Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание
  1. Предупреждение
  2. 1. Угол между прямыми на плоскости
  3. Прямые заданы каноническими уравнениями
  4. 1.1. Определение угла между прямыми
  5. 1.2. Условие параллельности прямых
  6. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  7. Прямые заданы общими уравнениями
  8. 1.4. Определение угла между прямыми
  9. 1.5. Условие параллельности прямых
  10. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  11. 2. Угол между прямыми в пространстве
  12. 2.1. Определение угла между прямыми
  13. 2.2. Условие параллельности прямых
  14. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  15. Угол между прямыми
  16. Определение угла между прямыми
  17. Угол между прямыми на плоскости
  18. Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
  19. Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
  20. Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
  21. Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
  22. Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
  23. Угол между прямыми в пространстве
  24. Угол между прямыми в пространстве
  25. Вычисление угла между прямыми.
  26. 📹 Видео

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми"

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,(1.1)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениямиКак найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.5)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.6)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.

Упростим и решим:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Угол между прямыми равен:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениямиКак найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.10)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.11)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями, Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями(1.14)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.15)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями(1.17)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениямиКак найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями(23)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Упростим и решим:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,(2.1)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениямиКак найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.5)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями(2.6)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениямиКак найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.

Упростим и решим:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Угол между прямыми равен:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравненияминужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.9)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.10)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями, Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями, Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.11)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.12)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями, Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями, Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями(2.17)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.18)
Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениямиКак найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Соответственно легко найти угол между прямыми

tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b

то вектор направляющей имеет вид

Если уравнение прямой задано как

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .

Если дано каноническое уравнение прямой

то вектор направляющей имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано как

то вектор нормали имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то вектор нормали имеет вид

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

sin φ = | a · b | | a | · | b |

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор , для второй прямой направляющий вектор

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )

x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 11 класс.

Угол между прямыми в пространстве

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если дано каноническое уравнение прямой

то направляющий вектор имеет вид

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b z = n t + c

то направляющий вектор имеет вид

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то — направляющий вектор первой прямой, направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор .

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3

3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3

— направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.

Угол между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l1 || l и m1 || m (рис. 138).

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l1 = l и m1 = m).

Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l1 и m1 ( l1 || l , m1 || m). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Угол между прямыми l и m обозначается ( widehat ). Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0° π /2 .

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Найти угол между прямыми АВ и DС1.

Прямые АВ и DС1 скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС1, согласно определению, равен (widehat<C_DC>).

Следовательно, (widehat) = 45°.

Прямые l и m называются перпендикулярными, если ( widehat ) = π /2. Например, в кубе

(см. рис. 139) прямая A1D1перпендикулярна прямым DC, DC1, СС1 .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости. Обозначим через φ величину угла между прямыми l1 и l2, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

ψ 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:

По формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n1 = (3; 0; -12) и n2 = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле ( [a; b]=begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end ) получаем

$$ a=[n_1; n_2]=begin i & j & k \ 3 & 0 & -12 \ 1 & 1 & -3 end=12i-3i+3k $$

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

$$ b=begin i & j & k \ 4 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 end=-2i-4i+4k $$

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

Как найти угол между прямыми заданными параметрическими уравнениями

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому (overrightarrow) = (4; — 6;0), (overrightarrow)= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

📹 Видео

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямыми

§16 Угол между двумя прямыми на плоскостиСкачать

§16 Угол между двумя прямыми на плоскости

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространствеСкачать

ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространстве

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми
Поделиться или сохранить к себе: