Как отобрать корни тригонометрического уравнения с арксинусом (7 видео)

Отбор корней с арктангенсом в задаче 13

Когда мы решаем сложное тригонометрическое уравнение в ЕГЭ по математике, то рассчитываем получить красивые корни, их которых легко отбираются итоговые значения на отрезке. И обычно корни действительно оказываются красивыми.

Но что делать, если получился какой-нибудь арктангенс? Или арксинус? Как грамотно отметить их на тригонометрическом круге и в итоге безошибочно отобрать корни на отрезке? Что ж, попробуем разобраться.

Содержание

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
Автор проекта: Шелкова Полина, Класс: 10
ВВЕДЕНИЕ
I РАЗДЕЛ (теоретический)
II РАЗДЕЛ (практический)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2
Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac;frac]) синус которого равен (a) т.е.
Как вычислить арксинус?
Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac) до (frac) ) равен аргументу арксинуса?
Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)
Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ beginx= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zendright.)
Арксинус отрицательного числа
🎦 Видео

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
изучить соответствующую литературу;
научиться решать тригонометрические уравнения;
найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac;frac]) синус которого равен (a) т.е.

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Видео:Отбор корней с аркфункциями в №12 | Это будет на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac) до (frac) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен (-frac)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac) и (frac). Ответ очевиден:

б) Синус какого числа равен (frac<sqrt>)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac).

в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin ⁡x=-1), (x=) ?

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac).

Это не вызывает затруднений:

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac).

Что тут будет ответом? Не (frac), не (frac), даже не (frac) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac), потому что известно, что синус равен (frac). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ beginx=arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac+2πl, l∈Zendright.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac), (sin⁡ x=frac<sqrt>) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).
Решение:

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).

Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ beginx=arcsin frac<sqrt>+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac<sqrt>+2πl, l∈Zendright.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac<sqrt>) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac<sqrt> = frac<1 cdot sqrt> <sqrtcdot sqrt>= frac<sqrt>). Таким образом, получаем:

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ beginx= arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac+2πl, l∈Zendright.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ beginx= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zendright.)

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin⁡(-frac<sqrt>)) в принципе неверна, ведь (-frac<sqrt> Синус
Тригонометрические уравнения