Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице для синуса (2 видео)

Содержание

Узнать ещё
Формулы тригонометрических уравнений
21 комментарий на «Формулы тригонометрических уравнений»
Тригонометрические формулы. Их вывод
📹 Видео

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

Корни уравненияcosx=a.

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арксинусов

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арккосинусов

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арктангенсов

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арккотангенсов

21 комментарий на «Формулы тригонометрических уравнений»

Отличный сайт, спасибо, помог.

Спасибо за отличную оценку!
Я рада, что сайт Вам помог.

Пожалуйста!) Успехов Вам в учебе!

Сайт действительно хороший =)
Интересно, просто, ясно.
Спасибо Вам, Светлана Иванова!

Ариша, спасибо за теплый отзыв!

Опечатка в таблице арккотангенсов )
А так все отлично, хорошая статья

Опечатку исправила. Спасибо!

Не силен в этих науках и школу прогуливал всегда!Жалею теперь об этом!Но вот беда ума не могу приложить что может значить arccos0,932 что это?с чем его едят ?И как его посчитать!Смотрю на выше написанное и не пойму как мне это применить!Помгите убогому!

Антон, разобраться в математике можно в любом возрасте, было бы желание. Но придется потрудиться (а где без этого?).
arccos 0,932 — это такое число из промежутка [0;П], косинус которого равен 0,932.
Можно открыть таблицу Брадиса и найти угол, косинус которого равен этому числу: [0,932 approx cos ]Далее, если требуется ответ представить в радианах, градусы переводим в радианы. [pi = , Rightarrow = frac<>,][ = 21 cdot frac<> = frac<><>.]Отсюда [arccos 0,932 approx frac<><>.]
Если же arccos 0,932 появился в ходе решения тригонометрического уравнения — оставляйте его в таком виде.
Например:[cos x = 0,932][x = pm arccos 0,932 + 2pi n,n in Z.]Все, дальше ничего считать не надо (запись в таком виде — точное решение, а при нахождении арккосинуса ответ станет не точным, а приближенным. Поэтому его и не принято упрощать).

Светлана спасибо вам большое за помощь)Есть еще один вопросик я весь google перекопал. Какова единица измерения числа которое получается в результате вычисления cos или sin угла например sin47.376 градусов =0,735??какая единица измерения Arccos0,735=42.692. что это за величина и какая ее единица измерения?Голова дымит, а надо знать это,а то на работу не возьмут!

Косинус угла и синус угла — это просто число (в пределах от -1 до 1). Неважно, задан угол в градусах или в радианах.
Теперь — об арксинусах и арккосинусах. Если использовать таблицу Брадиса, arccos0,735 ищем как угол, косинус которого равен 0,735. [cos approx 0,735]То есть Ваши 42.692, насколько я понимаю, градусы. Но в градусах значения арккосинуса и арксинуса не оставляют. Нужно перевести в радианы. [ = 42 cdot frac<> = frac<><>.]7П/30 радиан, радианы не пишут. Радианная мера позволяет от градусной меры угла перейти к числам, чтобы потом графики тригонометрических функций в декартовой системе координат строить можно было, например.

Спасибо вы целиком и полностью удовлетворили мой интерес!

Спасибо за шпору =), пошел сдавать

Ещё о таблицах. Точнее их отсутствии…
на калькуляторе мы получаем cos, затем arccos. Верно ли я понимаю, что значения arccos вычисляются в радианной мере, и после этого следует обязательно перевести в градусную меру? (Таблицы Брадиса, также как и любые другие, идут уже (!) с перерасчетом радианов в градусы. ) …но таблиц нет, к примеру. Некоторые on-line–научные калькуляторы имеют опцию переключения с градусов в радианы и/или наоборот; при этом по умолчанию может стоять опция (галочка) как радианной меры, так и градусной.
Вопрос: в каких случаях надобно переходить с радианов в градусы?
(функции MS Office Excel, например, предусматривают именно трёхстадийный процесс вычисления: cos, arccos, затем перевод радианов в градусы).
И ещё вопросик: Таблицы содержат значения синусов/косинусов только для острых углов в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике?
Пример, имеется равносторонний треугольник (все стороны и углы равны), нам надо найти угол (мы его не знаем). Сторона (все три стороны равны) = 60 см. Т.е. поделив все [равные] стороны получим
sin = cos = tg = ctg = sec = cosec = 1
но по этому значению угол [каковой реально 60°] найти в таблицах невозможно. Спасибо!

Nick, прошу прощения, что затянула с ответом. Меня мучает совесть(
С калькулятором я практически не работаю, предпочитаю считать либо устно, либо письменно. Если нужно, пользуюсь таблицами Брадиса. Над нюансами вычислений с калькулятором не задумывалась.
Значения синуса и косинуса зависят только от угла, но не от вида треугольника. Мы вводим определение синуса в прямоугольном треугольнике как отношение противолежащего катета к гипотенузе, потом расширяем определение, называя синусом угла альфа ординату точки единичной окружности, полученной из точки (1;0) поворотом на угол альфа.
Синус угла в произвольном треугольнике можно найти посредством через теорему синусов, через площадь треугольника (из формулы S=1/2 ab sin α), или провести высоту и рассмотреть прямоугольный треугольник.
В таблице Брадиса значения тригонометрических функций даны только для острых углов. Для тупых углов значения находят с помошью формул приведения.

Объясните мне, пожалуйста, если п принадлежит Z, где п — , Z — .я не могу понять когда п четное, п — нечетное и что такое Z?

Тамара, семейство решений для общего случая уравнений sinx=a

можно разбить на два семейства решений:
1) при n=2k (то есть для чётных)

2) при n=2m+1 (то есть для нечётных)

Z — множество целых чисел, то есть 0; ±1; ±2; ±3; …

Страница интересная,но я не нашла частные случаи для тангенса и котангенса.Помогите пожалуйста(очень нужно

Евгения, формул частных случаем для тангенса и котангенса нет. Иногда частными случаями называют уравнения вида tgx=1; tgx=-1; ctgx=1; ctgx=-1, но общая формула верна и для каждого из этих случаев.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Тригонометрические формулы. Их вывод

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

(blacktriangleright) Основные тождества: [begin hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1 \ &(sinalphane 0, cosalphane 0)\[0.5ex] hline &\ mathrm, alpha=dfrac &mathrm, alpha =dfrac \&\ 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 & 1+mathrm^2, alpha=dfrac1\&\ (cosalphane 0)& (sinalphane 0) \ hline end]

(blacktriangleright) Формулы сложения углов: [begin hline &\ sin=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot cosalpha & cos=cosalphacdot cosbeta mp sinalphacdot sinbeta\ &\ hline &\ mathrm, (alphapm beta)=dfrac<mathrm, alphapm mathrm, beta><1 mp mathrm, alphacdot mathrm, beta> & mathrm, (alphapmbeta)=-dfrac<1mp mathrm, alphacdot mathrm, beta><mathrm, alphapm mathrm, beta>\&\ cosalphacosbetane 0&sinalphasinbetane 0\ hline end]

(blacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [begin hline sin =2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos=cos^2alpha -sin^2alpha\ sin alphacos alpha =dfrac12sin && & cos=2cos^2alpha -1\ & & & cos=1-2sin^2 alpha\ hline &&&\ mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac<mathrm^2, alpha-1><2mathrm, alpha>\&&&\ cosalphane 0, cos2alphane 0 &&& sinalphane 0, sin2alphane 0\ hline &&&\ sin =3sin alpha -4sin^3alpha && & cos=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\ hline end]

(blacktriangleright) Формулы понижения степени: [begin hline &&&\ sin^2alpha=dfrac<1-cos>2 &&& cos^2alpha=dfrac<1+cos>2\&&&\ hline end]

(blacktriangleright) Формулы произведения функций: [begin hline \ sinalphasinbeta=dfrac12bigg(cos-cosbigg)\\ cosalphacosbeta=dfrac12bigg(cos+cosbigg)\\ sinalphacosbeta=dfrac12bigg(sin+sinbigg)\\ hline end]

(blacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [begin hline &\ sin=dfrac<2mathrm, alpha><1+mathrm^2, alpha> & cos=dfrac<1-mathrm^2, alpha><1+mathrm^2, alpha>\&\ cosalphane 0 & sinalphane 0\ hline end]

(blacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [begin hline text\ hline \ sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac4right)>\\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac6right)>\\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac3right)>\\ hline text\ hline\ asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin, cosphi=dfrac a<sqrt >, sinphi=dfrac b<sqrt >\\ hline end]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(blacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (beta) . Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(cosbeta;sinbeta)) .