Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Решение кубических уравнений онлайн

Кубическое уравнение— это уравнение вида:

Данный калькулятор предназначен для решения кубических уравнений. В его основе лежит формула Кардано, однако различные частные случаи кубических уравнений (когда один или несколько коэффициентов равны нулю или между коэффициентами присуствует некоторая зависимость и т.д.) решаются более простым путем.

В калькулятор можно вводить как числа и дроби, так и параметры. Коэффициент при x 3 не может быть равен нулю. Ввод уравнения в калькулятор осуществляется в естественном формате. Для ввода десятичных цифр используйте точку в качестве разделителя целой и дробной частей, например 1.45.

Видео:ФОРМУЛА КАРДАНО-ТАРТАЛЬЯ + РЕКЛАМА МФТИ!!!Скачать

ФОРМУЛА КАРДАНО-ТАРТАЛЬЯ + РЕКЛАМА МФТИ!!!

Решение кубических уравнений онлайн

Онлайн калькулятор для подробного решения кубических уравнений

Решение кубического уравнения (уравнения третьего порядка) на нашем сайте производится по методу Виета-Кардано. С помощью ряда формул находятся кубические корни x1, x2 и x3. При вычислении результатов корни могут получиться вещественными или комплексными в зависимости от значения S.

Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где
a, b ,c, d – некоторые числа, причём a не равно нулю (a ≠ 0).

x 3 + x 2 + x + = 0 Решить

Как решить кубическое уравнение?


Последовательность решения кубического уравнения вида x 3 +a·x 2 +b·x+c=0:

(воспользуемся тригонометрической формулой Виета)

1. Для начала необходимо вычислить значения Q, R, S по формулам:
Q = (a 2 — 3 · b) / 9
R = (2 · a 3 — 9 · a · b + 27 · c) / 54
S = Q 3 — R 2

Если S > 0, то уравнение будет иметь три действительных корня.

2. Вычисляем параметр φ:
φ = (1 / 3) · arccos (R / √ Q 3 )

3. Находим корни кубического уравнения по формулам:
x1 = -2 · √ Q · cos (φ) — a / 3,
x2 = -2 · √ Q · cos (φ + 2 · π / 3) — a / 3,
x3 = -2 · √ Q · cos (φ — 2 · π / 3) — a / 3,

4. Если получится S 0 уравнение будет иметь один действительный и два комплексных корня, а при Q of your page —>

Видео:Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать

Математика | Кубические уравнения по методу Сталлоне

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Формула кардано для кубического уравнения онлайнСхема метода Кардано
Формула кардано для кубического уравнения онлайнПриведение кубических уравнений к трехчленному виду
Формула кардано для кубического уравнения онлайнСведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Формула кардано для кубического уравнения онлайнФормула Кардано
Формула кардано для кубического уравнения онлайнПример решения кубического уравнения

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Видео:✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис Трушин

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

a0x 3 + a1x 2 +
+ a2x + a3= 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа, Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примере

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x 3 + ax 2 + bx + c = 0,(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн(3)

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Если ввести обозначения

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

то уравнение (4) примет вид

y 3 + py + q= 0,(5)

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Видео:Формула Кардано для решения кубических уравненийСкачать

Формула Кардано для решения кубических уравнений

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

Формула кардано для кубического уравнения онлайн(6)

где t – новая переменная.

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

то выполнено равенство:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

Формула кардано для кубического уравнения онлайн(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

Формула кардано для кубического уравнения онлайн(8)

Видео:Решение уравнений третьей степени (формула Кардано)Скачать

Решение уравнений третьей степени (формула Кардано)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

В развернутой форме эти решения записываются так:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

С другой стороны,

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Видео:Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.Скачать

Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

x 3 – 6x 2 – 6x – 2 = 0.(13)

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2.(14)

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y 3 – 18y – 30 = 0.(15)

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

Формула кардано для кубического уравнения онлайн(16)

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

то уравнение (15) примет вид

Формула кардано для кубического уравнения онлайн(17)

Далее из (17) получаем:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Отсюда по формуле (16) получаем:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

или использовали формулу

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Формула кардано для кубического уравнения онлайн

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

🌟 Видео

Формула Кардано. Ч. 1.Скачать

Формула Кардано. Ч. 1.

Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0Скачать

Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0

Решение кубического уравнения общего вида, используя комплексные числа, по формуле Кардано!Скачать

Решение кубического уравнения общего вида, используя комплексные числа, по формуле Кардано!

Формула Кардано для решения кубического уравнения (Открытая часть сз кафедры математики)Скачать

Формула Кардано для решения кубического уравнения (Открытая часть сз кафедры математики)

Формула Кардано - Тартальи// Почему выглядит именно так?Скачать

Формула Кардано - Тартальи// Почему выглядит именно так?

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Самый простой способ решить кубическое уравнениеСкачать

Самый простой способ решить кубическое уравнение

Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]Скачать

Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]

Комплексные числа: коротко и понятно – Алексей Савватеев | Лекции по математике | НаучпопСкачать

Комплексные числа: коротко и понятно – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп

Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.Скачать

Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.

Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.Скачать

Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.

Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | НаучпопСкачать

Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | Научпоп

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ
Поделиться или сохранить к себе: