К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Написание рефератов, докладов

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиБазис в пространстве;

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиНелинейные операции над векторами;

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиПонятие определителя n-го порядка.

Создание презентаций

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиДекартова прямоугольная система координат в пространстве

Тема 1.2. Система линейных уравнений

Исследовательская работа. Решение задач

Линейная однородная система n уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.

Исследовать системы линейных уравнений, для совместных систем найти общее и одно частное решение:

1. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными2. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

3. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными4. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

5. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными6. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

7. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными8. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

9. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными10. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение системы m линейных уравнений с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, … , К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

2.Что называют решением системы m линейных уравнений с n неизвестными?

3.Какая система называется совместной?

4. Какие системы называются эквивалентными?

5. Что значит исследовать систему линейных уравнений?

6. В чем заключается суть метода Гаусса для исследования систем линейных уравнений?

7. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с m неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

8.Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое-то одно уравнение. Будет ли полученная система совместной?

9.Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений, ранг r(A) матрицы этой системы и ранг r(A К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымирасширенной матрицы равны нулю?

10.Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с её общим решением?

РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные положения теории пределов

1.Первый замечательный предел:

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

следствие из первого замечательного предела:

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиa К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиR

2.Второй замечательный предел:

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными=℮

следствие из второго замечательного предела:

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными=℮

3. Раскрытие неопределенности вида К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Первое правило Лопиталя:

Если К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными=0, то

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

когда последний предел существует (конечный или бесконечный)

4. Раскрытие неопределенности вида К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Второе правило Лопиталя:

Если К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымито

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

когда последний предел существует (конечный или бесконечный)

5. Неопределенности вида 0 • К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымии их раскрытие

Неопределенности вида 0 • К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымии К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымимогут быть сведены путем алгебраических преобразований к неопределенностям вида К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымии К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, а затем раскрыты с помощью тождества

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

сводятся к неопределенности вида 0• К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Например, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными=1

6. Эквивалентными называются бесконечно малые, предел отношения которых равен единице.

Отношение двух бесконечно малых величин можно заменить отношением эквивалентных величин, например,

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

7.При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x→0:

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx, 1 К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными1 К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx • К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными(в частности, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx),

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

Операции над пределами функций

Пусть функции ⨍(x) и К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными(x) определены в некоторой окрестности точки К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымии, кроме того,

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= A,

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= = B.

1) К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= A К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиB

2) К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= A • B

3) К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными( при условии B≠0)

4) К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиК системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Тема 2.1. Функции, пределы, непрерывность

Написание рефератов, докладов

— Непрерывность некоторых элементарных функций

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте определение непрерывности функции в точке К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

2.В чем различие между понятиями непрерывности функции и пределов функции в точке К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными?

3.Почему из непрерывности функции слева и справа в точке К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиследует непрерывность функции в этой точке? На основании какой теоремы?

4.Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.

5.Докажите, что функция f(x) К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестныминепрерывна в любой точке x.

6.Почему можно утверждать, что функция f(x)= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестныминепрерывна на всей числовой прямой?

7.Какие точки называются точками разрыва функции?

8.Дайте определения точек разрыва первого и второго рода.

9.Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функция f(x)= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

Исследовательская работа. Решение задач

Некоторые нестандартные ситуации при вычислении пределов функций.

Упражнения.Найдите: 1. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. 10.)

2. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.) 3. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. ( Отв. 1.)

4. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.) 5. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.)

6. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.) 7. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными12.)

8. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными1.) 9. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. 4.)

10. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. 2.) 11. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.)

12. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. 14.) 13. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.)

14. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. 9.) 15. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

( Указание: сделать подстановку x-1=y.) (Отв. 3.)

16. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.) 17. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. 3.)

18. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.)

19. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными( К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными). (Отв. 3.)

20. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными( К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными). (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.)

21. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными(x К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными). (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.)

22. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными(x К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными). (Отв. 0.) 23. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиx ctg x. (Отв. 1.)

24. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиsin К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. (Отв. X.) 25. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными(x К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными). (Отв. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Лекции по высшей математике, линейная алгебра (стр. 4 )

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

Запишем в разных видах систему уравнений К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными· К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными— матричный вид;

x 1 К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными+ x 2 К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными— векторный вид;

Вектор`x * = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестныминазывается решением системы линейных уравнений, если при подстановке его координат в уравнения системы все уравнения обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет ровно одно решение.

Система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

2. СИСТЕМЫ n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее строки линейно независимы.

Согласно этому определению, свойствам определителей, критерию существования обратной матрицы получаем, что невырожденная матрица имеет ненулевой определитель и обладает обратной матрицей.

Благодаря этим свойствам имеем два особых метода решения системы A`x =`b с квадратной невырожденной матрицей A.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СЛУ.

Если матрица A системы A`x =`b квадратная невырожденная, то существует единственное решение`x * этой системы, равное произведению обратной матрицы A– 1 на столбец свободных членов`b, `x * = A– 1`b.

Докажем сначала, что вектор`x * является решением системы A`x =`b. В самом деле, A`x * = A · A– 1`b = E`b =`b, то есть A`x * =`b и`x * является решением системы A`x =`b.

Докажем теперь единственность этого решения. Предположим, что имеется еще другое решение`x 1, то есть A`x 1 =`b — верное равенство. Домножим обе части этого равенства слева на A– 1. Получим A– 1 A`x 1 = A– 1`b и, следовательно,`x 1 = A– 1`b, то есть`x 1 =`x *. Теорема доказана.

Таким образом, матричный метод решения системы A`x =`b с квадратной невырожденной матрицей A состоит в нахождении решения этой системы по формуле`x * = A– 1`b.

Если матрица A системы A`x =`b квадратная невырожденная, то существует единственное решение`x * = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестнымиэтой системы, которое может быть найдено по формулам:

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, … , К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, где D — определитель матрицы A, D j — определитель, полученный из D заменой в нем j –го столбца на столбец свободных членов`b (для всех j = 1, 2, … , n).

ПРИМЕР решения системы линейных уравнений по правилу Крамера.

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

D = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= 1 + 6 = 7, D 1 = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= 0 + 14 = 14, D 2 = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= 7 – 0 = 7,

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= 2, К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными= 1,`x * = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

3. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим систему уравнений A`x =`b с произвольной матрицей A. Исследуем вопрос о ее совместности и количестве решений.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ.

Для того, чтобы система уравнений A`x =`b была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу ее расширенной матрицы.

1) Пусть система уравнений A`x =`b является совместной. Докажем, что ранг r A матрицы A равняется рангу r à расширенной матрицы Ã.

Представим матрицы A и Ã как системы их векторов столбцов

соответственно. Ранг матрицы A равен рангу системы векторов (1), а ранг матрицы Ã равен рангу системы векторов (2). Поскольку система векторов (1) является подсистемой системы векторов (2), то r A £ r Ã.

Так как система A`x =`b является совместной, то существует вектор `x * = К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными, координаты которого удовлетворяют данной системе, или, в векторном виде, имеет место равенство x 1*`A 1 + x 2*`A 2 + … + x n*`A n =`b. Отсюда следует, что`b Î L (`A 1,`A 2 , … ,`A n ) и, следовательно,

`A 1,`A 2 , … ,`A n ,`b Î L (`A 1,`A 2 , … ,`A n ). По свойствам ранга системы векторов r à £ r A. Но так как r A £ r à , то r A = r à .

2) Пусть теперь r A = r à = r. Докажем, что система A`x =`b является совместной. Согласно определению базиса системы векторов базисы систем (1) и (2) содержат по r векторов. Пусть`A 1, `A 2 , … ,`A r — базис системы (1). Тогда эти же векторы будут являться и базисом системы (2). Действительно, векторы`A 1,`A 2 , … ,`A r образуют линейно независимую подсистему системы (2), а поскольку их количество совпадает с рангом системы (2), то они являются базисом этой системы. Следовательно, вектор`b можно представить в виде линейной комбинации векторов`A 1,`A 2 , …,`A r :

`b = l 1`A 1 + l 2`A 2 + … + l r`A r, а также в виде линейной комбинации

`b = l 1`A 1 + l 2`A 2 + … + l r`A r + 0`A r + 1 + … + 0`A n. Справедливость последнего равенства означает, что вектор`x *, координатами которого являются числа l 1, l 2 , … , l r , 0, … , 0 является решением системы уравнений A`x =`b, то есть система A`x =`b совместна. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА ОБ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ СЛУ.

Пусть система уравнений A`x =`b является совместной, имеет n неизвестных и r A = r à = r.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными

остальных уравнений. Значит, числа . являются решением системы, система совместна. Теорема доказана.

Замечание. Крамеровские системы можно решать и по-другому, с помощью обратной матрицы. Запишем такую систему в матричном виде: AX = B. По теореме Крамера, существует решение T : AT = B. Так как |А| = 0, то существует обратная матрица A-1. Умножаем матричное равенство на A-1 слева: получаем:

Такой способ решения будем называть матричным. Ещё раз подчеркнём, что он годится только для крамеровских систем — в других случаях обратной матрицы не существует. Разобранные примеры применения матричного метода и метода Крамера читатель найдёт ниже.

Изучим, наконец, общий случай — систему m линейных уравнений с n неизвестными. Для её решения применяется метод Гаусса, который мы рассмотрим подробно.

Для произвольной системы уравнений AX = B выпишем расширенную матрицу. Так называется матрица, которая получится, если к основной матрице A справа дописать столбец свободных членов B:

Заметим: не только для системы уравнений можно выписать такую матрицу, но и наоборот: зная матрицу, можно восстановить систему. Как говорят, системе уравнений однозначно соответствует матрица.

Как и при вычислении ранга, с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов будем приводить нашу матрицу к трапециевидной форме. При этом, конечно, соответствующая матрице система уравнений изменится, но будет равносильна исходной (т. е. будет иметь те же решения). В самом деле, перестановка или сложение уравнений не изменят решений. Перестановка столбцов — тоже: уравнения xi + 3×2 + 7×3 = 4 и xi + 7×3 + 3×2 = 4, конечно, равносильны. Нужно только записывать, какой неизвестной соответствует данный столбец. Столбец свободных членов не переставляем — его обычно в матрице отделяют от других пунктиром. Возникающие в матрице нулевые строки можно не писать. В результате этой работы возможны 3 варианта.

🌟 Видео

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод Подстановки

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных Уравнений
Поделиться или сохранить к себе: