Формула даламбера решения задачи коши для волнового уравнения (7 видео)

Лекция 6. Метод Даламбера

В этой лекции решение задачи Коши для волнового уравнения

Шаг 1. Заменим переменные (x, t) новыми переменными (ξ,η), в которых волновое уравнение примет другой вид: Такая замена выполняется по формулам

После подстановки этих производных в волновое уравнение, получим:

что и требовалось доказать.

Шаг 2. Преобразованное уравнение легко решается двумя последовательными интегрированиями (сначала по переменной η , а затем по ξ):

где C₁(η) – произвольная функция от η. Так как C(ξ) – произвольная функция, то и – также произвольная функция.

Окончательно, общее решение U(ξ,η) имеет вид

Шаг 3. Для нахождения общего решения первоначального уравнения подставим в (25) вместо ξ и η выражения (24):

Шаг 4. Определим функции C₁ и C₂, используя начальные условия из (23). После подстановки первого условия получим

Найдем производную функции U в (26) по переменной t и подставим второе условие:

В результате будем иметь систему уравнений

Если проинтегрировать второе уравнение системы (27) по x в пределах от x_o до х , то получим следующую систему:

При сложении этих уравнений получим

Если из первого уравнения системы вычесть второе уравнение, то будем иметь

Подставим теперь полученные функции в общее решение (26):

Поменяем местами пределы интегрирования во втором интеграле, стоящем в скобках в (28). В результате получим решение исходной задачи Коши

Формула (29) называется формулой Даламбера.

Далее мы исследуем решение, определяемое по формуле Даламбера.

Содержание

Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера
Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера
Основные типы уравнений математической физики
Формулировка краевой задачи
Используя формулу Даламбера, сразу получаем
💥 Видео

Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера

При исследовании формулы Даламбера будем исходить из физического смысла волнового уравнения. Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны

и начальные условия

Такая задача Коши с помощью замены независимой переменной сводится к задаче (23):

Решение преобразованной задачи имеет вид (см. формулу Даламбера (29):

Если теперь в эту формулу вместо τ подставить at, то получится решение исходной задачи

Прежде, чем перейти к физической интерпретации этой формулы, сделаем следующее замечание.

Замечание. Рассмотрим в отдельности функции C₁(x-at) и C₂(x-at), входящие в общее решение (26) (коэффициент а в них появился потому, что нас сейчас интересует более общее уравнение (30)). Начнем с функции C₁(x-at) и построим графики этой функции при возрастающих значениях t: t=t_o, t=t₁, t=t₂ и т.д. (см. рис. 8).

Если по очереди проецировать эти картинки на экран (как в мультфильмах), то они «побегут» вправо. Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент а является скоростью распространения волны. В самом деле, предположим, что параллельно оси х движется наблюдатель со скоростью а. Пусть в некоторый момент t_o он находился в точке x_o. Тогда за промежуток наблюдатель сместится вправо на величину и окажется в точке Если в точке x_o наблюдатель видел отклонение струны на величину то в момент t величина отклонения – будет точно такой же! То есть наблюдатель будет видеть форму струны не изменяющейся.

Вторая функция C₂(x-at) тоже представляет собой волну, но только она будет распространяться со скоростью а влево. Часто функции C₁(x-at) и C₂(x-at) называют, соответственно, прямой и обратной волной. Таким образом, общее решение U(x,t) (формула (26)) волнового уравнения является суперпозицией прямой и обратной волны.

Теперь дадим интерпретацию формулы Даламбера для двух частных случаев.

СЛУЧАЙ 1. Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля, а начальная скорость равна нулю. Это означает, что начальные условия имеют вид

При таких начальных условиях получается решение задачи Коши, которое называется волной отклонения. Уравнение волны отклонения определяется формулой Даламбера

то есть решение U в некоторой точке x_o в момент времени t_o зависит от значений начальной функции φ в двух точках на оси х: в точке (x_o — at_o) и в точке (x_o + at_o) (см. рис. 9).

Значение U равно среднему арифметическому значений начальной функции φ в точках (x_o — at_o) и (x_o + at_o). На рис. 9 изображена плоскость xOt, которая называется фазовой плоскостью. На оси х указаны точки (x_o — at_o, 0) и (x_o + at_o, 0), в которых начальные отклонения струны определяют величину отклонения струны в точке x_o в момент времени t_o. Эти точки являются точками пересечения прямых x — at = x_o — at_o и x + at = x_o + at_o с осью х. Указанные прямые называются характеристиками волнового уравнения. Треугольник с вершиной в точке (х_o, t_o) и основанием, которое получается при пересечении характеристик с осью х (см. рис. 9), называется характеристическим треугольником.

Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, изобразим фазовую картину решения следующей задачи:

Замечание. На самом деле начальные отклонения струны не могут быть разрывными в точках х = -1 и х = 1, ведь струна не разрывается. Однако мы не слишком сильно погрешим против истинной картины распространения колебаний, если будем считать их кусочно постоянными. Дело в том, что, во-первых, рассматриваются очень малые колебания струны, и, во-вторых, малые изменения начальных значений незначительно влияют на решение задачи.

На рисунке 10 изображена фазовая плоскость x0t. Решение U(x,t) задачи отлично от нуля только в заштрихованных областях, причем начальное отклонение распространяется с одинаковой скоростью в двух противоположных направлениях – возникает прямая и обратная волны. Границы этих областей – это характеристики волнового уравнения: x — at = -1, x — at = 1, x + at = -1, x + at = 1.

Если рассмотреть процесс колебания некоторой фиксированной точки струны x = x_o, то нетрудно заметить, что она колеблется только в конечный промежуток времени: от момента до момента , то есть В остальное время точка x_o находится в покое. Говорят, что в момент t₁ через точку x = x_o проходит передний фронт волны, а в момент t₂ — задний фронт волны. Вообще, фронтом волны называется граница между возмущенной (колеблющейся) и невозмущенной областями среды (точками струны). Для прямой волны уравнение переднего фронта x — at = 1, а заднего фронта x — at = -1. Для обратной волны, соответственно, x + at = -1 — уравнение переднего фронта, а x + at = 1 — заднего фронта.

СЛУЧАЙ 2. Пусть начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость отлична от нуля. Это означает, что начальные условия имеют вид

В этом случае решение задачи Коши называют волной импульса. Оно имеет вид (см. формулу Даламбера)

то есть решение U в некоторой точке x_o в момент времени t_o зависит от начальных скоростей ψ во всех точках отрезка [x_o — at_o , x_o + at_o] (см. рис 11). Значение U равно (интегральному) среднему значению начальной скорости на отрезке [x_o — at_o , x_o + at_o], умноженному на промежуток времени t.

На рис. 11 изображена фазовая плоскость x0t. Точки (x_o — at_o, 0) и (x_o + at_o, 0) являются точками пересечения характеристик x — at = x_o — at_o и x + at = x_o + at_o с осью х. В качестве примера приведем фазовую картину решения следующей задачи:

Рис. 12 описывает процесс колебания струны, которой сообщается начальная единичная скорость на отрезке -1

При вычислении интеграла всегда удобно представить себе характеристический треугольник с вершиной в точке, лежащей в соответствующей области (см. рис 12). Тогда значение U(x,t) будет определяться значениями начальной функции ψ(x) в основании характеристического треугольника.

2. В области 2 функция

3. В области 3 функция

4. В области 4 функция

5. В области 6 функция

Это решение в различные моменты времени можно изобразить на плоскости x0U (см. рис 13). Здесь для простоты положим a=1.

Графики функции U(x,t), изображенные на рис. 13, задают форму струны в различные моменты времени.

Видео:Задача Коши для волнового уравнения (Часть 1)Скачать

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

2 Итак, оба способа приводят нас к необходимости одной и той же замены.) с точностью до числового множителя). Шаг. Приведение к каноническому виду Пусть vξ, η) ux, t). Замена.) даёт нам следующие соотношения для производных: u x v ξ + v η, u t a v ξ v η ), u xx v ξξ + v ξη + v ηη, u tt a v ξξ v ξη + v ηη ). Подставив их в уравнение.), получаем: или, после сокращения, u tt a u xx a v ξξ v ξη + v ηη ) a v ξξ + v ξη + v ηη ), v ξη..3) Шаг 3. Решение уравнения Уравнение.3) решить легко. В самом деле, раз производная по η от функции двух переменных v v равна нулю, то не зависит от η, то есть: ξ ξ v ξ hξ). Проинтегрируем последнее равенство по ξ и учтём, что вместо константы интегрирования надо поставить произвольную функцию от η, так как дифференцирование по ξ любую f η) обратит в нуль. vξ, η) hξ)dξ + f η) f ξ) + f η). > <f ξ) Переходя к исходным переменным, получаем: ux, t) f x + at) + f x at),.4) где f, произвольные дважды дифференцируемые функции. Геометрический смысл равенства.4). Пусть f. Тогда в момент времени t профиль струны задаётся равенством в момент времени t равенством ux, ) f x), ux, ) f x + a), то есть график f к моменту t сдвинулся влево на величину a, и так далее. Если же, наоборот, f. Тогда в момент времени t профиль струны задаётся равенством в момент времени t равенством ux, ) f x), ux, ) f x a), то есть график f к моменту t сдвинулся вправо на величину a, и так далее. Вывод: Решение уравнения колебаний.) представляет собой сумму двух волн, бегущих влево и вправо со скоростью a: ux, t) f x + at) + f > <x at). > <c Д.С. Ткаченко —

3 . Формула Даламбера УМФ семинар К 5 3 Рассмотрим задачу Коши на прямой для простейшего случая волнового уравнения: u tt a u xx fx, t), x, + ), t, + ); ux, ) ϕx), x, + ); u t x, ) ψx), x, + )..) Теорема.. Усл. Утв. Функции fx, t) C, + ) [, + )), ϕx), ψx) C, + ). Решение задачи Коши.) задаётся формулой Даламбера: ux, t) ϕx + at) + ϕx at) + a ψs)ds + a t τ) τ) fs, τ)dsdτ..) Доказательство. Полное доказательство мы приведём позже, в теме «Применение преобразования Фурье к решению уравнений математической физики», 85, 86. Кроме того, его можно получить элементарной подстановкой формулы Даламбера в равенства.). А здесь ограничимся случаем fx, t). Итак: мы убедились, что всякое решение уравнения u tt a u xx представляется в виде ux, t) f x + at) + f x at)..4) Подставим в это равенство начальное условие: < ux, ) f x) + f x) ϕx); u t x, ) a f x) f x)) ψx). f y) + f y) ϕy); f y) f y) a y ψs)ds + c. Найдя полусумму и полуразность этих равенств, получим: f y) ϕy) + y ψs)ds + c; a f x + at) ϕ) + ψs)ds + c; a f y) ϕy) a y ψs)ds c. откуда f x at) ϕ) a ψs)ds c. Заметим, что такой способ позволит убедиться лишь в том, что существует решение.), задаваемое формулой.). Но он не гарантирует, что нет других решений, задаваемых какими-то другими формулами. c Д.С. Ткаченко -3-

4 Наконец, подставим f, в формулу.4): ux, t) f )+f ) ϕx + at) + ϕx at) ϕx + at) + a + a ϕx at) ψs)ds+c+ a ψs)ds ψs)ds + c c > <ψs)ds ϕx + at) + ϕx at) + a ψs)ds c ψs)ds M Найти решение задачи Коши u tt a u xx βx, x, + ), t, + ); ux, ) e x, x, + ); u t x, ) γ, x, + ). 3.) Чтобы найти решение, нам достаточно применить формулу Даламбера. Вычислим сначала самый сложный входящий в неё интеграл: t a β 6a t τ) τ) fs, τ)dsdτ β a β a t s 3 3 t τ) τ) t τ) dτ β τ) 6a s dsdτ ) x 3 + 3x t τ) + 3xt τ) + t τ) 3 x + at τ)) 3 x at τ)) 3) dτ x 3 3x t τ) + 3xt τ) t τ) 3 ) ) dτ β 6a t 6x t τ) + t τ) 3) dτ [ τ t p, ] dτ dp β 6a t 6x p) + p 3) dp β 6a 6x p p p t + p4 4 p p t ) β 6x t + t 4). a c Д.С. Ткаченко -4-

5 Тогда, из формулы Даламбера получаем: ux, t) ϕx + at) + ϕx at) + a e + e e x e at + e +at + γ a + a ψs)ds + a γds + t ) x + at) x at) τ) τ) fs, τ)dsdτ β 6x t + t 4) a + β 6x t + t 4) a e x ch at + γt + β a 6x t + t 4). 4. I Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t, 4a колебания описываются задачей Коши: u tt a u xx, x, + ), t, + ); ux, ) ϕx), x, + ); u t x, ) ψx), x, + ),, 3,, a 4a a a, если её 4.) где функция ψx), а функция ϕx) имеет вид, приведённый на рисунке. Решение: По формуле Даламбера.) при f и ψx) получаем: ux, t) ϕx + at) + ϕx at) Отсюда можно сделать вывод, что функция ux, t) есть сумма двух волн одинакового профиля f ϕ, одна из которых бежит влево, а другая вправо. Тогда при t : при t 4a : c Д.С. Ткаченко -5-

6 при t a : при t 3 4a : при t a : при t a : 5. II Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t колебания описываются задачей Коши: u tt a u xx, x, + ), t, + ); ux, ) ϕx), x, + ); u t x, ) ψx), x, + ), где функция ϕx), а функция ψx) имеет вид, приведённый на рисунке. 3 4a a a a a, если её 5.) Решение: По формуле Даламбера.) при f и ϕx) получаем: ux, t) a ψs)ds Ψx + at) Ψx at), где Ψy) некоторая первообразная функции ψx), например, функция a Ψy) a y ψs)ds. В качестве нижнего предела мы взяли ), поскольку все изменения с функцией ψx) происходят только справа от этого числа.) c Д.С. Ткаченко -6-

7 Отсюда можно сделать вывод, что функция ux, t) есть разность двух волн одинакового профиля Ψ, одна из которых бежит влево, а другая вправо. Причём из волны, бегущей влево, вычитается волна, бегущая вправо. Найдём Ψy) для нашего случая: Ψy) y, когда y, ]; y+ ψs)ds, когда y [, ]; a График этой функции выглядит так: a a, когда y [, + ). Поэтому профиль струны будет принимать в различные моменты времени форму: при t : при t 4a : при t a : c Д.С. Ткаченко -7-

8 при t a : при t a : при t 3 a : Найти решение задачи: u xx u xy + 4e y, x, + ), y, + ); u, y) ϕy), y, + ); u x, y) ψy), y, + ). 6.) Прежде чем решать эту задачу, заметим, что если переименовать переменную x в t, а y в x, то получится обычная задача Коши для УЧП -го порядка. Шаг. Находим замену переменных Способ через уравнения характеристик) Дискриминант характеристической квадратичной формы в данном случае равен a : a a a ) >, гиперболический тип. Так как a, составим уравнения характеристик dy dx a ± a : [ dy, dx ±, и первые интегралы имеют вид: < y c, y x + c, y c, y + x c. c Д.С. Ткаченко -8-

10 Переходя к исходным переменным, получаем: ux, t) y + x) e y + f y) + f y + x), 6.4) где f, произвольные дважды дифференцируемые функции. Шаг 4. Использование начальных условий Подставляя общее решение 6.4) уравнения в начальные условия, получаем: < u, y) ϕy), u x, y) ψy), <Ψs) [ ] c c + Ψs) es + c. Подставляя найденную функцию f s) Ψs) es + c, в первое начальное условие, найдём f s): Осталось подставить f s) ϕs) Ψs) + es c se s ϕs) Ψs) + s)es c. f s) ϕs) Ψs) + s)es c и f s) Ψs) es + c в формулу общего решения 6.4). ux, t) y + x) e y + f y) + f y + x) y + x) e y + ϕy) Ψy) + y)ey c + Ψy + x) ey+x + c x + ) e y e y+x + ϕy) + y+x y ψy)dy ψy)dy x + ) e y e y+x + ϕy) + y+x ψy)dy. y Ответ: ux, t) x + ) e y e y+x + ϕy) + y+x y ψy)dy. c Д.С. Ткаченко —

11 Задание на самостоятельную работу: ) 349. Пользуясь формулой Даламбера, найти решение задачи Коши: u tt u xx αxt, x, + ), t, + ); ux, ) x, x, + ); u t x, ) sin x, x, + ). Ответ: ux, t) x + sin x sin t + α 6 xt3. ) 445. Доказать что в случае, когда fx, t) а) из нечётности ϕ x) ϕx) и ψ x) ψx) функций ϕ и ψ следует, что u, t) ; б) из чётности ϕ x) ϕx) и ψ x) ψx) функций ϕ и ψ следует, что u x, t). 3) 37. Найти общее решение уравнения: u xx 5u xy + 3u yy. Ответ: ux, t) f 3x + y) + f x + y), где f, произвольные дважды дифференцируемые функции. 4) III. Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t, если её колебания описываются задачей Коши: u tt a u xx, x, + ), t, + ); ux, ) ϕx), x, + ); u t x, ) ψx), x, + ). 9, 3, 5, 4a a 4a a a 6.5) где функция ψx), а функция ϕx) имеет вид, приведённый на рисунке. 5) IV. Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t, если её колебания описываются задачей Коши: u tt a u xx, x, + ), t, + ); ux, ) ϕx), x, + ); u t x, ) ψx), x, + ). 4, 4a a a a a 6.6) где функция ϕx), а функция ψx) имеет вид, приведённый на рисунке. 6) 446. Доказать что в случае, когда ϕx) ψx) а) из нечётности f x, t) fx, t) функции f по x следует, что u, t) ; c Д.С. Ткаченко —

12 б) из чётности f x, t) fx, t) функции f по x следует, что u x, t). 7) 37. Найти общее решение уравнения: u xx + 6u xy + 4u yy + u x + u y. Ответ: ux, t) f y x) + f x y)e x y, где f, произвольные дважды дифференцируемые функции. c Д.С. Ткаченко —

Видео:3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

Основные типы уравнений математической физики

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

и уравнение Лапласа

Уравнение колебаний струны.

Видео:4.1 Задача Коши для волнового уравнения IСкачать

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

, ,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Интегрируя последнее равенство, получим:

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Видео:Уравнения математической физики. Решение Даламбера одномерного волнового уравненияСкачать

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), . (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0