Как найти вещественные x и y из уравнения

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Видео:Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функцийСкачать

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Видео:Комплексные числа и "золотое" уравнениеСкачать

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось	0	φ = 2kπ
Первый квадрант
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположение числа z	Первый квадрант
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа z	Положительная мнимая полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа z	Второй квадрант
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Диофантовы уравнения x+y=xyСкачать

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z₀ , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов z_k при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z₁ и z₂ , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

то по формуле (10) получаем:

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Решение. Комплексные числа z1 = (х − 4) + (у2 + 5) и z2 = (у2 + 1) − 3xi будут противоположными, если выполняются условия:

Решая полученную систему, находим :

Задача 10. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z1 = 2x2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим:

Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.Скачать

Занятие 4. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Задача 1. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:

а) б)

в) г)

Ответ: a) 2 + i ; б) в)

Задача 2. Решите уравнения относительно действительных переменных х и у:

б)

Ответ: a) ;

б) (1;3); (-1;-3);

Задача 3. Найдите значения следующих многочленов:

б) 2x3 + 3 х2у + 3 ху2 + у3 при х = 1 + i ,

у = ;

Ответ: а) 1 ; б) 2 ; в) 6 + 6i .

Замечание. В примерах б) и в) необходимо сначала свернуть формулы куба суммы и куба разности соответственно.

Задача 4. Вычислите следующие квадратные корни:

а) ; б) .

Ответ: а) ; б) .

Задача 5. Решите квадратные уравнения:

Ответ: а) –2 + i ; –3 + i ; в) 1 – i ; 0,8 – 0,4 i ;

Задача 6. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено с самим собой.

Ответ: множество действительных чисел R .

Задача 7. Как связаны между собой два комплексных числа, сумма и произведение которых являются действительными числами?

Ответ: эти числа либо оба действительные, либо сопряжены друг другу.

Задача 8. Найдите все комплексные числа, сопряженные своему кубу.

Занятие 5. Контрольная работа №1

1. Вычислите: .

2. Вычислите двумя способами квадратный: .

3. Решите уравнение: (4 + 3i)2 х + (4 − 3i)2 у = − 7 + 120 i,
считая х и у действительными числами.

4. Решите квадратное уравнение:

5. Зная, что x1 = 2i является корнем кубического уравнения х3 – 3х2 + 4х – 12 = 0, найдите остальные корни данного уравнения.

Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Занятие 6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Введем на плоскости прямоугольную

систему координат хОу и поставим в
соответствие каждому комплексному

числу z = а + bi точку плоскости с

координатами (а;b). Полученное

соответствие между всеми

комплексными числами и всеми

точками плоскости взаимно однозначно:

каждому комплексному числу z=а+bi
соответствует одна точка плоскости с
координатами (а;b) , и обратно, каждой

точке плоскости с координатами (а;b)

комплексное число z = а + bi (см. рис. 1).

Таким образом, через z мы будем одновременно обозначать и комплексное число и точку, изображающую это комплексное число.

Комплексное число z=а+bi называется комплексной координатой точки (а;b) .

Поскольку при указанном соответствии действительные числа z = а + 0i изображаются точками оси абсцисс, то ось Ох называется действительной осью. Ось Oу , на которой лежат чисто мнимые числа z = 0 + bi, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексное число z = а + bi может также изображаться вектором с координатами а и b , идущим из начала координат в точку (а;b) (см. рис.1).

Поскольку по определению модуля комплексного числа

,

очевидно, что модуль комплексного числа равен длине вектора .

Рассмотрим произвольный вектор , равный вектору (см. рис.2). Из курса геометрии известно, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координатами вектора также являются числа а и b .

Вектору сопоставим то же самое комплексное число z = a + bi , которое назовем комплексной координатой вектора .

Таким образом, мы приходим к следующему определению: комплексной координатой вектора называется комплексное число z = a + bi .

🎬 Видео

Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные числа в уравненияхСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Комплексные числа #1Скачать

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

ТФКП. Найти действительную и мнимую часть функции комплексного переменного f(z), z=x+iyСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать