитель Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейравняется нулю Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Действительно, пусть одно из неизвестных , например, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, отличное от нуля. Согласно с однородностью Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейРавенство (2) запишется: Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей. Откуда выплывает, что Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Видео:Доказательство формул Крамера для системы двух уравненийСкачать

Доказательство формул Крамера для системы двух уравнений

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Как видим, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейна столбец свободных коэффициентов. Получается:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Аналогично находим остальные определители:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Ответ

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Задача

Решить систему уравнений методом Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Решение

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Ответ

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейВывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Проверка

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей* Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей* Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей* Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей* Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей* Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей* Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей= Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Задача

Решить систему методом Крамера

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Решение

В этом примере Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей– некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Находим определители при неизвестных:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Используя формулы Крамера, находим:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей, Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Ответ

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей,

Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейна Вывод формул крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицейблагодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

Решение методом Крамера в Excel

📸 Видео

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

9. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений / матричный методСкачать

9. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений / матричный метод

Формулы КРАМЕРАСкачать

Формулы КРАМЕРА

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Формулы Крамера для решения систем уравненийСкачать

Формулы Крамера для решения систем уравнений

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ
Поделиться или сохранить к себе: