Как определить тип поверхности второго порядка по уравнению

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

.

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

,

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

.

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

,

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

.

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

.

Параллельные плоскости

Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Мнимые параллельные плоскости

Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Совпадающие плоскости

Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

.

Видео:Определить тип кривой (эллипс)Скачать

Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

(как вычислить определитель).

I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,

Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

.

,

, , .

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

.

.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

.

I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .

Решаем характеристическое уравнение:

.

.

,

, .

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

,

,

,

I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .

Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

.

.

Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Видео:Пример определения кривой второго порядкаСкачать

Поверхности 2 порядка: примеры

С поверхностями 2-го порядка студент чаще всего встречается на первом курсе. Сначала задачи на эту тему могут казаться простыми, но, по мере изучения высшей математики и углубления в научную сторону, можно окончательно перестать ориентироваться в происходящем. Для того чтобы такого не произошло, надо не просто заучить, а понять, как получается та или иная поверхность, как изменение коэффициентов влияет на нее и ее расположение относительно изначальной системы координат и как найти новую систему (такую, в которой ее центр совпадает с началом координат, а ось симметрии параллельна одной из координатных осей). Начнем с самого начала.

Видео:Кривые второго порядкаСкачать

Определение

Поверхностью 2 порядка называется ГМТ, координаты которого удовлетворяют общему уравнению следующего вида:

Ясно, что каждая точка, принадлежащая поверхности, должна иметь три координаты в каком-либо обозначенном базисе. Хотя в некоторых случаях геометрическое место точек может вырождаться, например, в плоскость. Это лишь значит, что одна из координат постоянна и равна нулю во всей области допустимых значений.

Полная расписанная форма упомянутого выше равенства выглядит так:

A_nm – некоторые константы, x, y, z – переменные, отвечающие аффинным координатам какой-либо точки. При этом хотя бы один из множителей-констант должен быть не равен нулю, то есть не любая точка будет отвечать уравнению.

В подавляющем большинстве примеров многие числовые множители все же тождественно равняются нулю, и уравнение значительно упрощается. На практике определение принадлежности точки к поверхности не затруднено (достаточно подставить ее координаты в уравнение и проверить, соблюдается ли тождество). Ключевым моментом в такой работе является приведение последней к каноническому виду.

Написанное выше уравнение задает любые (все указанные далее) поверхности 2 порядка. Примеры рассмотрим далее.

Видео:Определить тип кривой (гипербола)Скачать

Виды поверхностей 2 порядка

Уравнения поверхностей 2 порядка различаются только значениями коэффициентов A_nm. Из общего вида при определенных значениях констант могут получиться различные поверхности, классифицируемые следующим образом:

1. Цилиндры.
2. Эллиптический тип.
3. Гиперболический тип.
4. Конический тип.
5. Параболический тип.
6. Плоскости.

У каждого из перечисленных видов есть естественная и мнимая форма: в мнимой форме геометрическое место вещественных точек либо вырождается в более простую фигуру, либо отсутствует вовсе.

Видео:Поверхности 2го порядка. КлассификацияСкачать

Цилиндры

Это самый простой тип, так как относительно сложная кривая лежит только в основании, выступая в качестве направляющей. Образующими являются прямые, перпендикулярные плоскости, в которой лежит основание.

На графике показан круговой цилиндр – частный случай эллиптического цилиндра. В плоскости XY его проекция будет эллипсом (в нашем случае — кругом) — направляющей, а в XZ – прямоугольником – так как образующие параллельны оси Z. Чтобы получить его из общего уравнения, необходимо придать коэффициентам следующие значения:

Вместо привычных обозначений икс, игрек, зет использованы иксы с порядковым номером – это не имеет никакого значения.

По сути, 1/a 2 и другие указанные здесь постоянные являются теми самыми коэффициентами, указанными в общем уравнении, но принято записывать их именно в таком виде – это и есть каноническое представление. Далее будет использоваться исключительно такая запись.

Так задается гиперболический цилиндр. Схема та же – направляющей будет гипербола.

Параболический цилиндр задается несколько иначе: его канонический вид включает в себя коэффициент p, называемый параметром. На самом деле, коэффициент равен q=2p, но принято разделять его на представленные два множителя.

Есть еще один вид цилиндров: мнимые. Такому цилиндру не принадлежит ни одна вещественная точка. Его описывает уравнение эллиптического цилиндра, но вместо единицы стоит -1.

Видео:Семинар Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.Скачать

Эллиптический тип

Эллипсоид может быть растянут вдоль одной из осей (вдоль которой именно зависит от значений постоянных a, b, c, указанных выше; очевидно, что большей оси будет соответствовать больший коэффициент).

Также существует и мнимый эллипсоид – при условии, что сумма координат, помноженная на коэффициенты, равна -1:

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Гиперболоиды

При появлении минуса в одной из констант уравнение эллипсоида превращается в уравнение однополостного гиперболоида. Надо понимать, что этот минус не обязательно должен располагаться перед координатой x₃! Он лишь определяет, какая из осей будет осью вращения гиперболоида (или параллельна ей, так как при появлении дополнительных слагаемых в квадрате (например, (x-2) 2 ) смещается центр фигуры, как следствие, поверхность перемещается параллельно осям координат). Это относится ко всем поверхностям 2 порядка.

Кроме этого, надо понимать, что уравнения представлены в каноническом виде и они могут быть изменены с помощью варьирования констант (с сохранением знака!); при этом их вид (гиперболоид, конус и так далее) останется тем же.

Такое уравнение задает уже двуполостный гиперболоид.

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Коническая поверхность

В уравнении конуса единица отсутствует – равенство нулю.

Конусом называется только ограниченная коническая поверхность. На картинке ниже видно, что, по сути, на графике окажется два так называемых конуса.

Важное замечание: во всех рассматриваемых канонических уравнениях константы по умолчанию принимаются положительными. В ином случае знак может повлиять на итоговый график.

Координатные плоскости становятся плоскостями симметрии конуса, центр симметрии располагается в начале координат.

В уравнении мнимого конуса стоят только плюсы; ему принадлежит одна единственная вещественная точка.

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Параболоиды

Поверхности 2 порядка в пространстве могут принимать различные формы даже при схожих уравнениях. К примеру, параболоиды бывают двух видов.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Эллиптический параболоид, при расположении оси Z перпендикулярно чертежу, будет проецироваться в эллипс.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Гиперболический параболоид: в сечениях плоскостями, параллельными ZY, будут получаться параболы, а в сечениях плоскостями, параллельными XY – гиперболы.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Пересекающиеся плоскости

Есть случаи, когда поверхности 2-ого порядка вырождаются в плоскости. Эти плоскости могут располагаться различными способами.

Сначала рассмотрим пересекающиеся плоскости:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

При такой модификации канонического уравнения получаются просто две пересекающиеся плоскости (мнимые!); все вещественные точки находятся на оси той координаты, которая отсутствует в уравнении (в каноническом – оси Z).

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Параллельные плоскости

При наличии только одной координаты поверхности 2-го порядка вырождаются в пару параллельных плоскостей. Не забывайте, на месте игрека может стоять любая другая переменная; тогда будут получаться плоскости, параллельные другим осям.

В этом случае они становятся мнимыми.

Видео:Поверхности 2 порядкаСкачать

Совпадающие плоскости

При таком простом уравнении пара плоскостей вырождается в одну – они совпадают.

Не забывайте, что в случае трехмерного базиса представленное выше уравнение не задает прямую y=0! В нем отсутствуют две другие переменные, но это всего лишь значит, что их значение постоянно и равно нулю.

Видео:Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.Скачать

Построение

Одной из самых сложных задач для студента является именно построение поверхностей 2 порядка. Еще более затруднительно переходить от одной системы координат к другой, учитывая углы наклона кривой относительно осей и смещение центра. Давайте повторим, как последовательно определить будущий вид чертежа аналитическим способом.

Чтобы построить поверхность 2 порядка, необходимо:

• привести уравнение к каноническому виду;
• определить вид исследуемой поверхности;
• построить, опираясь на значения коэффициентов.

Ниже представлены все рассмотренные виды:

Для закрепления подробно распишем один пример такого типа задания.

Видео:Тип кривой второго порядкаСкачать

Примеры

Допустим, имеется уравнение:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Приведем его к каноническому виду. Выделим полные квадраты, то есть скомпонуем имеющиеся слагаемые таким образом, чтобы они были разложением квадрата суммы или разности. Например: если (a+1) 2 =a 2 +2a+1, то a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Мы будем проводить вторую операцию. Скобки в данном случае раскрывать не обязательно, так как это только усложнит вычисления, а вот вынести общий множитель 6 (в скобке с полным квадратом игрека) необходимо:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Переменная зэт встречается в этом случае только один раз – ее можно пока не трогать.

Анализируем уравнение на данном этапе: перед всеми неизвестными стоит знак «плюс»; при делении на шесть остается единица. Следовательно, перед нами уравнение, задающее эллипсоид.

Заметьте, что 144 было разложено на 150-6, после чего -6 перенесли вправо. Почему надо было сделать именно так? Очевидно, что самый большой делитель в данном примере -6, следовательно, чтобы после деления на него справа осталась единица, необходимо «отложить» от 144 именно 6 (о том, что справа должна оказаться единица, говорит наличие свободного члена – константы, не помноженной на неизвестную).

Поделим все на шесть и получим каноническое уравнение эллипсоида:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

В использованной ранее классификации поверхностей 2 порядка рассматривается частный случай, когда центр фигуры находится в начале координат. В данном примере он смещен.

Полагаем, что каждая скобка с неизвестными – это новая переменная. То есть: a=x-1, b=y+5, c=z. В новых координатах центр эллипсоида совпадает с точкой (0,0,0), следовательно, a=b=c=0, откуда: x=1, y=-5, z=0. В изначальных координатах центр фигуры лежит в точке (1,-5,0).

Эллипсоид будет получаться из двух эллипсов: первого в плоскости XY и второго в плоскости XZ (или YZ – это не имеет значения). Коэффициенты, на которые делятся переменные, стоят в каноническом уравнении в квадрате. Следовательно, в приведенном примере правильнее было бы делить на корень из двух, единицу и корень из трех.

Меньшая ось первого эллипса, параллельная оси Y, равняется двум. Большая ось, параллельная оси X – двум корням из двух. Меньшая ось второго эллипса, параллельная оси Y, остается той же – она равна двум. А большая ось, параллельная оси Z, равняется двум корням из трех.

С помощью полученных из первоначального уравнения путем преобразования к каноническому виду данных мы можем начертить эллипсоид.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Подводя итоги

Освещенная в этой статье тема довольно обширная, но, на самом деле, как вы можете теперь видеть, не очень сложная. Ее освоение, по сути, заканчивается на том моменте, когда вы заучиваете названия и уравнения поверхностей (и, конечно, как они выглядят). В примере выше мы подробно рассматривали каждый шаг, но приведение уравнения к каноническому виду требует минимальных познаний в высшей математике и не должно вызывать никаких затруднений у студента.

Анализ будущего графика по имеющемуся равенству уже более сложная задача. Но для ее удачного решения достаточно понимать, как строятся соответствующие кривые второго порядка – эллипсы, параболы и прочие.

Случаи вырождения – еще более простой раздел. Из-за отсутствия некоторых переменных упрощаются не только вычисления, как уже было сказано ранее, но и само построение.

Как только вы сможете уверенно назвать все виды поверхностей, варьировать постоянные, превращая график в ту или иную фигуру – тема будет освоена.

Кривые и поверхности второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида.

Кривые второго порядка используются при решении задач по аналитической геометрии, кривые других порядков используются при решении задач математического анализа в разделе вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

Кривые и поверхности второго порядка

Преобразование координат на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат, Оху и О’х’у’ (рис. 1). Произвольная точка М относительно одной из этих координатных систем определяется парой чисел х и у, а относительно другой — парой чисел x’ и у’. Ясно, что между парами (х,у) и (x’, у’) имеется связь. Найдем ее.

Параллельный перенос

Предположим, что соответствующие координатные оси параллельны и сонаправлены, а точки начала отсчета различны. Это означает, что орты координатных осей соответственно равны (рис. 2).

Пусть г и г’ — радиусы-векторы точки М, т.е.

и а, β — координаты точки О’ относительно системы координат Оху, т. е.

Поворот

Предположим, что координатные оси одной системы координат получаются из координатных осей другой системы поворотом на угол φ, а начальные точки совпадают (рис.4). Координатами единичного вектора i’ являются косинусы углов φ и , образованных этим вектором с осями Ох и Оу:

а координатами единичного вектора j’ служат косинусы углов и φ:

(рис. 5). Так как радиус-векторы

произвольной точки М в рассматриваемом случае равны,

то, заменяя векторы i’ и j’ их выражениями, получаем, что

Зеркальное отражение

В случае, когда оси абсцисс Ох и Ох’ координатных систем совпадают, а оси ординат Оу и Оу’ направлены противоположно, координаты (х, у) и (х’,у’) произвольной точки М связаны равенствами

Справедливо следующее утверждение.

Любое преобразование прямоугольных декартовых координат (с сохранением масштаба) можно представить в виде последовательного выполнения переноса, поворота и <если необходимо) зеркального отражения.

Кривые второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху. Множество точек плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют равенству

F(x, у) = 0,

где F(x, у) — некоторая функция двух переменных, называется плоской кривой, или плоской линией само равенство называется уравнением данной линии (кривой).

Например, равенство х — у = 0 есть уравнение прямой — биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 7). Равенство x 2 + y 2 — 1 = 0 — уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 8).

Рассмотрим многочлен второй степени от двух переменных х и у:

F(x,y) = 0

будем называть уравнением линии (кривой) второго порядка.

Если линиями первого порядка являются именно прямые и только они, то множество кривых второго порядка заметно разнообразней. Поэтому исследованию общего уравнения кривой второго порядка естественно предпослать изучение некоторых частных, но важных случаев.

Эллипс

Эллипсом называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оху имеет вид (1)

Система координат Оху, в которой уравнение эллипса имеет вид (1), называется канонической (для данного эллипса); само уравнение (!) называется каноническим уравнением эллипса. Окружность

является частным случаем эллипса (при а = b). Это позволяет несложным способом определить форму эллипса: эллипс (1) получается из окружности (2) путем ее равномерного сжатия» к оси Ох (с коэффициентом), т.е. заменой в уравнении x 2 + y 2 = a 2 координаты у на (рис.9).

Свойства эллипса

1. Эллипс (I) содержится в прямоугольнике

В этом легко убедиться, заметив, что, если точка М(х, у) принадлежит эллипсу (1), то (рис. 10)

Точки (±а, 0), (0, ±b) называются вершинами эллипса.

2. Координатные оси Ох и Оу канонической системы являются осями симметрии эллипса, а начало координат О — его центром симметрии. Это означает, что если точка Мо(хo, yо) принадлежит эллипсу, то точки (-хо, yо), (-xо, -yо) и (хо, -yо) также ему принадлежат (рис. 11).

3. Если эллипс не является окружностью, то координатные оси канонической системы — единственные оси симметрии.

Положим с = . Ясно, что с 0 называется преобразование, переводящее произвольную точку М(х, у) окружности в точку М’ ().

Пусть сначала М(х, у) — произвольная точка эллипса

Вычислим ее расстояния от фокусов эллипса (рис. 12). Имеем

Заменяя y 2 его выражением

после несложных преобразований получаем, что

Последнее равенство вытекает из того, что

Легко убедиться в том, что

Доказательство того, что точки, обладающие указанным свойством, принадлежат эллипсу, было проведено ранее (см. раздел «Простейшие задачи аналитической геометрии» Введения, задача 2).

называется эксцентриситетом эллипса (I). Ясно, что 0

называются директрисами эллипса. У каждого эллипса две директрисы — левая и правая (рис. 13).

5. Эллипс есть множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса эллипса) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы эллипса) постоянно (равно эксцентриситету эллипса).

Пусть сначала М(х,у) — произвольная точка эллипса (1). Вычислим расстояния от нее до правого фокуса и до правой директрисы (рис. 14). Имеем соответственно

Откуда легко получаем требуемое

Аналогично проверяется, что

Рассмотрим теперь на плоскости точку (с, 0) и прямую х =(с = ае). Возьмем произвольную точку М(х, у) и вычислим расстояния от нее до выбранной точки (с, 0) —

— и до выбранной прямой —

Возведем обе части последнего соотношения в квадрат и, положив и учтя равенство с = ае, после простых преобразований получим

Тем самым, точка М(х,у) лежит на эллипсе (1).

Гипербола

Гиперболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной системе координат Оху имеет вид (1)

Система координат Оху, в которой уравнение гиперболы имеет вид (1), называется канонической (для данной гиперболы); само уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы.

Свойства гиперболы

1. Гипербола (1) лежит вне полосы |x|

и, значит, |x| ≥ а (рис. 15).

Точки (±а, 0) называются вершинами гиперболы.

2. Гипербола (1) лежит в вертикальных углах, образованных прямыми у = ±х и содержащих точки оси Ох (рис. 16).

вытекает, что если точка М(х, у) лежит на гиперболе (1), то

Таким образом, гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы, левой и правой. Прямые

называются асимптотами гиперболы.

3, На гиперболе лежат точки, сколь угодно далекие от начала координат O(0, 0).

Пусть, например, точка М(х, у) лежит на гиперболе (1) и у = n, где n — произвольное положительное число (рис. 17).

Возьмем в первой четверти две точки: точку гиперболы (1) и точку ее асимптоты = 0 с одинаковой абсциссой х > а —

соответственно — и вычислим расстояние между ними. Имеем

Умножив и разделив полученное выражение на сумму х +и перейдя затем к пределу при получим

Тем самым, установлен следующий факт.

4. Если текущая точка асимптоты неограниченно удаляется от начала координат, т.е. х —» + ∞, то на гиперболе можно указать соответствующую ей точку так, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю (рис. 18).

Верно и обратное.

стремится к нулю.

6. Оси канонической координатной системы являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис. 19).

Координатные оси канонической системы — единственные оси симметрии гиперболы.

Положим с = . Ясно, что с > 0. .Точки (-с, 0) и (с, 0) называются фокусами гиперболы, 2с — фокусное расстояние.

Гипербола есть множество точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) постоянна (равна заданному числу).

Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 4 эллипса. Покажем, например, что каждая точка гиперболы обладает указанным свойством. Если М(х, у) — точка гиперболы (1), то расстояния от нее до фокусов соответственно равны

(рис. 20). Так как > 1, то

Отсюда нетрудно вычислить, что

называется эксцентриситетом гиперболы (1). Ясно, что е > 1. Прямые

называются директрисами гиперболы (рис. 21). У каждой гиперболы две директрисы — левая и правая.

Практически также, как и для эллипса, доказывается следующий факт.

8. Гипербола есть множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса гиперболы) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы) постоянно (равно эксцентриситету гиперболы) (рис. 22).
Гипербола (2)

называется сопряженной гиперболе (1). Взаимное расположение гипербол (1) и (2) указано на рис. 23.

Парабола

Параболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оху имеет вид (1)

Система координат Оху, в которой уравнение параболы имеет вид (1), называется канонической (для данной параболы); уравнение (]) называется каноническим уравнением параболы.

Свойства параболы

1. Все точки параболы лежат в правой полуплоскости: х ≥ 0 (рис. 25). Точка 0(0, 0) лежит на параболе и называется ее вершиной.
2. На параболе лежат точки, сколь угодно далеко расположенные от начала координат О(0, 0).
3. Ось абсцисс канонической координатной системы является (единственной) осью симметрии параболы (рис. 26).

Ось симметрии параболы называется осью параболы. Число р называется фокальным параметром параболы; точка (; 0) — фокус параболы; прямая х = — директриса параболы.

4. Парабола есть множество точек, равноудаленных отданной точки (фокуса параболы) и от данной прямой (директрисы параболы) (рис. 27).

Пусть точка М(х, у) лежит на параболе (1). Вычислим расстояния от нее до фокуса (;0)

и до директрисы х = —

Заменяя у 2 его выражением 2рх, легко убеждаемся в том, что

Верно и обратное. Если для некоторой точки М(х, у) расстояния от нее до точки (; 0) и до прямой х = — равны —

то, возводя в квадрат, после простых преобразований получаем, что эта точка лежит на параболе:

Оптическое свойство кривых второго порядка

Касательные к эллипсу и гиперболе

Если кривая задана уравнением

y = f(x)

то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хо,у0)> где Уо = f(xо), можно записать в следующем виде

Пусть Мо(хо, yо) — точка эллипса

Предположим для определенности, что точка М0 лежит в первой четверти, т. е. хо > 0, yо > 0. Тогда часть эллипса, лежащую в первой четверти, можно описать уравнением

Пользуясь формулой (1), получаем уравнение касательной к эллипсу в точке Мо

а так как точка (х0, у о) лежит на эллипсе, то

Полученное соотношение после несложных преобразований можно записать так:

Отсюда с учетом тождества

приходим к уравнению

(рис. 28). Полученное соотношение является уравнением касательной к эллипсу, проходящей через его точку (х0, yо), и в общем случае ее произвольного расположения, т. е. при любых знаках хо и уо.

Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет следующий вид

Подчеркнем, что точка (хо, yо) лежит на гиперболе.

Касательные к параболе

Если кривая задана уравнением

х = g(у),

то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хo,уo), где х0 = g (уо), можно записать в следующем виде

Пусть М0(х0, у0) — точка параболы. Пользуясь формулой (I), получаем уравнение касательной к параболе

Отсюда в силу равенства приходим к уравнению касательной вида

Замечание:

Сопоставляя канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы с уравнениями касательных к этим кривым, нетрудно заметить, что для получения последних не требуется специальных вычислений. В самом деле, заменяя у 2 на уу ₀ , а х 2 на хх ₀ (в случае параболы 2х нужно заменить на x + х ₀ ). приходим к уравнению соответствующей касательной. Еще раз отметим, что сказанное справедливо лишь в том случае, когда точка (x ₀ . y ₀ ) лежит на кривой.

Оптическое свойство эллипса

Пусть М ₀ — произвольная точка эллипса

Как уже отмечалось, расстояния от нее до фокусов F_л и F _n — фокальные радиусы — равны соответственно

Проведем через точку М ₀ касательную к эллипсу,

и вычислим, на каком расстоянии от этой касательной лежат фокусы F_л (-c, 0) и F_n (c; 0) (напомним, что для этого следует воспользоваться формулой (10).

— нормирующий множитель (рис. 29). Нетрудно проверить, что

Обратившись к рис.29, заметим, что вычисленные отношения равны синусам углов, образованных касательной и фокальными радиусами точки касания. Из того, что синусы этих углов равны, вытекает равенство и самих углов. Тем самым доказано оптическое свойство эллипса: касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания.

Это свойство называется оптическим по следующей причине: если поместить в один из фокусов эллипса с зеркальной «поверхностью» точечный источник света, то все лучи после отражения от «поверхности» эллипса сойдутся в другом его фокусе (рис. 30).

Оптическое свойство гиперболы

Устанавливается аналогичными выкладками и заключается в следующем.

Если поместить в один из фокусов гиперболы точечный источник света, то каждый луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходящим из другого фокуса (рис. 31).

Оптическое свойство параболы

Если в фокус параболы помещен точечный источник света, то все лучи, отраженные от зеркальной «поверхности» параболы, будут направлены параллельно оси параболы (рис. 32).

Классификация кривых второго порядка

Многочлены второй степени на плоскости

Теорема:

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху и пусть

— многочлен второй степени от переменных х и у.

Тогда на плоскости можно построить прямоугольную дека ртов у систему координат O’XY так, что после замены переменных х и у на переменные X и Y исходный многочлен f(x, у) приведется к многочлену F(X, Y) одного из следующих трех видов:

1-й шаг. Поворотом координатных осей на подходящим образом выбранный угол всегда можно добиться того, чтобы коэффициент при произведении разноименных координат обратился в нуль.

Пусть b ≠ 0 (при 6 = 0 этот шаг не нужен). Повернем оси координат вокруг точки О. Эта операция описывается следующими формулами

При этом координатные оси исходной системы Оху поворачиваются на угол φ (рис.33).

Заменим переменные х и у в формуле (1) их выражениями (2) через x’ и у’ и вычислим коэффициент 2b’ при произведении х’у’. Он равен

и обращается в нуль, если

Так как полученное уравнение разрешимо относительно φ, то указанным преобразованием всегда можно добиться обращения в нуль нужного коэффициента.

Приступая ко второму этапу преобразования, будем считать, что исходный многочлен f(x,у) уже имеет вид

где а 2 + с 2 >0. Для определенности положим с ≠ 0 (это не ограничивает общности наших рассуждений, так как заменой х, у в случае необходимости этого всегда можно добиться).

2-й шаг. Переносом начала координат можно достичь дальнейшего упрощения вида многочлена f(x,y). Эта операция описывается следующими формулами:

координатные оси новой системы O’XY получаются из координатных осей исходной системы Оху параллельным переносом в точку (-а, — β) (рис. 34).

Укажем конкретные значения а и β. Возможны три случая

I. а ≠ 0, с ≠ 0. Тогда, полагая

где А = а, В = с, С = g —

II. а = 0, d ≠ 0. Тогда, полагая

III. а = d = 0. Тогда, полагая

где В = с, Е = g —

Канонические уравнения кривых второго порядка

Если многочлен второй степени F(X, У) приравнять к нулю, то получим уравнение линии второго порядка

F(X, У) = 0.

Рассмотрим каждый из трех полученных выше случаев I, II, III отдельно.

I.

Э. А • В > 0. Домножением обеих частей уравнения на — 1 и заменой X на У, а У на X (в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы В ≥ А > 0.

С

(мнимый эллипс)2). На действительной плоскости нет ни одной точки (X, Y), координаты которой обращали бы это уравнение в тождество.

Точка (0, 0) является единственной точкой плоскости, координаты которой удовлетворяют этому уравнению; точку (0,0) можно мыслить как действительную точку пересечения двух мнимых пересекающихся прямых 3).

Г. А • В 0, В

— пару пересекающихся прямых:

2) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением эллипса.
3) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары пересекающихся
прямых.

II. BY 2 + 2DX = О, В • D ≠ 0.

Всегда можно добиться того, чтобы В • D

III. BY 2 + Е = 0, В ≠ 0. Можно считать, что В > 0.

1. Е

Y 2 — с 2 = 0, с > 0

— пару параллельных прямых.

Y 2 — с 2 = 0, с 2 = 0

— пара совпадающих прямых.

Чтобы определить тип кривой второго порядка, не обязательно проводить все указанные выше преобразования. Достаточно вычислить знаки некоторых выражений, составленных из коэффициентов уравнения.

— уравнение линии второго порядка. Введем следующие обозначения

Числа D и ∆ не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются инвариантами. Из приводимой таблицы видно, какому сочетанию знаков определителей D и ∆ соответствует та или иная линия второго порядка.

Задача:

Убедитесь в том, что D и ∆ при рассмотренных преобразованиях системы координат действительно остаются неизменными.
4) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары параллельных прямых.

Поверхности второго порядка

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Множество точек пространства, координаты х, у и z которых удовлетворяют равенству

F(x, у, z) = О,

называется поверхностью; равенство (*) называется уравнением этой поверхности.

Пример:

— уравнение сферы радиуса о с центром в точке (0,0,0) (рис. 35).

Рассмотрим многочлен второй степени от трех переменных х, у и z

Уравнение

F(x, y, z) = 0

будем называть уравнением поверхности второго порядка.

Исследование общего уравнения поверхностей второго порядка оказывается зна-чительноболее сложным, чем исследование общего уравнения кривых второго порядка, требует разработки соответствующего математического аппарата и будет проведено в конце главы VI.

В оставшихся параграфах этой главы мы сначала остановимся на изучении геометрических свойств некоторых важных классов общих поверхностей; затем используем их для рассмотрения канонических уравнений основных поверхностей второго порядка и исследования структуры этих поверхностей.

Некоторые классы поверхностей

Поверхности вращения

Рассмотрим на плоскости Oxz кривую γ, заданную уравнением

г = f(x), х ≥ 0

(рис. 36). При вращении кривой γ вокруг оси Oz она будет заметать некоторую поверхность, называемую поверхностью вращения (рис. 37). Найдем уравнение этой поверхности, т. е. равенство, которому должны удовлетворять координаты точек построенной поверхности и только они.

Тем самым, координаты х, у и z0 любой точки М этой окружности связаны следующим равенством

В силу произвольности выбора точки М0 на кривой γ искомое уравнение полученной поверхности вращения имеет вид

Цилиндрические поверхности

Через каждую точку некоторой заданной кривой γ проведем прямую l параллельно заданной прямой l0. Множество точек, лежащих на так построенных прямых, назовем цилиндрической поверхностью (рис. 39); кривая γ называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая l — ее образующей.

Найдем уравнение, описывающее цилиндрическую поверхность.

Возьмем произвольную точку О и проведем через нее плоскость П, перпендикулярную образующей I. Построим в пространстве прямоугольную координатную систему Oxyz, взяв за ось Oz прямую, перпендикулярную плоскости П. Тогда плоскость П будет координатной плоскостью Оху (рис.40). Плоскость П пересекает цилиндрическую поверхность по направляющей γ0.

F(x,y) = 0

— уравнение этой направляющей. Убедимся в том, что последнее соотношение можно считать уравнением искомой цилиндрической поверхности.

самом деле, пусть (х, у, z) — точка цилиндрической поверхности (рис. 41). Тогда точка (х, у, 0) лежит на γ0 и, значит, удовлетворяет уравнению

F(x,y)=0.

Но координаты точки (х, у, z) также обращают это уравнение в тождество. Последнее обстоятельство и позволяет считать соотношение F(x,y) = 0 искомым уравнением.

Пример:

Введем в пространстве прямоугольные декартовы координаты Охуz. Соотношение

является уравнением цилиндрической поверхности (эллиптического цилиндра) (рис. 42).

Замечание:

F(y, z) = 0

описывает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной координатной оси Оx, а уравнение

F(x,z) = 0

— цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oy.

Конические поверхности

Пусть γ — произвольная кривая и О — точка вне eе. Через каждую точку кривой γ и точку О проведем прямую l. Множество точек, лежащих на построенных таким образом прямых, называется конической поверхностью (рис.43); кривая γ — направляющая конической поверхности, l — ее образующая, точка О — вершина. Рассмотрим функцию

F (x, у, z)

переменных х, у и z. Функция F(x, у, z) называется однородной функцией степени q, если для любого t > 0 выполняется равенство

Покажем, что если F(x, у, z) однородная функция, то F<x,y,z) = 0
является уравнением конической поверхности.

В самом деле, пусть

т.е. точка М0(xo, уо, zо) лежит на этой поверхности. Будем считать, что . Проведем через эту точку и точку 0(0,0, 0) (считая, что F(0,0, 0) = 0) прямую I (рис. 44). Ее параметрические уравнения имеют вид

Подставляя полученные выражения для х, у и z в функцию F(x, у, z), видим, что

Это означает, что вся прямая l лежит на поверхности, определяемой уравнением F(x,y,z) = 0, которое, следовательно, и описывает коническую поверхность.

Пример:

является однородной функцией второй степени:

— уравнение конической поверхности (конуса второго порядка) (рис.45).

Воспользуемся теперь полученными выше результатами для исследования геометрической формы поверхностей второго порядка.

Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид

где а ≥ b ≥ с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс

и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46).

— эллипсоид вращения — уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получить его уравнение, достаточно равномерно сжать эллипсоид вращения . вдоль оси Оу с коэффициентом — ≤ 1, т. с. заменить в его уравнении у на y 5).

Гиперболоиды

вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение имеет вид

получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения.

5) Эллипсоид вращения («) можно получить равномерным сжатием сферы х 2 + у 2 + z 2 = а 2 вдоль оси Оz с коэффициентом — ≤ 1.

Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом ≤ 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение

получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида. Путем вращения вокруг оси Oz сопряженной гиперболы

получим двуполостный гиперболоид вращения (рис.48). Его уравнение

Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом ≤ 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на у получаем его уравнение

Эллиптический параболоид

вокруг оси Oz (рис.49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид

Путем сжатия параболоида вращения вдоль оси Оу с коэффициентом получаем эллиптический параболоид. Его уравнение

получается из уравнения параболоида вращения

путем замены у на . Если р Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид

где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности.

Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы

при h

при h = 0 — пару пересекающихся прямых

Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом h ≠ 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Ох у. Получим следующую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52).

Рассмотрим теперь сечения плоскостями

у = h.

Заменяя в уравнении поверхности у на h, получаем уравнения парабол (рис.53).

Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями

х = h.

В этом случае также получаются параболы

ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h) (рис. 54).

Используя последние два типа сечений, приходим к заключению, что гиперболический параболоид можно получить путем параллельного переноса параболы х2 = 2pz вдоль параболы у2 = -2qz, или наоборот (рис. 55).

Замечание:

Методом сeчeний можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка и последующего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее.

Оставшиеся поверхности второго порядка по существу уже рассмотрены ранее. Это цилиндры:

представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся прямых

вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59.

Дополнение к поверхностям второго порядка

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института