Функциональные методы решения уравнений неравенств

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Гродненский государственный университет имени Я. Купалы»

КУРСОВАЯ РАБОТА

«ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

студентка 3 курса

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ………………………………………………………………. 5.

1.1 Цели и место изучения функциональной линии…………….………5.

1.2 Анализ школьной программы……………………………………..….6.

1.3 Подходы к изучению понятия «функция»…………………………. 7.

1.4 Функциональная пропедевтика……………………………………….9.

1.5 Введение понятия функции, способов её задания и исследования…………………………………………………………………….10.

ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………………………………………………………. ……16.

2.1 Использование свойства монотонности функции при решении уравнений и неравенств………………………………………………………. 16.

2.2 Использование ограниченности функции…………………………..18.

2.3 Использование периодичности функции…………………………. 20.

2.4 Использование четности и нечетности функции…………………..23.

2.5 Использование области определения функции…………………….24.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………..27.

ВВЕДЕНИЕ

Функциональная зависимость является одной из тех математических идей, которые способны объединить в единое целое все разделы математики, включенные в школьный курс. Рассмотрение функциональной содержательно-методической линии курса как одной из ведущих считается серьезным положительным достижением теории и методики обучения математике в средней школе. Фундаментальная роль функциональной линии определяет особенности изучения остальных тем и содержательных линий курса математики. Функциональная зависимость отражает практическую направленность курса математики, взаимосвязь величин в естественнонаучных дисциплинах, а также формирует функциональное мышление школьников.

В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

• выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;
• установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала [5, с.33].

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения – такие, как функциональные методы, речь о которых пойдет в данной работе. Все вышесказанное и определяет актуальность курсовой работы.

Целью работы является изучение применения функциональных методов решения уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. В первой главе рассмотрены теоретические основы изучения функциональной линии в школьном куре математики: цели и место изучения функциональной линии, анализ школьной программы, изучены различные подходы к изучению понятия «функция» и функциональная пропедевтика, а также основные способы задания и исследования функции, ее введения в школьный курс математики. Во второй главе изучено применение функциональных методов решения уравнений и неравенств в школьном курсе математики с использованием свойств монотонности, ограниченности, периодичности, четности и нечетности, а также области определения функции.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1 Цели и место изучения функциональной линии

Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и конкретностью, как понятие функциональной зависимости. Ученик буквально на каждом шагу встречается с разными применениями функциональной зависимости, в том числе изображённой в виде графиков и диаграмм, чтение и составление которых предполагает определённое функциональное мышление [19, с.46].

Это понятие как ни одно другое воплощает в себе черты современного математического мышления, приучает мыслить величины в их изменяемости и взаимосвязи, таким образом, идея функции способствует усвоению учащимися основ диалектического мировоззрения.

Понятие функции – это основное понятие высшей математики, поэтому качество подготовки учащихся средней школы к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно данное понятие изучено в школе.

Многие понятия школьного курса математики строятся на понятии функции, а также решение многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции, используют знания о ней. Идея функции может быть использована и в геометрии.

Итак, изучение понятия функции – это не только одна из важнейших целей преподавания математики в школе, но и средство, которое даёт возможность связать общей идеей разные курсы математики, установить связь с другими предметами (физикой, химией).

В школьных учебниках место изучения функций различно. В одних учебниках функциональная линия является ведущей (здесь рассмотрены понятия и функции, которым не придаётся значения в других учебниках, например, непрерывность и выпуклость, функции , , ). В других учебниках внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии умеренное [14, с.98].

1.2 Анализ школьной программы

Функциональная линия – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Изучаются линейная функция у = кх + b, степенные функции вида у = х 2 , у = х 3 , квадратичная функция у = ах 2 + bх + с, обратная пропорциональность , функция, содержащая знак модуля , а также функции и , где n – натуральное число.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

• понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей;
• правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;
• находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;
• находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;
• строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;
• интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы [11, с.28].

1.3 Подходы к изучению понятия «функция»

Выделяют два подхода к введению определения понятия функции – генетический и логический.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции примерно до середины XIX века. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), правило, декартова система координат [15, с.121].

Генетическое развёртывание функции обладает рядом достоинств. В нём подчёркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нём, выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определёнными на числовых промежутках), то есть происходит сужение объёма понятия функции.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения. Подход основан на трактовке понятия функции более позднего времени: вторая половина XIX в. – XX в.

Логический подход охватывает множества разной природы. Такое определение по структуре простое, позволяет чётко дать некоторые определения, относящиеся к функциональной линии, которые при генетическом подходе сделать нелегко (обратная функция и так далее) [15, с.123].

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определённую избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляется с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах.

В настоящее время в школьном курсе математики используется генетический подход.

1.4 Функциональная пропедевтика

Основные задачи пропедевтики решают функциональные упражнения. Часть таких упражнений рассматривается в начальных классах, основное внимание им должно быть уделено в 5–6 классах.

1) Упражнения с переменными, например, вычисление значений буквенных выражений при различных значениях переменных. Такие задания постепенно приводят к понятию функции и готовят учащихся к усвоению аналитического способа задания функции. При решении таких упражнений вычисления лучше записывать в форме таблицы, что готовит учеников к усвоению табличного способа задания функции.

2) Упражнения на составление формул при решении задач и наоборот задач по готовым формулам.

3) Упражнения на изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов, например, как изменяется сумма, если слагаемое изменяется на столько-то.

4) Упражнения на координатной прямой, координатной плоскости и в чтении графиков [18, с.47].

В 5 классе учащиеся должны уметь решать 2 задачи: изображать точку по координате и находить координату точки на луче, а в 6 классе эти задачи переносятся на координатную плоскость.

1.5 Введение понятия функции, способов её задания и исследования

Введение понятия функции ведётся по трём основным направлениям: 1) упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат); 2) глубокое изучение отдельных функций и их классов; 3) расширения области приложения алгебры за счёт включения в нее идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией [20, с.146].

Первое направление появляется в алгебре ранее остальных. Основной акцент – усвоение учащимися однозначности соответствия аргумента и определяемого по нему значения функции. Из разнообразных способов задания функции чаще всего используется способ задания функции формулой, остальные способы задания – подчинённые. Сопоставление различных способов задания вызвано практической потребностью и важно для усвоения всего многообразия понятия функции.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую – необходимый методический приём при введении понятия функции. Реализация – система заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Например, при отработке формы представления можно рассмотреть задачи:

1. изобразить график функции у=4х+1 на ;
2. проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента и проведя расчёт: х=1.35; 2.44; 9,4; 7; 6,25;
3. по заданным точкам построить график зависимости [14, с.58].

В первом задании построение идёт по точкам, так как первоначально учащиеся не знают вида графика линейной функции. Способ построения графика функции по точкам иллюстрирует задание три, второе задание иллюстрирует связь функциональных представлений с числовой системой. Второй тип заданий – оптимизация представления функции без изменения средств представлений. Типичные задания: упростить формулу, задающую функцию. Цель таких заданий – показать, что одна и та же функция может определяться различными формулами. Связь функциональной линии с числовой системой при введении понятия функции осуществляется при вычислении её значения по формуле или словесному описанию. Учащиеся должны понимать, что если о некоторой функции известно, что она определена на множестве , то это значит, что для каждого можно найти соответствующее значение .

Например: Функция задана формулой:. Найти её значение при . Наряду с раскрытием определения понятия уточнения общих функциональных представлений введение понятия функции требует рассмотрения нескольких конкретных примеров функций.

Таким образом, для введения понятия функции используется конкретно-индуктивный путь, поэтому полезно использовать метод проблемного изложения, разобрать несколько задач с подчёркиванием существенных признаков понятия (одна переменная зависит от другой, однозначная зависимость). Примеры должны быть разнообразными по содержанию, несущественные признаки должны варьироваться (несущественным является способ задания функции: формула, график, таблица). Необходимо подобрать контрпример для разных способов задания функции, выделить критерий, по которому можно определить, является ли зависимость функциональной (при каждом способе задания).

1) Если зависимость задана таблицей, то в первой строчке не должно быть одинаковых чисел.

2) В случае, когда функция задана графически, то любая прямая, параллельная оси Оу, должна пересекать график не более чем в одной точке.

3) Если функция задана аналитически, то нужно следить за единственностью значений соответствующих зависимостей, например, [10, с.52].

При введении понятия «функция» следует обратить внимание на переход от одной формы задания функции к другой. В школе, как правило, он осуществляется по схеме: аналитическая модель ® таблица ® график. Для введения конкретных функций лучше использовать схему: словесная модель ® таблица ® график ® аналитическая модель.

Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой, например, кардиограммы).

При введении записи необходимо, чтобы учащиеся понимали смысл буквы f, которая означает закон соответствия.

Способы исследования функций.

Содержание этой учебной задачи заключается в том, чтобы средствами, которыми владеют учащиеся в это время, устанавливать все свойства функции.

Выделяют три способа исследования функции: аналитический (исследование элементарными средствами и исследование с помощью производной), графический и комбинированный метод.

Результатом аналитического метода является построение графика функции. При исследовании используются уравнения и неравенства.

При графическом методе по точкам строится график, и с него считываются свойства.

Комбинированный метод используется в двух смыслах:

а) часть свойств обосновывается аналитически, а часть – графически;

б) сначала строится график по точкам, считываются свойства, а затем они доказывается без всякой опоры на график [15, с.93].

Необходимо уже в средней школе чётко разграничивать языки, на которых рассматриваются свойства функций: словесный, графический, аналитический.

Схема для чтения свойств функции :

Аналитически это означает

Графически это означает

1. Область определения

Переменная х в формуле может принимать значения …

Это множество абсцисс…

2. Область значений

Переменная у в формуле может принимать значения …

Это множество ординат точек графика …

3. Нули функции

при х =…(корни уравнения)

Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ох

4. Функция принимает значения:

а) больше а

б) меньше а

а) , если х .

б) , если х .

а) График расположен выше прямой у = а при х =.

б) График расположен ниже прямой у = а при х =.

5. Функция принимает значения, равные значениям функции

График функции пересекает график функции , при х =.

6. Функция принимает значения

а) больше значений функции

б) меньше значений функции

а) , если х .

б) , если х .

а) График функции расположен выше графика функции , при х =.

б) График функции , расположен ниже графика функции , при х =.

7.

а) функция возрастает на множестве М

б) функция убывает на множестве М

а) если , то

б) если , то

а) с увеличением абсцисс точек на множестве М график функции «поднимается» вверх.

б) с увеличением абсцисс точек на множестве М график функции «опускается» вниз.

Схема изучения конкретных функций.

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

На этом этапе изучения учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из соображений практики или необходимости дальнейшего развития теории.

1. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

На этом этапе изучения учащиеся получают чёткое представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

1. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

1. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, чётность или нечётность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.
2. Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств [15, с.96].

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является своеобразным планом – программой для изучения любой функции, но нужно иметь в виду, что содержание материала и практика обучения вносят в неё соответствующие коррективы.

Итак, при изучении функциональной линии необходимо в 5-6 классе проводить функциональную пропедевтику. Понятие «функция» лучше вводить конкретно-индуктивным путём, при использовании генетического подхода, а исследование конкретных функций проводить комбинированным методом.

ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

2.1 Использование свойства монотонности функции при решении уравнений и неравенств

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т, тогда уравнение f(x) = С, где С – данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.
2. Пусть f(x) и g(х) – непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы [1, с.76].

На уроках математики учащимся можно предложить следующие уравнения, решить которые можно с применением свойства монотонности функции.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда . Для х > 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и . Значит, в области х > 0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.

Пример 2. Решите неравенство

Решение. Каждая из функций у = 2 x , у = 3 x , у = 4 х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х = 0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем , при х 2 . Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x [7, с.24].

Пример 1. Решите уравнение

sin(x 3 + 2х 2 + 1) = х 2 + 2х + 2.

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x 3 + 2х 2 + 1) ≤ 1, х 2 + 2х + 2 = (x + 1) 2 + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При , , т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x 3 — x — sin πx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x₀ > 0 является его решением, то и (-x₀) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞).

Перепишем начальное уравнение в виде x 3 — x = sin πx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x 3 — x принимает только отрицательные значения, поскольку х 3 3 — х принимает положительные значения, функция h(x) = sin πx принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sin πx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x 3 — x = x(x 2 — 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Пример 3. Решите неравенство

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.

Пусть -1 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Пусть 0 8 – 3аx 6 + 4x 4 – аx 2 = 5

Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если x₀ – корень данного уравнения, то -x₀ – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

2.5 Использование области определения функции

Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.) [21, с.91].

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям и , т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям , , , т. е. ОДЗ есть . Подставляя эти значения х в уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.

Пример 3. Решите неравенство

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию . Ясно, что х = 1 не является решением неравенства. Для х из промежутка имеем , а . Следовательно, все х из промежутка являются решениями неравенства.

Пример 4. Решите неравенство

Решение. ОДЗ неравенства есть все х из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для х из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких х, и значит, на этом промежутке неравенство также не имеет решений.

Итак, неравенство решений не имеет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Функциональный метод решения уравнений и неравенств является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении задач.

Во-первых, кусочная непрерывность и монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций, во-вторых, свойства четности и нечетности, периодичность функции, в-третьих, свойства ограниченности области определения или области значения функции. В случае неявного задания функции используются свойства симметрии графика относительно осей координат или начала координат и т.д. Наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности, устанавливаемой с помощью тех же методов.

Однако в подавляющем большинстве случаев решение задач сводится лишь к применению свойств функции, уже заявленной в условии задачи. Это, конечно, не дает возможность самим учащимся осознать необходимость исследования функции. При современном системном подходе к обучению необходимо предоставить учащимся возможность самим почувствовать существенную необходимость в этом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ доступен в полной версии

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

По математике на тему «Функциональный метод решения уравнений и неравенств»(10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Использование понятия области определения функции 2

Использование понятия области значений функции 3

Использование свойства монотонности функции 6

Использование свойств четности или нечетности функций 8

Использование свойства периодичности функции 9

Метод функциональной подстановки 10

Функциональный метод решения уравнений и неравенств.

Одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использова­нии свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функ­ций. Использование свойств функций способствует рационализа­ции решений уравнений и неравенств.

Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

Использование понятия области определения функции

Областью определения функции у = f ( x ) называется множест­во значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f ( x ) = g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) — элементарные функции, определенные на множествах D ₁, D ₂. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D ₁∩ D ₂. Ясно, что когда множество D пустое ( D = Ø), то урав­нение решений не имеет.

Пусть требуется решить неравенство f ( x ) > 0. D ( f ) — область определения функции f ( x ). Если удается доказать, что для всех х из области определения выполняется неравенство f ( x ) > 0, то D ( f ) представляет собой решение данного неравенства.

1) Решите уравнение: + =5

ОДЗ: 1- x 0, x 1, решений нет.

x -3 0 x 3

2) Решите уравнение: arcsin ( x +2) + = x — 2

ОДЗ: -1 x +21, -3 x -1, -3 x -1, решений нет

2 x — x 0 x (2- x ) 0 0 x 2

3) Решите уравнение: + = x — 1

Решение.

ОДЗ: x -1 0, x =1

1- x 0

ОДЗ состоит из одной точки x =1. Остается проверить, является ли x =1 корнем уравнения.

x =1 + =1-1, 0=0. Верно.

4) Решите уравнение: arccos (6 x — x -10)=

ОДЗ: 6 x — x -10 -1, x =3, x =3

6 x — x -101 3-2 x 3+2

ОДЗ состоит из одной точки x =3. Остается проверить, является ли x =3 корнем уравнения. x =3 arccos (6*3-3-10)= , arcos (-1)= , = . Верно .

5) Решите неравенство: + 1

1.Область определения левой части: 1.

2.Для любого x из области определения выполняется неравенство + 1

Ответ: x (- ;-1][1;+ ).

Использование понятия области значений функции

Областью значений функции у = f ( x ) называется множество зна­чений переменной у, при допустимых значениях переменной х.

Функция у = f ( x ) называется ограниченной на данном про­межутке (содержащемся в области ее определения), если су­ществует такое число N > 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство N .

Пусть дано уравнение f ( x ) = g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) — элементарные функции, определенные на множествах D ₁ , D ₂. Обозначим область значений этих функций соответственно Е₁ и Е₂. Если х₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f ( x ₁) = g ( x ₁), где f ( x ₁) — значение функции f ( x ) при х = х₁, a g ( x ₁) — значение функции g ( x ) при х = х₁. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f ( x ) и g ( x ) имеют общие элементы (Е₁ ∩ Е₂ Ø). Если же таких общих элементов множества Е₁ и Е₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

1) Решите уравнение: cos 2 x = x -8 x +17

cos2 x = (x-4)+1

ОДЗ :

-1 cos2 x 1; (x-4)+11

Равенство достигается, если cos 2 x =1, x =4

(x-4)+1 = 1

2) Решите уравнение: + =2

ОДЗ: x 0 , x 0

x +9 0

0, 3 + 3, решений нет.

3) Решите уравнение:

ОДЗ:

0 для допустимых значений x

03

3 для допустимых значений x

Равенство достигается, если =3

=3

Решим первое уравнение системы:

=

При x =0 второе уравнение обращается в верное равенство, следовательно, решением системы и уравнения является x =0.

4) Решите уравнение:

ОДЗ:

Равенство достигается, если

Из второго уравнения системы имеем х = 3. Подстановкой во второе уравнение системы убеждаемся, что х = 3 является решением системы.

3 — корень уравнения.

5) Решите уравнение:

ОДЗ:

, .

Равенство достигается, если

Если , то

6) Решите уравнение:

Поскольку , то или .

, или

Решением первой системы является , . Вторая система решений не имеет.

Ответ: , .

7) Решите неравенство: .

На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а левая — положительная.

8) Решите неравенство: >2

ОДЗ: ,.

При любом из области определения >0, следовательно, .

Так как , то >2 на всей области определения.

Ответ: .

9) Решите неравенство:

ОДЗ:

Так как при любом x справедливы неравенства и , то данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

, т.е. при x =0.

10) Решите уравнение:

Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, , , . Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом x , поэтому уравнение не имеет действительных решений.

Использование свойства монотонности функции.

Функция f ( x ) называется возрастающей (убывающей) на дан­ном числовом промежутке X , если большему значению аргумента х X соответствует большее (меньшее) значение функции f ( x ), то есть для любых х₁ и х₂ из промежутка X таких, что х₂ > х₁ выпол­нено неравенство f ( x ₂) > f ( x ₁) ( f ( x ₂) f ( x ₁)).

Функция, только возрастающая или только убывающая на дан­ном числовом промежутке, называется монотонной на этом про­межутке.

Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, исполь­зуемых для установления характера монотонности функций и ле­жащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.

Теорема 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

Теорема 2. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на проме­жутке X и функция g ( x ) возрастает (убывает) на промежутке X , то функция h (х) = f ( x ) + g ( x ) + С также возрастает (убывает) на проме­жутке X (С — произвольная постоянная).

Теорема 3. Если функция f ( x ) неотрицательна и возрастает (убы­ вает) на промежутке X , функция g ( x ) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X , С > 0, то функция h (х) = С ∙ f ( x ) ∙ g ( x ) также возрастает (убывает) на промежутке X .

Теорема 4. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на промежутке X , то функция – f ( x ) убывает (возрастает) на этом промежутке.

Теорема 5. Если функция f ( x ) монотонна на промежутке X и со­храняет на этом множестве знак, то функция на промежутке X имеет противоположный характер монотонности.

Теорема 6. Если обе функции f ( x ) и g ( x ) возрастающие или обе убывающие, то функция h (х) = f ( g ( x )) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h (х) = f ( g ( x )) — убывающая функция.

Теоремы об уравнениях и неравенствах.

Теорема 7. Если функция f ( x ) монотонна на промежутке X , то уравнение f ( x ) = С имеет на промежутке X не более одного корня.

Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих нера­венств.

Теорема 10. Если функция f ( x ) возрастает на промежутке X , а g ( x ) убывает на промежутке X , то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет на промежутке X не более одного корня.

Теорема 11. Если функция f ( x ) возрастает на промежутке X , то урав­нение f ( f ( x )) = х равносильно на промежутке X уравнению f ( x ) = х

1) Решите уравнение:

ОДЗ:

Функция х 2 + убывает на промежутке (- ;-0], а — постоянная функция.

Подбором находим, что x =- — 4. В силу теоремы 7, найденный корень единственный.

2) Решите уравнение:

— функция убывает на ;

— функция возрастает.

Подбором находим, что .

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

3) Решите уравнение:

Функция возрастает на ; функция убывает на этом отрезке.

Подбором находим, что

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

4) Решите уравнение: x 3 + 33 = — 2х

ОДЗ уравнения: х є R .

Функция у(х) = x 3 + 33 — возрастает на R ,

Функция g (х) = — 2х — убывает на R .

Значит уравнение имеет не более одного корня.

5) Решите уравнение: x 5 + x 3 + х = — 42

Функция у(х) = x 5 + x 3 + х — возрастает на R ,

Функция g (х) = — 42 постоянна на R .

Значит уравнение имеет не более одного корня.

6) Решите уравнение: = 8 -2х

ОДЗ: х — 1.

Левая часть уравнения задает возрастающая, а правая убывающая функции.

Значит, это уравнение имеет не более одного корня.

7) Решите систему уравнений

Рассмотрим функцию Z = f ( t ) = 2 t — sin t , тогда систему можно записать в виде

Так как f ’ = 2 — sin t , то функция f -возрастающая, и

поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении

Следовательно уравнение равносильно уравнению x = y , а данная система равносильна системе

Полученная система имеет единственное решение x = y =3.

Использование свойств четности или нечетности функций

Функция f ( x ) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение —х также при­надлежит области определения и выполняется равенство f (- x ) = f ( x ).

Функция f ( x ) называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение —х также принад­лежит области определения и выполняется равенство f (- x ) = — f ( x ).

Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значе­ния, а нечетная — равные по абсолютной величине, но противопо­ложного знака.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух чет­ных функций являются четными функциями.

Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение или неравенство F (х) = 0, F (х) > 0, ( F (х) F (х) — четная или нечетная функция.

а) Чтобы решить уравнение F (х) = 0, где F (х) — четная или не­четная функция, достаточно найти положительные (или отрица­тельные) корни, после чего записываются отрицательные (или по­ложительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F (х). Для четной функции значение х = 0 проверяет­ся непосредственной подстановкой в уравнение.

б) Чтобы решить неравенство F (х) > 0 ( F (х) F (х) — чет­ная функция, достаточно найти его решения для х 0 (или х 0). Действительно, если решением данного неравенства является про­межуток (х₁; х₂), где х₁, х₂ — числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (-х₂; -х₁).

в) Чтобы решить неравенство F (х) > 0 ( F (х) F (х) — не­четная функция, достаточно найти решения для х > 0 (или х F (х) для х > 0 (или х 0).

1) Может ли при каком-нибудь значении a уравнение иметь 2 x -3 ax +4 x — ax =5 пять корней?

Число 0 не является корнем данного уравнения. Так как левая часть уравнения – четная функция, то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение имеет противоположный корень, и следовательно, число его корней при любом a четно. Поэтому пяти корней оно иметь не может.

2) Решите уравнение: x +5-24=0

ОДЗ: xR

Функция f ( x )= x +5-24 – четная, x =0 – не является корнем уравнения, поэтому достаточно найти решения для x >0

x >0 , x >0 , x =3

x +5-24=0 x =3

Тогда x = -3 так же является корнем уравнения.

Использование свойства периодичности функции

Функция у = f ( x ) называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого значения х, взятого из области определения, значения х + Т, х — Т, также принадлежат области определения и выполняется равенство f ( x ) = f ( x + Т) = f ( x ) = f ( x – Т). Число Т называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное количество периодов. При решении уравнений и неравенств будем использовать наименьший положи­тельный период функции.

Если функция F (х) — периодическая, то решение уравнения F (х) = 0 или неравенства F (х) > 0 ( F (х)

1) Решите неравенство:

Рассмотрим функцию f (х) = cos 12х — cos 4х.

. Следовательно, решение неравенства достаточно найти на промежутке равном по длине периоду функции. За такой промежуток возьмем . Так как функция чётная, решение найдём на промежутке [0;]. Функция на данном промежутке имеет два корня: 0; — которые разбивают промежуток [0;] на два интервала знакопостоянства: (0; ); ( ; ). Неравенство выполняется для всех

х є ( ; ). Но тогда оно будет выполняться и для всех ( ; ).

Учитывая периодичность: +

Ответ: +

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y =ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

1) Решите уравнение: tgx + ctgx + tg ² x + ctg ² x + tg ³ x + ctg ³ x = 6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y = tgx + ctgx, тогда tg²x + ctg²x = y² – 2, tg³x + ctg³x = y³ – 3y

y³ — 8 + y² — 2y =0, (у – 2)(у 2 + 2у +4) + у(у – 2) = 0, (у – 2)(у 2 + 2у +4 + у) = 0, (у – 2)(у 2 + 3у +4) = 0,

Так как tgx + ctgx = 2, то tgx + = 2. Отсюда следует, что tgx = 1 и x = + π n , .

Ответ: + π n , .

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Юрьевская основная общеобразовательная школа

Муниципальный этап областного методического конкурса

Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы.

Анализ школьных учебников

1. Общая теоретическая часть

1.1. Графический метод

1.2. Функциональный метод

1.3. Метод функциональной подстановки

2. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих

2.1. Использование ОДЗ

2.2. Использование ограниченности функций

2.3. Использование монотонности функции

2.4. Использование графиков функций

2.5. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.

3. Решение уравнений и неравенств

3.1. Решение уравнений

3.2. Решение неравенств

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Приложение

Видео:🚀Часть 1. Функциональные уравнения: Погружаемся глубже в математику🔮Скачать

Введение

Тема моей работы «Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы». Одна из главных тем курса алгебры средней школы. Решение уравнений и неравенств играют важную роль в курсе математики средней школы. Школьники начинают знакомиться с неравенствами и уравнениями еще в начальной школе.

Содержание тем «Уравнения» и «Неравенства» постепенно углубляются и расширяются. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах – 35%.

Окончательное изучение неравенств и уравнений происходит в курсе алгебры и начала анализа 10-11 классов. Некоторые ВУЗы включают в экзаменационные билеты уравнения и неравенства, которые часто бывают весьма сложными и требующими разных подходов к решению. В школе один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

В центре внимания этой работы лежит обеспечить более полное раскрытие применения функционально – графического метода к решению уравнений и неравенств в средней школе курса алгебры.

Актуальность данной работы в том, что данная тема входить в ЕГЭ.

Готовя данную работу, я ставила цель, рассмотреть как можно больше типов уравнений и неравенств, решаемых функционально — графическим методом. Также более глубоко изучить данную тему, выявление наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

Объект исследования – алгебра 10-11 классов под редакцией и варианты ЕГЭ.

В данной работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений и неравенств, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ. А также может послужить методическим пособием для подготовки школьников к сдаче ЕГЭ.

Анализ школьных учебников

В методической литературе принято все методы, на которых основана школьная линия уравнений и неравенств с 7 по 11 классы, делить на три группы:

üметод разложения на множители;

üметод введения новых переменных;

Рассмотрим третий метод, а именно, использование графиков функций и различных свойств функций.

К применению функционально-графического метода школьников необходимо приучать с самого начала изучения темы «Уравнения».

Решение некоторых задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности и т. п. входящих в них функций.

Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что данная тема рассматривается только в учебниках математики нового поколения [2], [3], [5], [6] Построение курса в этих учебниках осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. В остальных учебниках функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен. Использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. В новых учебниках содержится также достаточное количество заданий этого типа. В учебнике [2] содержатся задания повышенного уровня. Приведена наиболее полная система заданий, систематизированная по каждому свойству функции.

«Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеоб-разовательных учреждений[5], [6]

, «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) [3]

и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений[2]

и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений[4]

и др. «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеобразовательных учреждений[1]

Глава 8 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)

Глава 6 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)

Глава II «Уравнения, неравенства, системы»

Нет отдельно выделенной темы. Но в теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» формулируется теорема о корне, которая используется в дальнейшем изучении

Нет отдельно выделенной темы

§ §56 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)

§ §27 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)

§ Уравнения (неравенства)вида ;

§ §12*Нестадартные методы решения уравнений и неравенств (использование областей существования функций, неотрицательности функций, ограниченности, использование свойств sin и cos, использование производной)

Свойство монотонности функции, четности-нечетности (при выводе формул корней тригонометрических уравнений)

Упоминается свойство монотонности при разборе примера в теме «Показательная функция»

Примеры рассматриваемых уравнений и неравенств

(;

);

Решить уравнение.

Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет уравнение?

Решить уравнение

Анализ ЕГЭ (текстов и результатов)

Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим.

Анализ текстов ЕГЭ показал, что задания, при решении которых используются свойства функций, встречаются каждый год.

В 2003 году в заданиях А9 и С2 при решении можно применить свойства функций:

· А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

· С2. Найдите все значения p, при которых уравнение не имеет корней.

· В 2004 году – задание В2. Сколько корней имеет уравнение .

· В 2005 году задание С2 (решите уравнение ) выполнили 37% учащихся.

В 2007 при выполнении задания «Решите уравнение» в части В выпускники при решении уравнения рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке , на котором следует искать корни уравнения, выражение принимает только положительные значения.

Даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя «шаблонные» методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.

Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т. п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.

Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Для реализации поставленной цели могут служить элективные курсы.

Действительно, учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена (ЕГЭ) задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционально-графического метода, вызывают у учащихся затруднения.

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

1. Общая теоретическая часть

Пусть X и Y — два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной, или универсальной подстановки.

Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным. В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.

1.1. Графический метод.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек

<x, f(x) | x D (f)> координатной плоскости.

Заметим, что, так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, являются графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде

f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Заметим, что, так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, являются графиком некоторой функции.

Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1, у1), то решением системы будет х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x).

Данное уравнение рационально решать графическим методом.

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т. к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.

Ответ: х=

1.2. Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах=А g(x)мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

(2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a

cos=1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

=> x=π, при k=0

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

1.3. Метод функциональной подстановки

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем. (часть 1).Скачать

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Тригонометрическое уравнение вида

где R – рациональная функция, k,n,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sinx, cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

sinx= cosx=

tgx= ctgx=

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.

sinx +√2-sin²x + sinx√2-sin²x = 3

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = + . Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем u² + v² =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

+4(1-cosx)=0

Данное уравнении рационально решать методом функциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ, а sinx+tgx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

5 —

1+t² 1-t² 1-t²

+4 1- =0

+

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

-5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

откуда t = ± . Следовательно, x = ±2arctg +2πk, kÎZ

Ответ: x = ±2arctg +2πk, kÎZ

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kÎZ

2. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 3-х0 и х-3>0, то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть, что уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

Пример 2. Решить уравнение

(1)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям то есть ОДЗ есть Подставляя эти значения х в уравнение (1), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

(2)

Решение. ОДЗ неравенства (2) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям то есть ОДЗ состоит из двух чисел и . Подставляя в неравенство (2) , получаем, что его левая часть равна 0, правая равна , то есть х=1 есть решение неравенства (2). Подставляя в неравенство (2), получаем, что не является его решением, поскольку левая часть неравенства (2) равна 0, а правая часть равна .

Пример 4. Решить неравенство

(3)

Решение. ОДЗ неравенства (3) есть все х, удовлетворяющие условию 0 A и g(x)

Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций f(x) и g(x) на множестве М.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Для любого действительного числа х имеем , Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше двух, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

(9)

Решение. Очевидно, что х=0, х=1, х=-1 являются решениями уравнения (9). Для нахождения других решений уравнения (9) в силу нечетности функции достаточно найти его решения в области х>0, , поскольку если является его решением, то и (-) также является его решением.

Разобьем множество х>0, , на два промежутка (0;1) и (1;+∞).

Перепишем уравнение (9) в виде . На промежутке (0;1) функция принимает только отрицательные значения, поскольку , а функция только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение (9) не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1;+∞). Для каждого из таких значений х функция принимает положительные значения, функция принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1;2] функция неположительна. Следовательно, на этом промежутке уравнение (9) не имеет решений.

Если же х>2 , то , а это означает, что и на промежутке (2;+∞) уравнение (9) также не имеет решений.

Итак, х=0,х=1 и х=-1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

(10)

Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все действительные х, кроме х=-1. Разобьем ОДЗ на три множества: -∞ 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f=x и . Значит, в области х>0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х=1 является решением уравнения (18), следовательно, это его единственное решение.

Пример 2. Решить неравенство

. (19)

Решение. Каждая из функций , , непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х=0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х>0 имеем , при х 0 очевидно, что уравнение (24) имеет единственный корень х=0. Пусть с. Перепишем данное уравнение в виде

. (25)

Функция для каждого принимает положительные значения и является непрерывной и строго возрастающей на промежутке и непрерывной и строго убывающей на промежутке . Если , то функция непрерывна и строго убывает на всей оси и принимает все положительные значения для и отрицательные значения для . Поэтому уравнение (25) имеет единственный корень на промежутке . Если , то функция непрерывна и строго возрастает на всей оси и принимает все положительные значения для и отрицательные значения для . Поэтому уравнение (25) имеет единственный корень на промежутке .

Ответ: единственный корень.

2. 4. Использование графиков функций.

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 1. Решить неравенство

. (26)

Решение. Область допустимых значений неравенства (26) есть все х из промежутка [-1;1]. Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 7. Из рисунка следует, что для всех х из ОДЗ неравенство (26) справедливо.

Докажем это. Для каждого имеем , а для каждого такого х имеем, что . Значит, для каждого имеем . Следовательно, решениями неравенства (26) будут все х из промежутка [-1;1].

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение

. (27)

Решение. ОДЗ уравнения (27) есть все х из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 8. Проведем прямую у=2. Из рисунка следует, что график функции f(x) лежит не ниже этой прямой, а график функции g(x) не выше. При этом эти графики касаются прямой у=2 в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом f(x)=2 только для х=-1, а g(x)=2 только для х=0. Это означает, что уравнение (27) не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить уравнение

. (28)

Решение. Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 9. Легко проверяется, что точка (-1; -2) является точкой пересечения графиков функций f(x) и g(x), то есть х=-1 есть решение уравнения (28). Проведем прямую у=х-1. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций у=f(x) и у=g(x). Это наблюдение и помогает доказать, что других решений уравнение (28) не имеет.

Для этого докажем, что х из промежутка (-1; +∞) справедливы неравенства и , а для х из промежутка (-∞; -1) справедливы неравенства и . Очевидно, что неравенство справедливо для х>-1, а неравенство для х -1.

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и уравнение (28) имеет единственный корень х=-1.

Пример 4. Решить неравенство

. (29)

Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условиям х>-2, , , то есть ОДЗ состоит из трех промежутков , , . Рассмотрим неравенство (29) на каждом из этих промежутков. Отметим, что в области -2 0 оно равносильно неравенству

. (31)

Эскизы графиков функций и приведены на рисунке 10. Из рисунка видно, что g(x)>f(x) на промежутке и f(x)>g(x) на каждом из промежутков и .

Поэтому неравенство (31) не имеет решений, а неравенство (30) будет иметь решениями все х из промежутка .

А) Пусть . Неравенство (29) равносильно на этом промежутке неравенству (30). Легко видеть, что для каждого х из этого интервала справедливы неравенства

,

.

Следовательно, неравенство (30), а вместе с ним и исходное неравенство (29) не имеют решений на интервале .

Б) Пусть . Тогда неравенство (29) также равносильно неравенству (30). Для каждого х из этого интервала

,

.

Следовательно, любое такое х является решением неравенства (30), а поэтому и исходного неравенства (29).

В) Пусть х>0. На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству (31). Очевидно, что для любого х из этого множества справедливы неравенства

,

.

1) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где , то есть неравенство (31) не имеет решений на множестве ;

2) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где . Учитывая, что в рассматриваемом случае х>0, получаем, что неравенство (31) не имеет решений на множестве . Остается найти решения неравенства (31), принадлежащие интервалу 1 0 (F(x) 0 (F(x) 0 (F(x) 0 (или x 0 (F(x) 0 (или x 0).

Если функция F(x) – периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x) х

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Видео:решение УРАВНЕНИЙ решение НЕРАВЕНСТВ 10 11 классСкачать

Видео:Нестандартные способы решения уравнений, неравенств, систем в 10-11 классахСкачать

log 0, тогда уравнение примет вид t. График параболы у= t при условии t>0 пересекается семейством горизонтальных прямых у=а ровно в двух точках только в области, расположенной под осью t. Искомые значения параметра а=-3, а=-2, а=-1.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Задания для самостоятельного выполнения:

Видео:Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать

1.

Видео:13 Функционально графический способ решенияСкачать

2.

Видео:✓ Метод интервалов. Рациональные уравнения и неравенства | Борис ТрушинСкачать

3.

Видео:Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

4.

5.

6.

7.

8.

1.

Область допустимых значений уравнения: R

f(x)=

g(x)=

Область значений f(x) = [0; +∞), область значений g(x) = [-1;0].

Данное уравнение равносильно системе:

2.

Область допустимых значений уравнения: R

f(x)=

g(x)=

Область значений f(x) = [0; +∞), область значений g(x) = [-1;0].

Данное уравнение равносильно системе:

=0 при х=,

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Задания для самостоятельного выполнения:

1.

2.

3.

4.

1. Единый государственный экзамен: математика: контрольные измерительные материалы: .- Москва: Просвещение; Санкт-Петербург: Просвещение, 20с.

2. , , «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения». Москва: Дрофа, с.

3. Стойлова . Москва – 2002г.

4. Федеральный банк экзаменационных материалов. ЕГЭ 2008 Математика. Сборник экзаменационных заданий. , , Сергеев : Эксмо, с.

5. Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ 2008 Математика: , , и другие – Москва: АСТ: Астрель, с.

6. , Прокофьев решения неравенств с одной переменной.

7. Алгебра учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. , Миндюк редакцией . – 11-е издание – Москва: Просвещение, 2002.-223с.

8. Алгебра учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. , Миндюк редакцией . – 9-е издание – Москва: Просвещение, 2001.-240с.

9. Алгебра учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. , Миндюк редакцией . – 4-е издание – Москва: Просвещение, 1997.-272с.

10. Алгебра и начала анализа 10-11 классы. Задачник для общеобразовательных учреждений под редакцией . – 5-е издание-Москва: Мнемозина, 2004. – 315с.

11. Издательский дом «Первое сентября» Математика. Научно-методическая газета №10-2006.

12. Издательский дом «Первое сентября» Математика. Научно-методическая газета №8-2007.

13. Издательский дом «Первое сентября» Математика. Научно-методическая газета №16 – 2007.

15. http://mmmf. *****/zaoch/math/ur_i_ner. pdf

Область применения свойств функции при решении неравенств очень широка. Наличие свойств (ограниченность, монотонность и т. д.) функций, входящих в неравенства позволяет применить нестандартные методы решения к стандартным по формулировке задачам – неравенствам. Пример, связанный с композицией функций.

Пример (использование области определения функции)

Предварительный анализ области допустимых значений неизвестной неравенства иногда позволяет получить решения без преобразований неравенства.

📺 Видео

Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать