Видео:Отбор корней по окружностиСкачать
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Видео:Отбор корней по окружностиСкачать
С1 (№15) с отбором корней на отрезке
В рамках подготовки к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу С1 ( В новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13» ) , которая предлагалась в Тренировочной работе №60 А. Ларина.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
a)
Применяем формулу двойного угла для 
:
(1) или 
(2) ;
Уравнение (2) равносильно уравнению 
(произвели деление на 
).
Откладываем на оси синусов 
, на оси тангенсов 
. Выходим на четыре серии точек:
Ответ: 
б) Произведем отбор корней из отрезка 
при помощи тригонометрического круга:
Ответ: 
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?
Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
Долго объяснять на словах…
Если никак с кругом, то
решаем сначала неравенство: 
Так как 
, то 
При 
, при 
.
Потом 
И так далее..
Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]
При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
При n=1 x=pi2, pi2>1.
Только 0.
Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: https://egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
А после этой страницы не написано куда дальше идти!
Спасибо большое!
Спасибо огромное вам!
Выручаете!=)
А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
Спасибо!
Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки 
на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки 
на круге, затем на оси…
Спасибо!
А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?
Не очень понятен вопрос…
Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
Например, если вас просят отметить на окружности точки 
а вы не понимаете, – как это. то до отбора далеко…
Начинайте перебирать различные значения 
смотрите, что получается…
Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
Его решить а.
Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6.
Откуда они?
Спасибо огромное за объяснение!
Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…
Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
Но я задал вопрос?
🔥 Видео
N 35 Алгебра 11 класс КолягинСкачать
Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать
N 36 Алгебра 11 класс Колягин ГДЗ Тригонометрические неравенства КосинусСкачать
3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать
Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежуткуСкачать
§41 Свойства функции y = sin x и её график. Часть 1/3Скачать
№ 13 профиль ЕГЭ математика 2024. Решить уравнение. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезкуСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать
ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12Скачать
10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 классСкачать
Как решать тригонометрические неравенства?Скачать
Отбор корней тригонометрического уравнения с помощью неравенства: пример 1Скачать
Задание №13 из профильного ЕГЭ 2018 года sinx+2sin(2x+π/6)=√3 sin2x+1Скачать
Выборка с помощью окружностиСкачать
Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
