Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Содержание
  1. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
  2. Система линейных уравнений с тремя переменными
  3. Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
  4. Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
  5. Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
  6. Примеры
  7. Системы алгебраических уравнений в математике с примерами решения и образцами выполнения
  8. Системы уравнений
  9. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными
  10. Совокупность уравнений
  11. Равносильные систе­мы уравнений
  12. Метод подстановки
  13. Метод алгебраического сложения уравнений
  14. Метод введения новых неизвестных
  15. Системы однородных уравнений
  16. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными
  17. Решение других типов систем алгебраических систем уравнений
  18. Решение системы алгебраических уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы
  19. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений
  20. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
  21. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
  22. Система линейных однородных уравнений
  23. 📽️ Видео

Видео:Урок: Геометрическая интерпретация решения системы трёх линейных уравнений. Вырожденный случайСкачать

Урок: Геометрическая интерпретация решения системы трёх линейных уравнений. Вырожденный случай

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений

Напомним, что уравнения с abvmh пеоеменными вида

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

описывают на координатной плоскости Оху прямую. Решение системы двух уравнений такого вида, как точки на координатной плоскости, должно принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты:

  • 1) прямые пересекаются, и система имеет единственное решение;
  • 2) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна);
  • 3) прямые совпадают, т.с. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

Уравнение с тремя переменными вида

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, которые должны принадлежать одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В таком случае возможны следующие варианты:

  • 1) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение;
  • 2) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой);
  • 3) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум;
  • 4) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, ранг системы равен единице;
  • 5) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна;
  • 6) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна.

В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

В случае системы уравнений с п неизвестными каждое уравнение вида

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

можно интерпретировать как гиперплоскость в координатном пространстве А п Решение системы (4.1) — это такое множество точек пространства А», которые принадлежат одновременно всем т гиперплоскостям, соответствующим уравнениям этой системы.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Система линейных уравнений с тремя переменными

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; frac x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <left< begin 3x+2y-z = 8 \ x-y+z = -2 \ 2x-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow <left< begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \ x = y-z-2 \ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ 5y-4z = 14 \ -y-7z = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ 5(-7z-5)-4z = 14 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ -39z = 39 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = 2-(-1)-2 = 1 \ y = -7cdot(-1)-5 = 2 \ z = -1 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 2 \ z = -1 end right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <left< begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 end right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end $$

и вспомогательные определители :

$$ Delta_x = begin d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3 end, Delta_y = begin a_1 & d_1 & c_1 \ a_2 & d_2 & c_2 \ a_3 & d_3 & c_3 end, Delta_z = begin a_1 & b_1 & d_1 \ a_2 & b_2 & d_2 \ a_3 & b_3 & d_3 end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end = a_1 = begin b_2 & c_2 \ b_3 & c_3 end — b_1 = begin a_2 & c_2 \ a_3 & c_3 end + c_1 = begin a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<left< begin z = 3x+2y-13 \ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \ x+2y-(3x+2y-13) = 9 end right.> Rightarrow <left< begin z = 3x+2y-13 \ 11x+5y = 37 \ -2x = -4 end right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin z = 3cdot2+2cdot3-13 = -1 \ y = frac = 3 \ x = 2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 2 \ y = 3 \ z = -1 end right.> $$

$$ <left< begin x = -y-3z+6 \ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ -7y-7z = -7 |:(-7) \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ y+z = 1 \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ 9z = 18 \ y = 1-z end right.> Rightarrow <left< begin x = 1-6+6 = 1 \ z = 2 \ y = 1-2 = -1 end right.> Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ Delta = begin 3 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3\ 1 & 2 & -1 end = 3 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end — 2 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end — 1 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 13 & 2 & -1 \ -2 & -1 & 3 \ 9 & 2 & -1 \ end = 13 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end — 2 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end — 1 = begin -2 & -1 \ 9 & 2 \ end = $$

$$ Delta_y = begin 3 & 13 & -1 \ 2 & -2 & 3 \ 1 & 9 & -1 \ end = 3 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end — 13 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end — 1 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 3 & 2 & 13 \ 2 & -1 & -2 \ 1 & 2 & 9 \ end = 3 = begin -1 & -2 \ 2 & 9 \ end — 2 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end + 13 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta = begin 1 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1\ 1 & 2 & -5 end = 1 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end — 1 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 6 & 1 & 3 \ 5 & -5 & -1 \ -11 & 2 & -5 \ end = 6 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end — 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end + 3 = begin 5 & -5 \ -11 & 2 \ end = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ Delta_y = begin 1 & 16 & 3 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & -11 & -5 \ end = 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end — 6 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 1 & 1 & 6 \ 2 & -5 & 5 \ 1 & 2 & -11 \ end = 1 = begin -5 & 5 \ 2 & -11 \ end — 1 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end + 6 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a neq b, b neq c, a neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <left< begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 end right.> Rightarrow <left< beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 end right.> $$

Т.к. $ a neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) neq 0$

Т.к.$ a neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

Из второго уравнения получаем:

Т.к. $b neq c$ можно сократить на $(b-c) neq 0$:

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Видео:Решение систем с тремя переменными. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение систем с тремя переменными. Практическая часть. 9 класс.

Системы алгебраических уравнений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Целые рациональные функции от нескольких переменных: В этой главе мы изучим системы уравнений от нескольких переменных. В основном мы будем рассматривать системы алгебраичес­ких уравнений, то есть уравнений, обе части которых являются целыми рациональными функциями от неизвестных. Понятие це­лой рациональной функции от нескольких переменных определя­ется точно так же, как и в случае одного переменного; исходным, как и тогда, будет служить понятие целого рационального выраже­ния.

Алгебраическое выражение, получающееся из чисел и букв x, у, … , z с помощью операций сложения и умножения, называется целым рациональным выражением от х, у, …, z. Примерами целых рациональных выражений являются:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Как и в случае выражений от одного переменного, каждое целое рациональное выражение от нескольких переменных можно привести к каноническому виду. Речь идет о суммах одночленов, то есть о выражениях вида Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымигде буквы х, у,……., z стоят в определенном порядке. Такие суммы мы будем называть многочленами от х, у , …, z. Например, многочленами являются

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Правила действия над многочленами вытекают из основных законов алгебры.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Видео:Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

Системы уравнений

Рассмотрим некоторые общие вопросы теории систем уравнений. Для простоты ограничимся системами уравнений с двумя неизвестными, хотя основные результаты при­менимы и к системам уравнений с большим числом неизвестных.

Рассмотрим систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Она выражает следующую задачу: найти все пары чисел (а, b) такие, что

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пары чисел (а, b), обладающие этим свойством, называют решениями системы (1). Если множество решений системы пусто, то сис­тема называется несовместной.

Тот факт, что пара (а, Ь) является решением системы уравнений с неизвестными х и у, записывается обычно в виде:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Например, пара чисел Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиявляется решением системы уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Помимо решения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиэта система имеет еще решения

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Позже мы увидим, что иных решений она не имеет.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными

Возьмем любое уравнение относительно х и у:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

и рассмотрим все точки М (х, у) некоторой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Эти точки образуют не­ которое множество Г, и мы будем говорить, что уравнение (1) задает (или выражает) это множество. Обычно множество Г является некоторой линией. В этом случае уравнение (1) называют уравнением линии Г.

Чтобы найти точки линии Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиимеющие абсцис­су а, надо подставить в уравнение вместо х значение а. Мы получим уравнение с одним неизвестным:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Может случиться, что это уравнение не имеет ни одного действительного корня. Тогда на линии нет точек с абсциссой х = а. Если же уравнение (2) имеет один или несколько корней, то каждому корню соответствует точка линии, имеющая абсциссу а.

Для некоторых уравнений на плоскости нет ни одной точки, координаты которых удовлетворяли бы этим уравнениям. Примером может служить

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ведь если х и у — действительные числа, то Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа потому Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиДругим уравнениям соответствует лишь одна точка на плоскости. Например, возьмем уравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Так как Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито это уравнение может удовлетворяться лишь в случае, когда х = 3 и у = 4. Иными сло­вами, уравнение (3) задает на плоскости одну точку М (3, 4).

Однако такие случаи являются в некотором смысле исключи­ тельными, и мы ограничимся рассмотрением случаев, когда уравнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымизадает некоторую линию.

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла решений систем уравнений с двумя неизвестными. Возьмем такую систему:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Каждому из этих уравнений соответствует линия, координаты всех точек которой (и только этих точек!) удовлетворяют этому уравнению. Мы же ищем точки М (.х, у), координаты которых удовлетво­ряют обоим уравнениям. Ясно, что эти точки принадлежат обеим линиям, то есть являются точками их пересечения.

Итак, задача о решении системы уравнений равносильна зада­ че об отыскании точек пересечения соответствующих линий. Каж­дой точке пересечения линий соответствует решение системы.

Совокупность уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

образуют совокупность, если требуется найти все пары чисел х = а, у = b, удовлетворяющие хотя бы одному из уравнений (1). Все такие пары чисел (а, Ь) будем называть решениями совокупности (1). Геометрически решения совокупности (1) изобра­жаются фигурой, образованной объединением всех кривых

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Например, возьмем уравнения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиПервое из них является уравнением прямой, а второе — уравнением ок­ружности (см. рис. 11). Если рассматривать эти два уравнения как систему

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

то решения будут изображаться точками пересечения прямой и ок­ружности (то есть точками Л и В на рис. 11). Если же рассматривать эти уравнения как совокупность уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

то решение этой совокупности изображаются геометрической фигурой, получаемой объединением прямой и окружности.

Чтобы различать системы уравнений и совокупности уравне­ний, мы и стали обозначать систему уравнений так:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

а совокупность уравнений так:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Можно говорить и о таком более сложном понятии, как совокупность систем уравнений. Например, возьмем такую запись:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Она означает, что надо найти решения системы уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

и найти решения системы уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

и объединить найденные решения.

Геометрически это изображается так: надо найти точки пересечения ли­ний Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии точки пересечения линий Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии объединить найденные точки в одно множество. Иными сло­вами, если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— множество точек плоскости, координаты которых удовлет­воряют уравнению Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито решения совокупности систем (2) образуют множество

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Равносильные систе­мы уравнений

Две системы уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

называются равносильными, если всякое решение пер­вой системы является ре­шением второй, а всякое решение второй системы является решением первой.

В частности, любые две несовместные системы ура­внений равносильны.

Геометрически это оз­начает следующее: линии Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии пересекаются в тех же самых точках, что и кривые Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными(см. рис. 12).

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Процесс решения системы уравнений заключается в том, что ее последовательно заменяют равносильными ей системами уравнений (или совокупностями систем уравнений) до тех пор, пока не придут к совокупности вида:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Эта совокупность и дает решения заданной системы уравнений.

При решении систем уравнений чаще всего используются следующие теоремы о равносильности.

Теорема:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

заменить любое из уравнений равносильным ему уравнением, то по­лучим систему, равносильную первоначальной.

Доказательство:

Пусть Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиравносильно уравнению Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиОбозначим через А множество решений уравнения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымичерез А* — множество решений уравнения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа через В — множество решений уравнения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиТогда множеством решений системы (4) является пересече­ние Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа множеством решений системы

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

является пересечение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиПоскольку уравнения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиравносильны, то Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

а значит, и Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито есть системы (4) и (4′) равносильны. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает такое

Следствие:

Каждая система уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильна некоторой системе уравнений вида

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

В самом деле, уравнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиравносильно уравне­нию Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа уравнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиуравнению Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Теорема:

Если функции Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиопределены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильно совокупности уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Доказательство:

Если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— решение уравнения (5), то имеет место равенство

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Но произведение нескольких чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей. Поэтому для некоторого Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиимеем: Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии, значит Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиодно из решений совокупности (6).

Обратно, если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— одно из решений совокупности (6), то по крайней мере для одного k имеем Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа тогда выполняется равенство (5′), и поэтому Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— одно из решений уравнения (5).

Из теоремы 2 вытекает.

Следствие:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильна совокупности систем уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Например, система уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильна совокупности систем

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Это следствие позволяет сводить системы к совокупностям более простых систем

Метод подстановки

Теоремы п. 5 относятся по сути дела к отдельным уравнениям, а не к системе в целом. При решении систем уравнений применяются также преобразования уравнений, затра­гивающие не одно уравнение, а несколько. Например, для реше­ния системы

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

мы находим из первого уравнения выражение у через Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии подставляем это выражение во второе уравнение. Решая полученное уравнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестныминаходим корни Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиТак как Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито оба соответствующих значения неизвестно­го у равны 6. Значит, решение системы можно записать в виде:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Метод, которым была решена эта система, называется методом подстановки. Он позволяет сводить решение системы уравнений с двумя неизвестными к более простой задаче — решению одного уравнения с одним неизвестным. Выясним теперь, на чем же основан метод подстановки. Для этого докажем следующую теорему.

Теорема:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильна системе уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Доказательство:

Пусть Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— решение системы уравнений (1). Тогда b = f (а) и Ф (а, b)=0. Поэтому Ф (а, f(а)) = 0. Равенства b= f(а) и Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымипоказывают, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиявляется решением системы уравнений (2).

Обратно, пусть Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— решение системы уравнений (2). Тогда имеют место равенства Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиИз них вытекает, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиА это и означает, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиявляется решением системы уравнений (1).

Тем самым равносильность систем уравнений (1) и (2) доказана.

Из теорем 2 и 3 вытекает

Следствие:

Если уравнение F (х, у)=0 равносильно уравнению Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, то система уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильна системе уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Мы уже говорили, что теорема 3 лежит в основе метода решения систем уравнений с двумя неизвестными, называемого методом исклю­чения неизвестных. Он состоит в следующем.

Пусть задана система уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Выразим из первого уравнения системы у через х, то есть заменим уравнение F(х, у)= 0 равносильным ему уравнением у = f(х). Полученное выражение для у подставим во второе уравнение, то есть заменим систему уравнений (1) равносильной ей системой

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Уравнение Ф (х,f(x)) является уже уравнением с одним неизвестным. Решая его, получим корни Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. Им соответствуют значения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестныминеизвестного у. В соответст­вии с этим получаем решения

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Часто приходится заменять уравнение F(х,у)= 0 не одним уравнением вида у = f(х), а совокупностью

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

таких уравнений. Тогда и система (1) заменяется совокупностью систем

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из каждой системы этой совокупности получаем описанным вы­ше методом решения заданной системы, после чего объединяем их.

Примеры:

  1. Решить систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из первого уравнения системы находим Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

или, после упрощения,

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Корнями этого биквадратного уравнения являются числа:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Им соответствуют значения:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Значит, решения заданной системы уравнений имеют вид:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

2. Решить систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из первого уравнения системы получаем:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Значит, нам надо решить совокупность двух систем уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Делая в первой системе подстановку, получаем:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

или Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиРешая (возведением в квадрат) это иррациональное уравнение, находим корни Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиИм соответствуют значения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиИтак, первая система име­ет решения

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Точно так же доказывается, что вторая система имеет решения:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Следовательно, заданная система имеет решения:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Метод алгебраического сложения уравнений

Кроме метода подстановки, при решении систем алгебраических уравнений применяется метод алгебраического сложения. Он основан на следующей теореме.

Теорема:

Если к одному из уравнений системы

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

прибавить другое уравнение, умноженное на любой множитель f(x, y), определенный при всех допустимых значениях неизвестных, а второе уравнение оставим неизменным, то получится система уравнений, равносильная исходной.

Таким образом, система (1) равносильна системе

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

где множитель f(х,у) определен при всех допустимых значениях неизвестных.

Доказательство:

Пусть х = а, у = b — решение сис­темы (1), то есть F(а, b)=0 и Ф(а, b)= 0.

Умножим обе части равенства Ф(а, b)=0 на число f(а, b) и прибавим к равенству F (а, b)= 0. Мы получим, что F(а, b)+(а, b) Ф(а,b)= 0, а потому х =а, у = b удовлетворяет и системе (2).

Точно так же доказывается, что любое решение системы уравнений (2) удовлетворяет системе уравнений (1). Значит, системы уравнений (1) и (2) равносильны.

Из теоремы 4 вытекает такое

Следствие:

Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое уравнение системы, умноженное на любое число, а второе уравнение оставить неизменным, то получим систему, равносильную первоначальной.

Покажем, как применяются эти утверждения для решения сис­тем уравнений. Пусть дана система уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Здесь нецелесообразно выражать х через у или у через х, так как мы получили бы довольно сложное иррациональное уравнение. Поэтому поступим иначе. Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, умноженное на 3. В силу формулы для куба суммы получим систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

равносильную заданной. Эта система равносильна системе:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

(поскольку уравнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиравносильно х + у = 3).

А теперь выразим из первого уравнения у через х и подставим во второе уравнение. Мы получим:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из второго уравнения находим: Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиСоответствующие значения у равны Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиЗначит, решениями задан­ной системы уравнений являются:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Задача:

Массы трех планет Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиравны соответственно М, 2М, ЗM. Через планеты проведена плоскость и на ней выбрана

система координат. Координаты планет равны соответственно A(0,0), В (а, 0), С (2а, b). При каком значении b на плоскости существу­ет точка, в которой притяжение ко всем трем планетам одинаково?

Решение:

По закону всемирного тяготения сила притяже­ния между телами с массами Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиравна Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, где у — гравитационная постоянная, а r — расстояние между этими телами. Если D(х, у) — некоторая точка плоскости, то ее расстояние до точки А равно Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымидо точки В (2а, 0) равно

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

а до точки С (b, с) равно

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Поэтому силы, с которыми тело массы m, находящееся в точке D, притягивается к планетам, равны

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

По условию задачи должны выполняться условия Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиили, иначе,

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

После сокращения обоих уравнений на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии освобождения от знаменателей получаем равносильную систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Вычтем первое уравнение из второго. Мы получим, что

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Подставляя это значение у в первое уравнение, получаем для х квадратное уравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из него находим:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Отсюда получаем, что х принимает действительные значения лишь в случае, когда Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито есть при Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиЕсли Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито искомой точкой является Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Метод введения новых неизвестных

Для решения многих систем оказывается удобно ввести вместо х и у новые неизвестные. Рассмотрим следующий пример:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Если положить Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито получим для определения t и s систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решая эту систему, получаем, что

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Так как Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито для отыскания х и у получаем две системы уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решениями первой системы являются:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Вторая же система не имеет действительных решений.

Общего правила для выбора новых неизвестных не существует. Однако в некоторых случаях можно указать полезные правила.

Системы однородных уравнений

Назовем f (х, у) однородным многочленом относительно х и у степени n, если при за­мене х на ах и у на ау F (х, у) умножается на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Например, Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— однородный многочлен второй степени, а Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— однородный мно­гочлен четвертой степени.

Пусть одно из уравнений системы имеет вид: F (х,у) = 0, где F (х, у)— однородный многочлен. Тогда решение системы сводится к решению двух уравнений, каждое из которых содержит лишь одно неизвестное. Покажем на примере, как это делается.

Пусть дана система уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Посмотрим сначала, есть ли у этого уравнения решения, для которых х =0. Подставляя х = 0 в оба уравнения системы, получаем систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Эта система несовместна, так как из первого уравнения получаем у = 0, а из второго —Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Итак, система не имеет решений, для которых х = 0. Поэтому первое уравнение системы можно разделить на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными(в общем случае— на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымигде n — степень многочлена F (х, у)). Мы получим уравнение:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Положим у — tх. Мы придем к системе уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Корнями первого уравнения являются Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиПодставляя во второе уравнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиполучаем Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиПодставляя же Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиполучаем х = ± 1. Так как у=tх, то мы имеем следующие решения системы (1):

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

В следующем примере система имеет решения, для которых х = 0:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

При х = 0 первое уравнение обращается в равенство 0=0, а второе принимает вид Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиИз него находим Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиМы на­шли уже два решения системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Другие решения получаются так же, как и в первом случае. Мы делим первое уравнение системы на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными(случай, когда х = 0 и де­ление невозможно, уже рассмотрен) и заменяем у на tх. Получаем систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из первого уравнения находим Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиПодставляя эти ре­шения во второе уравнение и находя х, приходим к следующим ре­шениям системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Задача:

От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти ско­рость катера в стоячей воде, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Решение:

Сначала составим систему уравнений. В качестве неизвестных выберем скорость u катера в стоячей воде и скорость течения v. Тогда скорость катера при движении по течению равна u+v, а при движении против течения u-v. Значит, чтобы пройти вниз по течению 96 км, ему надо Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымичасов, а вверх по течению Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымичасов. Всего он затратит Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымичасов. Но по условию задачи он вернулся назад через 14 часов. Значит,

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Чтобы получить второе уравнение, найдем, какое время затра­тил катер до встречи с плотом. Он прошел 96 км вниз по течению и 72 км против течения. На это он затратил Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымичасов. Плот же проплыл 24 км со скоростью v и затратил Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымичасов. Так как плот и катер одновременно отправились из А , то имеем уравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Мы получим систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

При замене u на ut и v на vt обе части второго уравнения умножаются на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. Поэтому оно является однородным уравнением сте­пени однородности — 1. Так как v = 0 не удовлетворяет уравнению, мы можем положить u = uz. Тогда второе уравнение примет вид:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Освобождаясь от знаменателей, получим:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Так как Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиСледовательно, u =7v. Подставляя u =7v в первое уравнение системы, находим:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

откуда v = 2 (км/ч). Поэтому u = 14 км/ч.

Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными

Мы уже знаем, что решение сис­темы двух уравнений с двумя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

геометрически истолковывается как отыскание точек пересечения двух линий. Этим можно воспользоваться для приближенного решения системы уравнений. Именно, если изобразить линии F(х, у) = 0 и Ф(х, у) = 0, мы сможем найти координаты точек пересечения этих линий и тем самым значения неизвестных. Поскольку линии чертятся лишь приближенно, мы получаем не точ­ные, а приближенные значения решений системы. Тем не менее, решая графически систему, мы можем узнать, сколько она име­ет решений, и, хотя бы грубо, найти приближенные значения этих решений.

При графическом решении систем уравнений мы сталкиваемся с различными кривыми. В курсе геометрии были выведены уравнения прямой, окружности, параболы, гиперболы и эллипса. В дальнейшем мы будем пользоваться этими кривыми.

Рассмотрим некоторые примеры систем уравнений.

Пусть дана система

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Выразив из уравнения (2) у через х и подставив в первое уравнение, получаем квадратное уравнение:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Подставив их во второе уравнение, получаем:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Итак, система имеет два решения:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Построим теперь линии, выражаемые уравнениями (1) и (2). Уравнение (1) — это уравнение параболы Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымикоторая получается из параболы у = Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымисдвигом на 2 единицы влево вдоль оси абсциссы. Уравнение же (2) выражает прямую линию у=-2х- 4. Рис. 13 дает геометри­ческое изображение нашей системы. Мы видим из ри­сунка, что парабола и прямая пересекаются в двух точках А (—4, 4) и Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымив соответствии с полученным аналитическим путем решением.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Парабола может иметь с прямой линией не две, а одну точку пересечения и даже не иметь ни одной точки пересечения.

Возьмем систему урав­нений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ее единственное решение:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из рис. 14 мы видим, что прямая у = 2х касается параболы

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

тоже имеет одно решение:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Но в этом случае прямая не касается параболы, а пересекает ее (см. рис. 15).

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

не имеет ни одного решения — здесь прямая и парабола не пересекаются (см. рис. 16).

Теперь рассмотрим систему, геометрический смысл которой заключается в отыскании точек пересечения прямой и гиперболы. Пусть система имеет вид:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решая ее способом подстановки, находим решения:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Эти же решения получаются графическим способом (см. рис. 17). Однако следует иметь в ви­ду, что графический способ да­ет лишь приближенные значения корней и, решая систему (6) гра­фически, мы не можем быть уверены, что решение имеет вид х = —4, у = —3, а не, напри­мер, х = —4,01, у = —2,99.

Как и в случае параболы, может случиться, что прямая имеет не две, а меньше общих точек с гиперболой.

Перейдем к системам, в которых оба уравнения имеют вторую степень. Можно доказать, что такие системы уравнений имеют не более четырех решений.

Вообще можно доказать, что система двух уравнений с двумя неизвестными такая, что первое уравнение имеет степень m, а вто­рое — степень n, имеет не более mn решений.

Рассмотрим, например, систему:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Первое из этих уравнений представляет параболу с осью, параллельной оси ординат, а второе — параболу с осью, параллельной оси абсцисс (см. рис. 18). Из рисунка видно, что эти параболы пе­ресекаются в четырех точках. Чтобы найти координаты точек пересечения,

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

решим эту систему методом алгебраического сложения. Именно, вычтем из уравнения (8) уравнение (7). Мы получим равносильную систему уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Эта система равносильна совокупности систем:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Обе системы этой совокуп­ности решаются методом подстановки. Мы получаем при этом следующие реше­ния заданной системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

тоже имеет четыре реше­ния. Она выражает задачу об отыскании точек пере­сечения окружности и ги­перболы (см. рис. 19). Что­ бы решить эту систему, надо прибавить к первому уравнению удвоенное второе уравнение.

В некоторых случаях получается меньше чем четыре решения системы. Например, система

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

имеет два решения. Она выражает задачу об отыскании точек пересечения параболы и окружности (рис. 20).

Столько же решений имеет система

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

(пересечение двух окружностей) (рис. 21).

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение других типов систем алгебраических систем уравнений

Пример:

Решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Из данной системы можно исключить Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, сложив уравнение (1), умноженное на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, с уравнением (2), умноженным на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. В результате получим квадратное относительно Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиуравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

откуда Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Система (1), (2), равносильная системе (1), (3), распадается на две системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из первой системы находим Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из второй системы получаем Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ответ. Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито из данной системы получаем, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымит.е. Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— решение системы.

Пусть Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымитогда разделив уравнения почленно, находим

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

где Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиУравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

имеет корни Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Заметим, что при Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиуравнение (6) вместе с уравнением (4) образует систему, равносильную исходной. 2 2

Если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымит. е. Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито из уравнения (4) с учетом условия Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиполучаем Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии поэтому Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ответ. Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Допустимые значения Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиопределяются условием Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа произведение правых частей уравнения равно Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиПеремножив уравнения (7) и (8), получим Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиили

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Так как обе части уравнений (7) и (8) отличны от нуля, то система (9), (7) равносильна системе (7), (8). Исключая у из системы (9), (7), получаем

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из (10) следует, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиа из (9) — что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ответ. Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Запишем первое уравнение в виде Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решив это уравнение как квадратное относительно Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, получим

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Таким образом, исходная система распадается на следующие две системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиГеометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Исключив Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымииз системы, получим уравнение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

нахождение корней которого — совсем не простая задача. Более эффективный способ основан на разложении левой части уравнения (12) на множители:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Отсюда вытекает, что система (11), (12) распадается на следующие две системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Первая из этих систем не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения.

Ответ. Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Универсальный способ решения симметрических систем с тремя неизвестнымиСкачать

Универсальный способ решения симметрических систем с тремя неизвестными

Решение системы алгебраических уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений, состоящая из n
линейных уравнений с n неизвестными:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Здесь Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— n неизвестных, Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными
циенты при неизвестных, Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— свободные члены.

Определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.

Для рассматриваемого случая определитель системы имеет вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Предположим, что этот определитель отличен от нуля. Пусть i —
любое число от 1 до n . Умножим обе части первого равенства
системы уравнений (2.1) на алгебраическое дополнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными
получающееся вычеркиванием первой строки и i-го столбца в определителе системы. Обе части второго равенства этой системы умножим на алгебраическое дополнение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиполучающееся вычеркиванием второй строки и i-го столбца в определителе системы, и т.д. В результате получим систему:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Сложим левые и правые части получившейся системы
уравнений, скомпоновав их следующим образом:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Коэффициентом при Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымив этом равенстве является определитель
системы D. При всех остальных х коэффициенты будут равны нулю,
так как они являются суммой произведений всех элементов столбцов
определителя на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другого столбца (п. 5 свойств определителей, § 1.9). Правая
часть равенства является определителем, полученным из
определителя системы D после замены в нем i-го столбца столбцом из
свободных членов системы уравнений. Обозначим этот определитель Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиТаким образом, полученное равенство можно записать в виде

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Так как Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Этот метод решения системы линейных уравнений называется
правилом Крамера.

Правило Крамера. Пусть D — определитель системы п линейных
уравнений, состоящий из коэффициентов при неизвестных, a Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— определитель, полученный путем замены в определителе системы i-го столбца столбцом из свободных членов системы уравнений. Тогда, если Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымито система имеет единственное решение, определяемое по формуле

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Определитель этой системы отличен от нуля:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

После замены в этом определителе соответствующих столбцов
столбцом свободных членов получим

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решить систему линейных уравнений можно, используя матричный метод. Для этих целей коэффициенты данной системы, неизвестные и свободные члены представим в виде матриц:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Тогда система линейньк уравнений в матричной форме имеет вид

Умножим слева эту матрицу на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Преобразуем левую часть равенства:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Таким образом, решение в матричной форме можно записать в виде

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Определитель данной системы

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Обратную матрицу находим по схеме, приведенной в § 1.11:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Находим матрицу решений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Таким образом, система имеет следующее решение:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Видео:Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретацияСкачать

Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений

Систему из m линейных уравнений с n неизвестными, или систему m х n, можно записать в общем виде следующим образом:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Если так же, как и в предыдущем разделе, ввести обозначения

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

то система линейных уравнений в матричной форме и ее решение
примут вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении переменных. При этом на первом шаге из второго уравнения исключается
Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, на втором шаге из третьего уравнения исключается Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии т. д.

Шаг 1. Предположим, что коэффициент при Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымив первом
уравнении системы (2.4) Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. Если это не так, то перестановкой
уравнений местами добьемся того, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. Перепишем систему (2.4), изменив все уравнения, кроме первого, по следующему алгоритму. Умножим первое уравнение на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымисложим со вторым уравнением системы (2.4) и результат запишем в виде второго уравнения системы (2.5):

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Умножим первое уравнение на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымисложим с третьим уравнением системы (2.4) и результат запишем в виде третьего уравнения системы (2.5). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. Буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. После первого шага данная матрица принимает вид:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Шаг 2. Предположим, что коэффициент при Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиво втором
уравнении системы (2.5) Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиЕсли это не так, то перестановкой
уравнений местами добьемся того, что Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными. Первое и второе уравнения системы (2.5) перепишем в систему (2.7). Умножим второе уравнение системы (2.5) или матрицы (2.6) на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымисложим с
третьим уравнением системы (2.5) или матрицы (2.6) и результат
запишем в виде третьего уравнения системы (2.7) или матрицы
(2.8). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после (r-1)-го шага получим систему уравнений и расширенную матрицу:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Последние m-r уравнений в системе (2.9) для совместной
системы (2.4) являются тождествами: Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиЕсли хотя бы одно из
чисел Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымине равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (2.4) несовместна. В совместной системе при ее решении последние m-r уравнений (2.9) и (2.10) можно не принимать во внимание. Тогда система уравнений (2.9) и
расширенная матрица (2.10) принимают вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами,
число оставшихся уравнений может быть либо равно числу
переменных r=n, либо меньше числа переменных. В первом случае
матрица имеет треугольный вид, а во втором — ступенчатый. Переход от системы уравнений (2.4) к равносильной ей системе (2.11)
называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (2.11) — обратным ходом.

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Шаг 1. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения первой строки на —2 и сложения результата со второй
строкой, а также за счет умножения первой строки на -1 и сложения
результата с третьей строкой:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ш а г 2. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения второй строки на -3 и сложения результата с третьей строкой:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Эта матрица имеет треугольную форму и соответствует системе
линейных уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Отсюда последовательно находим

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ш а г 1. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения первой строки на —2 и сложения результата со второй
строкой, а также за счет умножения первой строки на -4 и сложения результата с третьей строкой:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ш а г 2. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения второй строки на —1 и сложения результата с третьей строкой:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Уравнение,соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво. Оно имеет вид 0 = -1. Следовательно, данная система несовместна. ►

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ш а г 1. Первую строку последовательно умножаем на числа -2; —2;
-3 и складываем результат с соответствующими строками исходной
расширенной матрицы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Ш а г 2. Умножаем вторую строку на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии на Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Шаг 3. Умножаем третью строку на -1.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

После удаления последнего уравнения приведенная система
уравнений принимает вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Из этой системы обратным ходом метода Гаусса находим

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Так как Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиможет принимать любые значения, то исследуемая
система имеет бесконечное множество решений. ►

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Этот наиболее простой метод вычисления обратной матрицы
состоит в следующем. Пусть А — невырожденная матрица.
Припишем к ней справа единичную матрицу Е. Далее с помощью
элементарных преобразований над строками расширенной матрицы Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиприводим А к единичной матрице Е. В результате получим расширенную матрицу Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымит.е. на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Найти матрицу, обратную исходной:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Составим расширенную матрицу:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Приведем левую половину этой матрицы к единичной матрице:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Последний столбец левой половины матрицы принял вид
последнего столбца единичной матрицы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Последний и предпоследний столбцы левой половины матрицы
приняли вид последнего и предпоследнего столбцов единичной матрицы:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Правая половина этой расширенной матрицы является искомой
обратной матрицей, т.е.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Пример:

Найти матрицу, обратную исходной:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Составим расширенную матрицу:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Приведем левую половину этой матрицы к единичной матрице:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Правая половина этой расширенной матрицы является искомой
обратной матрицей, т.е.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Система линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все ее свободные члены равны нулю.

Такая система имеет вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так
как она имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Если система (2.13) имеет n линейных уравнений, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение. Это следует из правила Крамера. Ненулевое решение возможно для систем линейных однородных уравнений, у которых определитель равен нулю или m Собственные значения и собственные векторы матриц

Пусть матрица имеет порядок n или, что то же самое, размер n х n.

Вектор Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестныминазывается собственным вектором матрицы А, если найдено такое число Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными, что

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Число Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестныминазывается собственным значением матрицы А,
соответствующим вектору Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Перенеся правую часть (2.15) в левую и принимая во внимание
соотношение Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиперепишем (2.15) в виде

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Уравнение (2.16) эквивалентно системе линейных однородных
уравнений

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Для существования ненулевого решения системы линейных
однородных уравнений (2.17) необходимо и достаточно, чтобы
определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Этот определитель является многочленом n-й степени относительно
Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии называется характеристическим многочленом матрицы А, а
уравнение (2.18) — характеристическим уравнением матрицы А. Корни характеристического уравнения соответствуют собственным числам матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти собственный вектор.

Пример:

Найти собственные числа и собственные векторы
матрицы

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Корни характеристического уравнения

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Для двух переменных система уравнений (2.17), эквивалентная
уравнению (2.15) собственного вектора, представляется в виде

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Подставив сюда значения корней Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиполучим две
системы уравнений:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Каждая система является одним уравнением, что и следовало
ожидать. Это связано с тем, что определитель системы равен нулю.
Из первой системы для Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымии из второй для Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымиследует, что
координаты собственных векторов связаны соотношениями

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Поскольку Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— произвольное число, то любому собственному
значению матрицы соответствует бесконечное множество собственных векторов различной длины. Положим Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестнымигде Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными— любое число. Тогда собственные векторы можно записать в виде

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными Геометрическая интерпретация системы трех уравнений с тремя неизвестными

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📽️ Видео

Система линейных уравнений с тремя переменными | Алгебра 7 класс #49 | ИнфоурокСкачать

Система линейных уравнений с тремя переменными | Алгебра 7 класс #49 | Инфоурок

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестнымиСкачать

Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Elimination method 3 unknowns 2 equationsСкачать

Elimination method 3 unknowns 2 equations

2 уравнения и 3 неизвестных — система, которая на олимпиаде вынесла почти всехСкачать

2 уравнения и 3 неизвестных — система, которая на олимпиаде вынесла почти всех

Как решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными!?!Скачать

Как решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными!?!

Диофантовы уравнения x³-y³=91Скачать

Диофантовы уравнения x³-y³=91

Урок: Задача про треугольную пластину. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестнымиСкачать

Урок: Задача про треугольную пластину. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера. Свойства определителя.Скачать

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера. Свойства определителя.

Решение системы уравнений с тремя переменнымиСкачать

Решение системы уравнений с тремя переменными

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.
Поделиться или сохранить к себе: