Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Понятие о ранге матрицы

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы. При этом решение сохраняется в формате Word и Excel . см. пример решения.

  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Определение . Пусть дана матрица ранга r . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

Пример 1 . Даны две матрицы Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений, Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийи их миноры Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений, Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений. Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение. Минор M1=0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M2=-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2 . Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M2 можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M2 не является базисным для матрицы A . Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A .

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.

  1. Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
  2. Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
  3. Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
  4. Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
  5. Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
  6. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
  7. Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2 . Найти ранг матрицы Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений.
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Пример 3 . Привести данную матрицу к ступенчатому виду и определить её ранг. Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений.
Решение. Получим нули в первом столбце, оперируя первой строкой Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений.
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на 2, а в последней строке отбросим общий множитель:

Видео:11. Ранг матрицыСкачать

11. Ранг матрицы

Онлайн калькулятор. Ранг матрицы

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления ранга матрицы, вы сможете очень просто и быстро найти ранг матрицы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления ранга матрицы, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисления ранга матрицы, а также закрепить пройденный материал.

Видео:Ранг матрицыСкачать

Ранг матрицы

Найти ранг матрицы

ОчиститьРазмер: ×
ТранспонироватьУмножить на
Найти определительВозвести в степень
Найти рангОбратная матрица: A -1

Ввод данных в калькулятор ранга матриц

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора ранга матриц

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.

Видео:Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvyСкачать

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvy

Теория. Ранг матриц.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Метод Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Ранг матрицыСкачать

Ранг матрицы

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

  • перемена местами двух уравнений в системе,
  • умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
  • прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b(2)
Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийВычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений(4)

Предположим a11≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a11. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a21/a11, −a31/a11, . −am1/a11, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений. Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a22. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a32/a22, . −am2/a22, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений(6)

Обратим внимание на последние строки. Если Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений. Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийравны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений. Тогда

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийВычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений
Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийВычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений(7)
Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийможно выбрать произвольно. Остальные неизвестные Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравненийиз системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем xp через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем xp−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Матричный вид записи: Ax=b, где

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений,Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений,Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Матричный вид записи: Ax=b, где

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

Тогда векторное решение можно представить так:

Вычислите сумму рангов основной и расширенной матриц системы уравнений

где x3, x4− произвольные действительные числа.

📺 Видео

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Как найти ранг матрицы Три способа Разбор на конкретных примерахСкачать

Как найти ранг матрицы Три способа Разбор на конкретных примерах

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицыСкачать

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицы

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Лекция 11.2. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноровСкачать

Лекция 11.2. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров

9. Вычисление ранга методом окаймляющих миноровСкачать

9. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров

Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать

Найти ранг матрицы при всех значениях параметра

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.
Поделиться или сохранить к себе: