Как найти пары натуральных чисел которые являются решением уравнения (8 видео)

Найдите все пары натуральных чисел Алгебра Макарычев Ю.Н. 7 класс 1141

Всем привет. Суть вот в чем, не могу найти решение
Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решением уравнения: а) х + у = 11; б) ху = 18.

Считаю ответ достоверным:
а) x + y = 11; решением уравнения являются пары чисел (1; 10),
(2; 9), (3; 8), (4; 7), (5;6)‚ (6; 5), (7; 4), (8; 3). (9:2). (10; 1).
б) хy = 18; решением уравнения являются пары чисел (1;18), (2;9); (3; 6); (6; 3), (9; 2). (18;1).

Содержание

Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему
Скачать:
Предварительный просмотр:
Решение на Задание 1141 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю.Н.
Условие
Решение 1
Решение 2
Популярные решебники
🎥 Видео

Видео:202 Алгебра 8 класс, Найдите все пары целых чисел удовлетворяющие уравнениюСкачать

Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.

Видео:205 Алгебра 8 класс. Найдите все пары натуральных чиселСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
aksanova_ii._olimpiadnye_zadaniya.reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx	100.62 КБ

Видео:Найдите все пары натуральных чисел x y удовлетворяющих равенству xy 38x + 38yСкачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Решение уравнений в целых числах

Аксанова Ильсияр Исмагиловна

Учитель математики высшей категории

С. Высокая Гора – 2015 г.

Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке. В работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры. Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:

способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
применение цепных дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска;
оценка выражений, входящих в уравнение.

В работе представлены два приложения: п риложение 1. Таблица остатков при делении степеней ( a n : m ); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения

1. Способ перебора вариантов.

Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49 х + 51 у = 602.

Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то

х = 602 — 51 у ≥ 49, 51 у ≤553, 1≤ у ≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х =5, у =7.

2. Применение алгоритма Евклида. Теорема.

Дано уравнение ax+by=c , где a, b, c -целые числа, a и b не равны 0.

Теорема: Если c не делится нацело на НОД( a,b ), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД( a,b )=1или c делится на НОД( a,b ), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x 0 , y 0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами:

y=y 0 +at , где t — принадлежит множеству целых чисел.

Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5 х + 7 у = 19

Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Тогда 5 x 0 + 7 y 0 = 19, откуда

5( х – x 0 ) + 7( у – y 0 ) = 0,

5( х – x 0 ) = –7( у – y 0 ).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x 0 = 7 k , у – y 0 = –5 k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7 k , у = 2 – 5 k ,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7 k ; 2–5 k ), где k – целое число.

Пример 2.2. Решить уравнение 201 х – 1999 у = 12.

Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201 х – 1999 у = 1. Тогда пара чисел

x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201 х – 1999 у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999 k , у = 1536 + 201 k , где k – целое число,

или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем

х = 1283 + 1999 n , у = 129 + 201 n , где n – целое число.

Ответ: (1283+1999 n , 129+201 n ), где n – целое число.

3. Метод остатков.

Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.

Замечание . Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений.

Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.

Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 3333333;

Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 4( x 2 y + xy 2 + 1).

Перепишем исходное уравнение в виде ( x + y ) 3 = 7( x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x 2 + 1 = 3 y .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y .

Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3 k , то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3 k+ 1, то x 2 + 1= (3 k+ 1) 2 +1=3 m +2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3 k+ 2, то x 2 + 1= (3 k+ 2) 2 +1=3 m +2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.4. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (1)

Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду

x ³ = 3 y ³ + 9 z ³ (2)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (2), получим:

27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³, откуда

9 k 3 = y ³ + 3 z ³ (3)

следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³, откуда

3 k 3 = 9 m ³ + z ³ (4)

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (4), получим, что k 3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным.

Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение

х 2 – 7 х – 144 = у 2 – 25 у .

Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у . Получим: у = х + 9 или у = 16 – х .

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х , имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Пример 4.2 . Решить в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x :

x 2 – ( y + 1) x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3 y 2 + 6 y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у : 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х , которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

Пример 4.3 . Решить уравнение в целых числах: 5 х 2 +5 у 2 +8 ху +2 у -2 х +2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5 х 2 + (8 у — 2) х + 5 у 2 + 2 у + 2 = 0

D = (8 у — 2) 2 — 4·5(5 у 2 + 2 у + 2) = 64 у 2 — 32 у + 4 = -100 у 2 — 40 у – 40 = = -36( у 2 + 2 у + 1) = -36( у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36( у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

5. Разложение на множители .

Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2 y 2 = 7.

Разложим левую часть на множители ( x – 2 y )( x + y ) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2 y = 7, x + y = 1;

2) x – 2 y = 1, x + y = 7;

3) x – 2 y = –7, x + y = –1;

4) x – 2 y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

Пример 5.2 . Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Решение. Перепишем уравнение в виде:

у 2 — х 2 = 23, ( у — х )( у + х ) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

Пример 5.3 . Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91.

Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

( y — x )( y 2 + xy + x 2 ) = 91

Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2| y || x | + x 2 = (| y | — | x |) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Пример 5.4 . Решить в целых числах уравнение x + y = xy .

Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1)

x + y – xy – 1 = – 1

Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: ( x — 1)( y — 1) = 1

Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения.

Пример 5.5 . Доказать, что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x — y )( y — z )( z — x ) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

6. Метод бесконечного спуска.

Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

Пример 6.1 . Решить уравнение в целых числах 5 x + 8 y = 39.

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: . Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3 y без остатка делится на 5.

Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3 y = 5 z . В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y , рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим:

Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную

Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z : = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2 v , откуда u = 1 – 2 v . Дробей больше нет, спуск закончен.

Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x :

z = = = 3 v – 1; = 3 – 5 v .

Формулы x = 3+8 v и y = 3 – 5 v , где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Ответ: x = 3+8 v и y = 3 – 5 v.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение ( х 2 + 4)( у 2 + 1) = 8ху

Решение. Заметим, что если ( х ;у ) – решение уравнения, то (- х ;- у ) – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

тогда их произведение ( х + )( у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2.

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Пример 7.2 . Решить уравнение в целых числах

x 2 + 13 y 2 – 6 xy = 100

Решение . x 2 + 13 y 2 –6 xy= 100 ↔ ( x- 3 y ) 2 + 4 y 2 = 100 . Так как ( x- 3 y ) 2 ≥ 0 , то 4 y 2 ≤ 100 , или │ 2 y│≤ 10 . Аналогично, в силу 4 y 2 ≥ 0 должно выполняться │x- 3 y│≤ 10 .

Видео:Натуральные числа. Ряд натуральных чиселСкачать