Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Видео:11. ДУ, Система ДУ. Сведение к уравнению высшего порядка. В.П. Минорский №2275Скачать

11. ДУ, Система ДУ. Сведение к уравнению высшего порядка. В.П. Минорский №2275

Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения .

Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда

Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

Общее решение уравнения (5)

Находя производную по от (6), получаем

Общее решение системы (3):

Пример 2. Решить задачу Коши для системы

Решение. Из второго уравнения системы (7) находим

Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого

Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)

При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения

решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы находим

Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем

Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим

Общее решение данной системы

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,

не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкавыражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкааргумента t, назовем канонической систему вида

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Если Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкав (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкауравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

является мастным случаем канонической системы. Положив Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкав силу исходного уравнения будем иметь

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

В результате получаем нормальную систему уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

дифференцируемых на интервале а Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

и пусть функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаопределены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаЕсли существует окрестность Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаточки Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкав которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкато найдется интервал Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаизменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Определение:

Система n функций

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

зависящих от t и n произвольных постоянных Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазывается общим решением нормальной системы (3) в некоторой области Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкасуществования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкасистема функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкафункции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазываются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаРешение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

системы (7), принимающее при Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядказначения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаопределяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаЭта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка(рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаЭту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкасистемы (7), принимающее при t = to начальные значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаизображается кривой АВ, проходящей через точку Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка(рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Введя новые функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядказаменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Заменяя в правой части производные Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаих выражениями Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаполучим

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Продолжая этот процесс, найдем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Предположим, что определитель

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

(якобиан системы функций Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаотличен от нуля при рассматриваемых значениях Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

будет разрешима относительно неизвестных Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаПри этом Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкавыразятся через Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Внося найденные выражения в уравнение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

получим одно уравнение n-го порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Из самого способа его построения следует, что если Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаесть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаи подставим найденные значения как известные функции

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

от t в систему уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

По предположению эту систему можно разрешить относительно Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкат. е найти Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкакак функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

откуда, используя второе уравнение, получаем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

В силу первого уравнения системы находим функцию

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаи с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканельзя выразить через Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаТогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Мы нашли два конечных уравнения

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

из которых легко определяется общее решение системы:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаТакое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкане равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаотличен от нуля:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

определяются все неизвестные функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

или, в матричной форме,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Теорема:

Если все функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканепрерывны на отрезке Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкато в достаточно малой окрестности каждой точки Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкагде Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкавыполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаи их частные производные по Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Введем линейный оператор

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Тогда система (2) запишется в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Если матрица F — нулевая, т. е. Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкана интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

двух решений Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаоднородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкалинейной однородной системы дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

является решением той же системы.

Теорема:

Если Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаесть решение линейной неоднородной системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

будет решением неоднородной системы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Действительно, по условию,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Пользуясь свойством аддитивности оператора Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаполучаем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Это означает, что сумма Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаесть решение неоднородной системы уравнений Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Определение:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

называются линейно зависимыми на интервале a Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

при Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкапричем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкато векторы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазываются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

называется определителем Вронского системы векторов Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрица с элементами Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаСистема n решений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

с непрерывными на отрезке Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкакоэффициентами Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаявляется линейная комбинация п линейно независимых на интервале а Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

(Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка) — произвольные постоянные числа).

Пример:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

имеет, как нетрудно проверить, решения

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Общее решение системы имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

столбцами которой являются линейно независимые решения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкасистемы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Матрица Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазывается матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкалинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

с непрерывными на отрезке Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкакоэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканеоднородной системы (2):

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

есть общее решение однородной системы (6), тогда

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканеизвестные функции от t. Дифференцируя Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкапо t, имеем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Подставляя Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкав (2), получаем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

то для определения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаполучаем систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

или, в развернутом виде,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаопределителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка— известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Подставляя эти значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкав (9), находим частное решение системы (2)

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

(здесь под символом Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкапонимается одна из первообразных для функции Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

в которой все коэффициенты Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка— постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка— постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаи перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаимела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкастепени n. Из этого уравнения определяются те значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, при которых система (3) имеет нетривиальные решения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Если все корни Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкахарактеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаэтой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкапроизвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Ищем решение в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

имеет корни Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Подставляя в (*) Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаполучаем

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

откуда а21 = а11. Следовательно,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Полагая в Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканаходим a22 = — a12, поэтому

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Общее решение данной системы:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрица с постоянными действительными элементами Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазывается собственным вектором матрицы А, если

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Число Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазывается собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрица, элементы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкакоторой суть функции аргумента t, определенные на множестве Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Матрица В(t) называется непрерывной на Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, если непрерывны на Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкавсе ее элементы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Матрица В(t) называется дифференцируемой на Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, если дифференцируемы на Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкавсе элементы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаэтой матрицы. При этом производной матрицы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядканазывается матрица, элементами которой являются производные Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкау соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

В частности, если В — постоянная матрица, то

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

так как Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаесть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкапроизвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Умножая обе части последнего соотношения слева на Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаи учитывая, что Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкапридем к системе

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Здесь Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка— произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

решение Y(t) можно представить в виде

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкасобственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаматрицы как корни алгебраического уравнения

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Матрица А системы имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

1) Составляем характеристическое уравнение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Корни характеристического уравнения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

2) Находим собственные векторы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Для Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка= 4 получаем систему

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

откуда g11 = g12, так что

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Аналогично для Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка= 1 находим

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкасистемы (7) действительные, то характеристическое уравнение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаоно будет иметь и корень Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка*, комплексно сопряженный с Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, то Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка* — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкарешение

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка* будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Таким образом, паре Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка— действительные собственные значения, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаИнтегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка— комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

1) Характеристическое уравнение системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Его корни Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

2) Собственные векторы матриц

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

3) Решение системы

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Интегрирование нормальных систем

Министерство сельского хозяйства РФ

ФГОУ ВПО ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математики

Волынкина Т.И., Петрушина Н.Н.

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания для выполнения лабораторной работы, индивидуальных заданий и самостоятельной работы студентов инженерных специальностей

Методические указания составлены в соответствии с государственным стандартом и могут быть использованы для самостоятельной работы студентов инженерных специальностей с/х вузов.

Составили: ст. преп. Волынкина Т.И.

ст. преп. Петрушина Н.Н.

Рецензенты: доцент кафедры математики Академии ФСО, кандидат физико-математических наук Г.А. Кирюхина

доцент кафедры математики ФГОУ ВПО Орел ГАУ, кандидат экономических наук М.Н. Уварова

Оглавление

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 4

1. Основные понятия. 4

2. Интегрирование нормальных систем.. 7

3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 10

ИПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА MATHCAD ПРИ РЕШЕНИИ
СИСТЕМ ДУ.. 16

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ. 21

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ С ИПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD 25

Список литературы. 27

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач ди­намики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых со­держит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций у1, у2. п, следующий:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производ­ной, т. е. система вида

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка(1)

называется нормальной системой ДУ. Приэтом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения выс­ших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Так, система трех ДУ второго порядка

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка= и, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка= v, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка= w, приводится к нормальной системе ДУ:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Уравнение третьего порядка у'» = f(x;y;y’;y») путем замены у’ = p, у» = р 1 = q сводится к нормальной системе ДУ

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы(1) называется совокупность из п функций у1, у2, …, уп, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условиядля системы (1) имеют вид

Задача Кошидля системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема.

Теорема 1 (Коши).Если в системе (1) все функции fi(x;y1;. ;yn) непрерыв­ны вместе со всеми своими частными производными по уi, в некоторой области D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой точке M0(x0; y1 0 ; y2 0 ; . ;уn 0 ) этой области существует, и притом единственное, решение
y1 = j1(x), y2 =j2(х), . yп = jn(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

Меняя в области D точку М0 (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от п произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные c1, с2. сn из системы уравнений

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях посто­янных c1, c2, …, сn называется частным решением системы (1).

Интегрирование нормальных систем

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведенья системы к одному ДУ высшего порядка. (Обрат­ная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена выше на примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.

Пусть задана нормальная система (1). Продифференцируем по х лю­бое, например первое, уравнение:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Подставив в это равенство значения производных Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, …, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаиз системы (1), получим

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка,

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, …, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаиз системы (1), получим

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Продолжая этот процесс (дифференцируем – подставляем – получаем), находим:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Соберем полученные уравнения в систему:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка(3)

Из первых (n — 1) уравнений системы (3) выразим функции
y2, у3,. yn, через х, функцию y1 и ее производные у’, у1«,..
у1 ( n -1) . Получим:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка(4)

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаНайденные значения у2, у3. yп подставим в последнее уравнение систе­мы (3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции y1: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка= Φ( Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка). Пусть его общее решение есть

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка.

Продифференцировав его (n — 1) раз и подставив значения производных у’, у1«,.. у1 ( n -1) в уравнения системы (4), найдем функции y2, у3,. yn:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, …, Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка.

Пример 1. Решить систему уравнений Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка.

Решение. Продифференцируем первое уравнение:

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаПодставляем Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкав полученное равенство: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаСоставляем систему уравнений: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаИз первого уравнения системы выражаем z через у и у′: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Подставляем значение z во второе уравнение системы: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка, т.е. Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка. Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решаем его: k 2 — k — 6 = 0, k1 = -2, k2 = 3 и
y = c1e -2 x + c2e 3 x – общее решение уравнения. Находим функцию z. Значения у и у′ = (c1e -2 x + c2e 3 x )′ = -2 c1e -2 x + 3c2e 3 x подставляем в выражение z через у и у′. Получим: z = 2c1e -2 x + Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаc2e 3 x . Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид: y=c1e -2 x + c2e 3 x , z = 2c1e -2 x + Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаc2e 3 x .

Замечание. Систему уравнений (1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством ариф­метических операций из уравнений данной системы образуют так назы­ваемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.

Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка

Пример 2. Решить систему уравнений Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядка.

Решение. Сложим почленно данные уравнения:
x′ + y′ = x + y + 2 или (х + у)′ = (х + у) + 2. Обозначим х + у = z. Тогда имеем z′ = z + 2. Решаем полученное уравнение: Интегрирование систем дифференциальных уравнений сведением к уравнению высшего порядкаили
x + y = c1e t — 2. Получили так называемый первый интеграл системы. Из него можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым уменьшить на единицу число искомых функций. Например, y = c1e t — 2 — х. Тогда первое уравнение системы примет вид: x′ = c1e t — 2 — х +1, т.е. x′ + х = c1e t — 1. Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем и у.

💡 Видео

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

ОДУ. 4 Системы дифференциальных уравненийСкачать

ОДУ. 4 Системы дифференциальных уравнений

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальные уравнения, 9 урок, Линейные дифференциальные уравнения высших порядковСкачать

Дифференциальные уравнения, 9 урок, Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Поделиться или сохранить к себе: