Как решать систем уравнений с параметром

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin mathrm & 1 \ 1 & mathrm end= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
( mathrm ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Как решать систем уравнений с параметром

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ mathrm<a^2=2Rightarrow a=pmsqrt> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Как решать систем уравнений с параметром

Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm<R=|a+1|=OA=sqrt>. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm<|a+1|=sqrtRightarrow a+1=pmsqrtRightarrow a_=-1pmsqrt>. )

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение. $$ left< begin mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. & \ mathrm & endright. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

Как решать систем уравнений с параметром

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:( mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & endright. )

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цель:

  • повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
  • дать определение системы линейных уравнений с параметрами
  • научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

  1. Организационный момент
  2. Повторение
  3. Объяснение новой темы
  4. Закрепление
  5. Итог урока
  6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, bКак решать систем уравнений с параметром0, то уравнение не имеет решений, хКак решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром

— Если а=0, b=0, то х Как решать систем уравнений с параметромR

— Если аКак решать систем уравнений с параметром0, то уравнение имеет единственное решение, х = Как решать систем уравнений с параметром

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

I ряд – I вариант

Ответ: много корнейII ряд – II вариант

Ответ: корней нетIII ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где аКак решать систем уравнений с параметром0 или bКак решать систем уравнений с параметром0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант:

  • у=-х+2
  • y= -x-3,

k1 = k2, b1Как решать систем уравнений с параметромb2, нет решений;II вариант:

  • y=-х+8
  • y=2x-1,

k1Как решать систем уравнений с параметромk2, одно решение;III вариант:

  • y=-x-1
  • y=-x-1,

k1 = k2, b1 = b2, много решений.

Вывод:

  1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
  2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
  3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если Как решать систем уравнений с параметром, то система имеет единственное решение

2) Если Как решать систем уравнений с параметром, то система не имеет решений

3) Если Как решать систем уравнений с параметром, то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

  • 2х — 3у = 7
  • ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) Как решать систем уравнений с параметром, а=4

б) Как решать систем уравнений с параметром, а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если аКак решать систем уравнений с параметром4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

  • x+(m+1)y=1
  • x+2y=n

Решение: а) Как решать систем уравнений с параметром, т.е. при mКак решать систем уравнений с параметром1 система имеет единственное решение.

Как решать систем уравнений с параметром

б) Как решать систем уравнений с параметром, т.е. при m=1 (2=m+1) и nКак решать систем уравнений с параметром1 исходная система решений не имеет

в) Как решать систем уравнений с параметром, при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и nКак решать систем уравнений с параметром1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

  • у — любое
  • x=n-2y

в) если mКак решать систем уравнений с параметром1 и n — любое, то

y= Как решать систем уравнений с параметромx=Как решать систем уравнений с параметром

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

  • ах-3ау=2а+3
  • х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у Как решать систем уравнений с параметром. При этом х=1-ау=1+3у

3) аКак решать систем уравнений с параметром0 и аКак решать систем уравнений с параметром-3. Тогда у=-Как решать систем уравнений с параметром, х=1-а(-Как решать систем уравнений с параметром=1+1=2

1) если а=0, то (х; у) Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром

2) если а=-3, то х=1+3у, уКак решать систем уравнений с параметром

3) если аКак решать систем уравнений с параметром0 и а?-3, то х=2, у=-Как решать систем уравнений с параметром

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Как решать систем уравнений с параметром

Т.к. А1В22В1Как решать систем уравнений с параметром0, то х =Как решать систем уравнений с параметром

т.к. А2В11В2 Как решать систем уравнений с параметром0 у =Как решать систем уравнений с параметром

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром главный определитель

Как решать систем уравнений с параметром

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= Как решать систем уравнений с параметром; у=Как решать систем уравнений с параметром

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если Как решать систем уравнений с параметром, то система (1) имеет единственное решение: х=Как решать систем уравнений с параметром; у=Как решать систем уравнений с параметром

— Если Как решать систем уравнений с параметром, Как решать систем уравнений с параметромили Как решать систем уравнений с параметром, Как решать систем уравнений с параметром, то система (1) не имеет решений

— Если Как решать систем уравнений с параметром, Как решать систем уравнений с параметром, Как решать систем уравнений с параметром, Как решать систем уравнений с параметром, то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае Как решать систем уравнений с параметромчасто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение Как решать систем уравнений с параметром, найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

  • (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
  • (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) Как решать систем уравнений с параметромТогда

х= Как решать систем уравнений с параметрому=Как решать систем уравнений с параметром

2) Как решать систем уравнений с параметромили а=2

При а=0 определители Как решать систем уравнений с параметром

Тогда система имеет вид:

  • 5х+3у=2 Как решать систем уравнений с параметром5х+3у=2 Как решать систем уравнений с параметром
  • 10х+6у=4

При а=2 Как решать систем уравнений с параметромЭтого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а Как решать систем уравнений с параметроми аКак решать систем уравнений с параметром, то х= Как решать систем уравнений с параметрому=Как решать систем уравнений с параметром

2) если а=0, то хКак решать систем уравнений с параметром, Как решать систем уравнений с параметром

3) если а=2, то (х; у)Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: Как решать систем уравнений с параметром= Как решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром=а+1-2b

Как решать систем уравнений с параметром= Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром= b -6; Как решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметромКак решать систем уравнений с параметром Как решать систем уравнений с параметром= 3a+3-bКак решать систем уравнений с параметром

1) Как решать систем уравнений с параметром. Тогда

х= Как решать систем уравнений с параметрому=Как решать систем уравнений с параметром

2) Как решать систем уравнений с параметром

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

  • 2bx+2y=b 2bx+2y=b
  • bx+y=3 Как решать систем уравнений с параметром2bx+2y=6

Если bКак решать систем уравнений с параметром6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 Как решать систем уравнений с параметрому=3-6х

1) если Как решать систем уравнений с параметром, (аКак решать систем уравнений с параметром), то x=Как решать систем уравнений с параметром, y=Как решать систем уравнений с параметром

2) если bКак решать систем уравнений с параметром, aКак решать систем уравнений с параметром, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то хКак решать систем уравнений с параметром, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

  • 3х-2у=5
  • 6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

б) bКак решать систем уравнений с параметром10

Видео:Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

Математика | Параметр. Система уравнений с параметром

Как решать систем уравнений с параметром

  • Как решать систем уравнений с параметром

Как решать систем уравнений с параметром

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.

Решите систему уравнений $$ left<beginleft|x-yright|=5,\ 3x+2y=10.endright.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$left|x-yright|=left<beginx-y,;mathrm;x-ygeq0,\y-x,;mathrm;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;

4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y =0`.

3 случай. `x =0` система имеет вид:

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение `y-1=0`, если `y=1`.

Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:

Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение

Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

🎬 Видео

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

#11. Как решать системы уравнений с параметром графически?Скачать

#11. Как решать системы уравнений с параметром графически?

Системы линейных уравнений с параметром.Скачать

Системы линейных уравнений с параметром.

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуля

✓ Пять способов решить задачу с параметром | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Пять способов решить задачу с параметром | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика | Борис Трушин

✓ Система уравнений с параметром | ЕГЭ-2016. Задание 17. Математика. Профиль | Борис ТрушинСкачать

✓ Система уравнений с параметром | ЕГЭ-2016. Задание 17. Математика. Профиль | Борис Трушин

8 класс, 39 урок, Задачи с параметрамиСкачать

8 класс, 39 урок, Задачи с параметрами

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ егэ по математике 11 классСкачать

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ егэ по математике 11 класс

Система квадратных уравнений с параметром | Параметр 109 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Система квадратных уравнений с параметром | Параметр 109 | mathus.ru #егэ2024

№18. Система уравнений с параметром (профильный ЕГЭ)Скачать

№18. Система уравнений с параметром (профильный ЕГЭ)

№18. Система уравнений с параметром (профильный ЕГЭ)Скачать

№18. Система уравнений с параметром (профильный ЕГЭ)

Как решать уравнение с параметром и модулем ★ Решите уравнение: x-|x|=aСкачать

Как решать уравнение с параметром и модулем ★ Решите уравнение: x-|x|=a

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический методСкачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический метод

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический метод

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 класс

Как решить систему уравнений с параметром на ЕГЭ | профильная математикаСкачать

Как решить систему уравнений с параметром на ЕГЭ | профильная математика

№18. Система уравнений с параметром. Основная волна-2016Скачать

№18. Система уравнений с параметром. Основная волна-2016

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметра
Поделиться или сохранить к себе: