Физические и геометрические задачи на дифференциальные уравнения

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Надежда Шульга 5 лет назад Просмотров:

1 Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Я.С. Гриншпон ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Учебное пособие Томск Издательство Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники

2 УДК 57.9, 5.7 ББК.6.6я73 Г85 Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники А.А. Ельцов; канд. физ.-мат. наук, доц. каф. мат. анализа Томск. гос. ун-та Э.Н. Кривякова Г85 Гриншпон Я.С. Геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям: учеб. пособие / Я.С. Гриншпон. Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники,. 74 с. ISBN Приведены геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Все задачи снабжены подробными решениями. Может использоваться как дополнительное учебное пособие при изучении дифференциальных уравнений в курсах высшей математики и математического анализа для технических и экономических специальностей вузов. УДК 57.9, 5.7 ББК.6.6я73 Учебное издание Гриншпон Яков Самуилович ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Учебное пособие Корректор Л.И. Кирпиченко Компьютерная верстка Я.С. Гриншпона Подписано в печать. Формат 6 84/6. Усл. печ. л. 4,4. Заказ. Тираж экз. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 6345, г. Томск, пр. Ленина, 4. Тел. 8 (38) ISBN Гриншпон Я.С., Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники,

3 Предисловие Многие студенты технических специальностей, проходящие курс высшей математики на младших курсах, высказывают мнение, что «математика это сухая теория, не имеющая практического значения». Конечно же, впоследствии, постоянно сталкиваясь с математическим аппаратом на специальных предметах, они изменят свое мнение. Но для лучшего усвоения материала и усиления заинтересованности в процессе обучения важно объяснить практическую ценность математических знаний именно в период их получения, т.е. на первом и втором курсах. Данное пособие призвано хотя бы частично помочь в решении поставленной проблемы. В нем рассматриваются достаточно простые прикладные задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям. Отметим, что для решения всех предложенных задач не требуется никаких дополнительных знаний из области физики, геометрии или экономики, так как все необходимые сведения из этих областей приводятся в начале каждого параграфа. Однако так как данное пособие предназначено для использования в курсе высшей математики, то сведения из других наук не претендуют на полноту и общность и для более глубокого их изучения следует воспользоваться специализированной литературой по данным предметам. Пособие подготовлено с использованием работ [ ]. 3

4 Глава. Геометрические задачи.. Задачи на положение касательной Известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f( x) в точке x, равен значению производной f ( x) в точке x. Другими словами, если y = kx+ b уравнение касательной, то. Так как, кроме того, касательная проходит k = f ( x ) = y через точку графика ( x; y ), где y = f( x), то получим: y = y ( x x ) + y уравнение касательной. Если y и y, то, полагая y =, а затем x =, найдем точки пересечения касательной с осями координат: y x ; точка пересечения касательной y с осью абсцисс, ( ; y y x) точка пересечения касательной с осью ординат. Если же y =, то уравнение касательной приобретает вид y = y это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке (; ). А если y =, то y касательная задается уравнением x = x это прямая, параллельная оси ординат и пересекающая ось абсцисс в точке ( x;). Напомним также, что угловой коэффициент любой прямой, в частности касательной, равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. При этом для возрастающей функции угол наклона касательной является внутренним для прямоугольного треугольника, образованного касательной и ординатой, про- 4

5 ходящими через точку ( x; y ), и осью абсцисс, поэтому BC y = tg α= (рис. ). А для убывающей функции он является AB внешним, и поэтому BC y = tg(8 α ) = AB (рис. ). у у C C С помощью касательной определяется понятие угла между двумя кривыми. Если графики двух дифференцируемых функций y = f( x) и y = g( x) пересекаются в точке с абсциссой x, то углом между этими кривыми называют наименьший угол между их касательными. Для тангенса k k этого угла верна формула tg γ=, где k и k уг- + kk ловые коэффициенты касательных, т.е. k k = f ( x ) α A B х B Рис. Рис. α A х = g ( x ). В частности, кривые будут перпендикулярными (tgγ = ), если kk =, где k и k отличны от нуля и бесконечности, или если одна из этих касательных горизонтальна, а другая вертикальна, т.е. k =, k = или, наоборот, k =, k =. Кривая, которая в каждой своей точке перпендикулярна некоторой линии семейства y = f( x, a), где параметр a принимает любые действительные значения, называется ортогональной траекторией к данному семейству. 5 и

6 Задача. Записать уравнения кривых, для которых площадь любого треугольника, образованного касательной и ординатой, проведенными из некоторой точки кривой, и осью абсцисс, равна единице. Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку (; ). Решение. Из чертежа (рис. 3) видно, у что искомый треугольник возникает только тогда, когда касательная не параллельна осям координат, т.е. y C и y. Запишем координаты вершин треугольника: A x ;, y B ( x ; ) и ( y C x; y), и вычислим длины катетов: AB = A B х y Рис. 3 y и BC = y. Следовательно, площадь треугольника AB BC y S ABC = =. y В силу произвольности выбора точки ( x; y ) можем записать дифференциальное уравнение y y =. Это уравнение с разделяющимися переменными. Рассмотрим два случая. Если y >, то y = y. Разделяя переменные, получим dx =, x= c и y dy y y = c x, что удовлетворяет рассматриваемому случаю, так как dy y = >. Если же y 7 x= c+ и y y = x c, причем y = , частные решения. x x Задача. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, отличающуюся в два раза от абсциссы точки касания. Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку ( ; ). Решение. Рассмотрим особые случаи, когда y = и y =. В первом случае касательная либо параллельна оси абсцисс, либо совпадает с ней, что не удовлетворяет условию задачи. Во втором случае абсциссы точки пересечения и точки касания равны. Следовательно, они могут отличаться в два раза только в том случае, когда x =. Имеем, что прямая x = является решением задачи. Пусть теперь y и y. Абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна x. Считая y y 7

8 ( x; y ) произвольной точкой кривой, получим дифференциальные уравнения y y x = x или x x y =. y dy dx Преобразуем первое уравнение: y = y x, =, y x c c ln y = ln c ln x и y =. Так как производная y = x x не должна равняться нулю, то c (действительно, прямая y =, очевидно, не удовлетворяет условию задачи). dy dx Аналогично для второго уравнения: y = yx, =, y x ln y = ln c+ ln x и y = cx. Из условия y = cx следует, что c и начало координат не принадлежит искомым кривым, т.е. получаем семейство парабол с выколотой точкой (; ). Через точку ( ; ) проходят левые ветви параболы y = x и гиперболы y = (рис. 5). x у c Ответ: y = и y = cx, где x и x c, общее решение; x = особое х решение; y = x и y =, где, Рис. 5 x 9 Решение. В особом случае y = касательная либо не имеет точек пересечения с осью абсцисс, либо имеет бесконечно много точек пересечения, и задача не имеет смысла. Если же y =, то точка пересечения имеет координаты ( x;), а искомые расстояния равны y и x. Если потребовать равенства этих расстояний для любой точки кривой, т.е. y = x, или y =± x, то тогда y. Итак, особых решений нет. у Сделаем чертеж (рис. 6) и найдем ко- A A x ; y, ординаты точек: ( ) y B x ; и O(;). Из условия y AB = OB, верного для всех точек A( x ; y ), запишем уравнение y + y = x O B Рис. 6 y + y = x y, или y y y. Очевидными преобразованиями получаем однородное уравнение y =, которое заме- y y xy x y ной y = xu и y = u+ xu приводится к уравнению с разде- 3 x u u + u ляющимися переменными xu = u =. Заметим, что при сокращении на x мы не потеряли решение, x xu u так как выше было показано, что прямая x = не удовлетворяет условию задачи. х 9

10 dx u = 3 du Разделим переменные:. Проинтегрируем x u + u отдельно правую часть: u ( u ) u du + = du = uu ( + ) uu ( + ) = du u du ln u ln u ln c ln cu u = + + =. Значит, u + u + cu ln x = ln или x( u + ) =cu. Возвращаясь к перемен- u + y cy ной y, имеем x + =, или y + x = cy. x x Проверим условия неравенства производной нулю и бесконечности. Для этого продифференцируем общее решение yy + x = cy и выразим x y =. Видно, что c y y = при x =. Подставляя в общее решение, находим y = и y = c. А значит, точки (; ) и (; c) необходимо исключить из кривой. Далее, y = c c при y = и x =±, т.е. выполняется условие y =± x, и эти точки удовлетворяют условию задачи. Итак, решениями являются окружности y + x = cy с выколотыми точками (; ) и (; c). Через точку ( ; ) проходит левая половина окружности с центром в точке (; ) у единичного радиуса (рис. 7). Ответ: y + x = cy, где x, общее х решение; x = y y частное решение. Рис. 7

11 Задача 4. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с биссектрисой первого и третьего координатных углов имеет абсциссу, отличающуюся в два раза от абсциссы точки касания. Решение. В данной задаче особым будет являться случай y =. Действительно, в этом случае угловые коэффициенты касательной и биссектрисы первого и третьего координатных углов равны, а значит, эти прямые либо параллельны, либо совпадают. В случае же y = аналогично задаче имеем особое решение x =. Пусть теперь y и y. Координаты точки пересечения касательной y = y ( x x) + y с биссектрисой y yx y = x равны. Получаем дифференциальные уравнения = x или ( y yx ) = x. y y yx y y Преобразуем первое уравнение: y yx = x xy, или yx + y= x это линейное уравнение первого порядка. Соответствующее ему однородное уравнение yx + y= c имеет решение y =. Варьируя константу, получим x cx c c x + = x, и c = x c= x + c. Окончательно общее решение записывается в виде y = или y = x+. x x x + c c x x c Из условия y = следует, что c, т.е. прямая x y= x не является решением задачи. Аналогично для второго уравнения: y yx = x xy, yx y= x, y = cx решение однородного уравнения

12 + = yx y=. Решая методом вариации постоянной неодно- родное уравнение ( cx xc) x cx x, получим c =, c= + c и y = c x x cx + = +, где c. x x x c Ответ: y = x+ и y = x+ cx, где c, общее решение; x = особое x решение. Задача 5. Записать уравнения ортогональных траекторий к семейству эллипсов с центром в начале координат и осями, параллельными осям координат, причем одна из этих осей в два раза больше другой. Решение. В зависимости от того, какая из осей больше другой, уравнения эллипсов можно записать в виде x + 4y = R или 4x + y = R. Пусть ( x; y ) точка пересечения эллипса с ортогональной траекторией. Обратим внимание на то, что начало координат не принадлежит ни одному эллипсу из нашего семейства, а значит, x и y не могут одновременно равняться нулю. Продифференцировав в точке ( x; y ) уравнения эллипсов x + 8yy = или 8x + yy =, находим угловые x коэффициенты касательных к эллипсам k = y = или 4y 4x k = y =. Пусть теперь k это угловые коэффициенты ортогональных траекторий. y Рассмотрим особые случаи. Если k =, то x = и k =, а если k =, то y = и k =. Следовательно, прямые x = и y = с выколотой точкой (; ) представляют собой искомые ортогональные траектории.

13 Если же k и k, то для касательной к ортогональной траектории в любой точке этой траектории верно соотношение k =. Отсюда получаем дифференциальные уравнения y = или y =, решениями которых k 4y y x 4x 4 являются функции y = cx и y = c 4 x, где x. Заметим, что решение y = входит в полученные общие решения при c =. 4 Ответ: y = cx и y = c 4 x, где x, общее решение; x =, где y, особое решение. Задача 6. Записать уравнения кривых, образующих в каждой своей точке угол 45 с некоторой параболой из семейства y = ax. Решение. Пусть ( x; y) (;) точка пересечения искомой кривой с параболой y = ax. Тогда a = и y x y y k = y = ax = x =. Так как тангенс угла между x x кривыми равен единице, то, используя формулу k k y yy tg γ=, получаем уравнение ± y = +. + kk x x Уравнение y yy y = + является однородным. После замены y = ux и y = ux + u оно приобретет вид x x u ( ux + u) = + u( ux + u), или ux (u+ ) = u u. (u+ ) du dx Разделим переменные: =, и проинтегриру- u u+ x 3

14 u u,5 ем левую часть: + du = + du = u u+ u,5u+,5 u, 5,75 = du + du ( u,5) +, 4375 = ( u, 5) +, 4375 ln u,5u+,5,75 u,5 = + arctg + c =,4375,4375 ln u u+ 3 4u = + arctg + c. Следовательно, общее 7 7 c 3 4u решение имеет вид = u u+ exp arctg x, y x или c= y yx+ x exp arctg. При делении 7 7x на x мы не потеряли решение, так как прямая x = имеет только одну точку пересечения с любой параболой данного семейства. y yy Аналогично для уравнения y = + получаем x x (u ) du dx ux + u u= + u( ux + u), = и u + u+ x 3 4y+ x c= y + yx+ x exp arctg 7 7x. Заметим, что из области определения полученных кривых видно, что они не содержат начало координат, поэтому сделанное в начале решения допущение ( x; y) (;) правомерно. Также необходимо заметить, что в условии идет речь о параболах y = ax, а это означает, что параметр a подразумевается отличным от нуля. Следовательно, из решений выкалываются точки с нулевой ординатой. 4

15 3 x ± 4y Ответ: c= y ± yx+ x exp arctg 7 7x, где y, общее решение. Задача 7. Найти такие поверхности вращения, чтобы все лучи, исходящие из источника света, расположенного на оси вращения этой поверхности, отражались параллельно этой оси. Решение. Рассмотрим плоскую фигуру, вращением которой получается искомая поверхность, при этом источник света поместим в начало координат, а ось ординат направим по оси вращения. Выберем произвольную точку A( x ; y ) Рис. 8 на кривой и через B( ; y y x) обозначим точку пересечения касательной с осью ординат (рис. 8). Тогда OA x y = + и OB = y x y. Кроме того, так как отраженный луч параллелен оси ординат, то он с касательной образует тот же угол α, что и угол между касательной и осью ординат. Из оптики известно, что угол падения равен углу отражения, а значит, OAB = OBA и треугольник OAB равнобедренный, т.е. OA = OB. Получаем однородное уравнение y x y = x + y, или α B y+ x + y y =. Замена x y = ux приведет это уравнение к виду ux = + u, откуда du dx + u =, ln u+ + u = ln x + ln c, + u = xc u, x + u = x c xuc+ u, x c = + xuc. Возвращаясь к пе- у O α A х 5

16 cx ременной y, получим x c = + yc, или y = c это уравнение параболы. Записав это уравнение в каноническом виде x = y, видим, что параметр парабо- c c лы p =, а следовательно, ее фокус находится в начале c координат (из аналитической геометрии известно, что фокус находится на расстоянии = от вершины парабо- p c лы). Ответ: параболоиды вращения, у которых источник света находится в фокусе вращающейся параболы. Задачи на площадь криволинейной трапеции Напомним, что криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, которая в декартовой системе координат ограничена осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком непрерывной функции y = f( x). Если a , то, зная площадь криволинейной трапеции, также можно вычислить координаты ( x ; y ) центра c 6 c a у Рис. 9 b x

17 тяжести этой трапеции: b yc f ( x) dx S a b x c b = xf ( x) dx S и =, где S = f( x) dx площадь трапеции. a Из указанных формул видно, что задачи, связанные с криволинейной трапецией, как правило, сводятся к интегральным уравнениям. Однако дифференцирование обеих частей уравнения и использование факта, что производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, позволяет в большинстве случаев перейти от интегральных уравнений к дифференциальным. Задача 8. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: если через любую точку данной кривой провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении :3. Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку (; ). A x ; y на кривой. Условие Решение. Выберем точку ( ) задачи подразумевает, что x и y отличны от нуля и что дуга искомой кривой от начала координат O до точки A не выходит за рамки прямоугольника с вершинами в этих A у точках. Тогда кривая делит прямоугольник на две части, одной из которых является криволинейная трапеция O х (рис. ). Находим, что площадь прямоугольника равна xy Рис., а площадь трапеции x y dx для положительных x и a y dx для x 7

18 отрицательных x, при этом площадь трапеции должна составлять /4 или 3/4 от площади прямоугольника. Возможны четыре случая. Если точка A лежит в первой x четверти, то 4 ydx = xy или 4 ydx = 3xy. Дифференцируя, получаем уравнения с разделяющимися переменными 4y = y+ xy или 4y = 3y+ 3xy, общие решения которых 3 3 имеют вид y = cx и y = c x. Аналогично если A лежит во второй четверти, то получаем уравнения третьей уравнения 4 ydx = xy или x x 4 4 ydx = xy или если в четвертой уравнения x 4 x x ydx = 3xy; если в x 4 4 ydx = 3xy ; и x ydx = xy или ydx = 3xy. Все эти случаи приводят к тем же решениям y = cx 3 и 3 y = c x. 3 Ответ: y = cx 3 и y = c x, где x и c, общее решение; правые ветви кубических парабол 3 y = x и 3 y = x частные решения. у Рис. Задача 9. Записать уравнения кривых, для любой точки которых абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим данную точку с ее проекцией на ось абсцисс, составляет 9 % от абсциссы этой точки. х 8

19 для любой точки ( ) Решение. Будем считать, что кривая находится в верхней полуплоскости, так как из соображений симметрии очевидно, что при отображении кривой относительно оси абсцисс координата x с центра тяжести не меняется. Тогда A x ; y, где x >, должно выполняться условие S x x 9x xy dx =, или 9 xydx= x S. Подставив в это соотношение формулу площади трапеции и перейдя к произвольной точке ( x; y ), получим интегральное x x уравнение xydx= 9x ydx. Продифференцируем его по x переменной x: xy = 9 ydx+ 9xy снова интегральное уравнение. Приведем подобные и еще раз продифференцируем: y+ xy = 9 y дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение имеет вид 8 y = cx. Легко проверить, что уравнение x x xydx= 9x ydx, верное для отрицательных x, приводит к этому же ответу. Итак, задача решена для положительных y, т.е. для c >, но, как было отмечено выше, ответ верен и для отрицательных y, т.е. для c 20 Глава. Физические задачи.. Задачи на движение При прямолинейном движении мгновенные скорость и ускорение определяются как первая и вторая производные соответственно от перемещения (пути), т.е. скорость vt () = s () t и ускорение at () = s () t = v () t, где s(t) перемещение точки за время t. Напомним, что если при прямолинейном движении тело не меняет направления движения, то понятия перемещения и пройденного пути совпадают. Пусть теперь данное движение вызвано силой F, направленной вдоль прямой движения. Тогда по второму закону Ньютона F = ma = ms. В обычно встречающихся задачах сила зависит от расстояния s или скорости v, что приводит к дифференциальному уравнению ms = F() s или mv = F() v. Далее мы рассмотрим три примера действующей силы: силу сопротивления, силу упругости и центробежную силу. Сила сопротивления. Как показывает опыт, если тело при движении испытывает сопротивление среды, то сила этого сопротивления возрастает при увеличении скорости тела. При этом если скорость движения невелика и тело имеет малые размеры, то силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости (например, сопротивление воды при движении плавучего средства по ее поверхности или при погружении небольшого объекта в воду). Если же скорость и размеры предмета велики, то сопротивление становится пропорциональным квадрату скорости (например, свободное падение большого тела в воздухе). Итак, сила сопротивления Fr =μ v или Fr =μv, где μ коэффициент сопротивления. Часто для удобства коэф-

21 фициент μ уменьшают в m раз, где m масса движущегося тела, т.е. записывают Fr =μ mv или Fr =μmv, что по- зволяет сократить на ненулевой множитель второй закон Ньютона. Действительно, если, например, на тело действует только сила сопротивления, то получаем уравнения mv = μmv или mv = μmv, которые сокращаются до v = μv или v = μv. Знак минус в этих уравнениях показывает, что сила сопротивления (а значит, и вызываемое ею ускорение) имеет направление, противоположное скорости движения тела. Сила упругости. Если пружина находится в состоянии покоя, то по первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на нее, равна нулю. Однако закон Гука утверждает, при небольшой деформации пружины, т.е. при изменении ее длины, возникает сила упругости, пропорциональная величине этого изменения, которая стремится вернуть пружину в исходное положение. Следовательно, при рассмотрении колебаний пружины достаточно рассматривать силу упругости Fe = ks, где k коэффициент жесткости пружины; s отклонение от положения равновесия, и, возможно, силу сопротивления движению пружины, остальные же силы (в том числе сила тяжести) уравновешивают друг друга. Таким образом, второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению второго порядка ms = ks, или ms = μs ks, или ms = μ( s ) ks. Здесь через m обычно обозначают массу груза, прикрепленного к пружине, массой же самой пружины, как правило, пренебрегают. Знак минус указывает на то, что сила упругости направлена в сторону, противоположную отклонению пружины, а сила сопротивления противоположна вектору скорости. Центробежная сила. На тело массой m, движущееся по окружности радиуса r с угловой скоростью ω, действует

22 центробежная сила Fc = mω r, направленная от центра окружности вращения. Также заметим, что если тело движется не по прямой, а в плоскости или в пространстве, то задача обычно сводится уже не к одному дифференциальному уравнению, а к системе двух или трех уравнений соответственно. Связано это с тем, что описанные выше соотношения приходится рассматривать для проекций векторов перемещения, скорости, ускорения и силы на оси координат. Например, векторное равенство v = s приводит к трем скалярным равен- ствам vx = x, vy = y и vz = z, где v x, v y и v z проекции скорости; x, y и z координаты движущейся точки. Задача. Под действием сопротивления воды лодка за мин замедлила свое движение с 6 до км/ч. Какой путь пройдет лодка до полной своей остановки? Решение. Пусть v(t) это скорость лодки в момент времени t. Лодка замедляет свое движение за счет силы сопротивления воды, пропорциональной скорости лодки: Fr =μ mv. Тогда второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными v = μ v, решение которого имеет вид v= ce μt. Воспользовавшись условиями v () = 6 и μ v =, получим, 6 6 что c = 6 и 6e =, откуда e μ = 6 6. Следовательно, 6t скорость движения лодки задается уравнением v = 6. Из данного равенства видно, что теоретически в любой конечный момент времени скорость лодки положительна и остановка может произойти только при t =. Итак, путь

23 + 6t + 6t 6 s = 6 dt = =,558 км, т.е. чуть 6ln 6 ln 6 менее 56 м. 6t Отметим, что функция v = 6 очень быстро приближается к нулю. Например, уже через мин скорость будет составлять меньше одной десятой миллиметра в час, т.е. практически равной нулю. Поэтому при расчете пути лодки до ее полной остановки несобственный интеграл можно заменить определенным s 6 6t = 6 dt, при этом погрешность будет крайне незначительной, меньшей, чем одна тысячная миллиметра. Ответ: 55 м 8 см. Задача. Мяч весом 4 г брошен вверх со скоростью м/с. Известно, что на мяч, летящий со скоростью м/с, воздух оказывает сопротивление 5 Н. Считая ускорение свободного падения равным м/c, найти наибольшую высоту подъема мяча. Решение. Пусть v(t) это скорость мяча в момент времени t. На движение мяча оказывают влияние направленные вниз сила тяжести F = mg и сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости, g r =μmv. Для нахождения коэффициента μ заметим, что если v = м/с и m = 4 г, то F = 5 Н. Следовательно, μ= F r 5,5 mv = 4 = м. Теперь запишем второй закон Ньютона: ma = Fg Fr или mv = m,5mv r. Сокращая на массу, получим уравнение v’ =,5v. Разделим переменные: 3 F

24 dv = dt, и проинтегрируем левую часть:,5v + dv = 8 dv = arctg v c,5v + +. Затем из v + 8 v найденного общего решения arctg = c t выразим скорость: v = tg. c t Наивысшей точки своего полета мяч достигает в тот момент, когда его скорость равна нулю, т.е. при t = c. Следовательно, наибольшую высоту можно найти как путь, пройденный в промежуток времени от t = до t = c, т.е. c c t c t c h= tg dt = 8ln cos = 8ln cos. t= Итак, для получения окончательного ответа осталось найти значение константы c. По условию задачи v () =. Подставив эти значения в общее решение, находим, что c = arctg, 3 8ln cos arctg 4ln 6, (мы использовали формулу cos arctg a = + a ). Ответ: 6 м см. Задача. Груз массой 3 г подвешен на легкой пружине и выведен из состояния покоя вытягиванием пружины на 8 см, при этом возникла сила упругости Н. Затем груз подбросили вертикально вверх, придав ему начальную скорость,5 м/с. Найти период и амплитуду свободных колебаний груза, если движение происходит без сопротивления. t= c 4

25 Решение. Обозначим через s(t) отклонение груза от положения равновесия. Колебания вызываются силой упругости Fe = ks, причем так как при удлинении пружины на 8 см сила упругости составила Н, то коэффициент жесткости k =,5,8 = кг/c. Запишем второй закон Ньютона ma = ks, откуда получим линейное однородное уравнение второго порядка,3s +,5s=. Характеристиче- ское уравнение,3λ +,5 = имеет корни λ, =± 6, 5i, значит, общее решение записывается в виде s = c cos 6, 5t+ c sin 6, 5t. Для нахождения констант заметим, что s() = с =,8 и v() = s () = 6,5с =,5. Следовательно, c =,8, c =,8 и уравнение колебательного движения имеет вид s =,8cos 6, 5t+,8sin 6, 5t, или, если ввести вспомогательный угол, s=,8 sin 6,5t+. Таким образом, π 4 амплитуда колебания равна, 8,3 м, а период π с. 6, 5 Ответ: период с; амплитуда см 3 мм. Задача 3. Найти уравнение движения груза массой г, закрепленного на легкой вертикальной пружине с коэффициентом жесткости 5 кг/с, если первоначально груз был отклонен от положения равновесия на см и затем отпущен без начальной скорости. Известно, что при движении данного груза со скоростью м/с сопротивление воздуха составляет Н. Решение. Пусть s(t) это отклонение груза от положения равновесия в момент времени t. На груз действуют си- 5

26 ла упругости пружины Fe = 5s и сила сопротивления воздуха, которую будем считать пропорциональной скорости груза, т.е. Fr =μ v =μ s, где μ=, кг/с. Получим дифференциальное уравнение, s =,s 5s, или, s +,s + 5s=. Характеристическое уравнение имеет, корни λ, = ±, 4, 5 ± 5i, поэтому общее, 4 решение выглядит следующим образом:, 5 s= e t ( ccos5t+ csin5 t). Дифференцируя, найдем скорость груза:,5 v= e t (,5ccos5t,5csin5t 5csin5t+ 5ccos5 t), и из начальных усл овий s () =, и v () = вычислим константы: c =, и c =,. Следовательно, оконча- тельно уравнение движения груза приобретает вид,5 t s = e (,cos5t+,sin 5 t ). Ответ:,5 t s = e (,cos5 t+,sin 5 t). Задача 4. Трубка с находящимся в ней шариком равномерно вращается вокруг перпендикулярной к ней верти- в момент времени t. Угловая скорость вращения кальной оси, причем за десять минут трубка делает три полных оборота. Чему станет равным расстояние от шарика до оси через минуту после начала вращения, если изначально оно равнялось 4 см и шарик имел нулевую скорость? Решение. Пусть r(t) это расстояние от шарика до оси вращения 6π трубки равна =, π рад/c. Учитывая действующую 6 на шарик центробежную силу = (, π ) mr, где m Fc масса шарика, составим уравнение 6 mr = (, π) mr, или

27 r (, π ) r =. Характеристическое уравнение λ (, π ) = имеет корни λ, =±, π, значит,, t, π t r ce π = + ce. Из начальных условий r () =, 4 и r () = видно, что c = c =, и r =,4ch,πt. Подставляя в качестве времени 6 с, получим r =,4ch,6π,35 м. Ответ: 3 см 5 мм. Задача 5. Горизонтальная трубка вращае тся с угловой скоростью, рад/c вокруг вертикальной оси. В трубке на- пружина длиной см и коэффициентом жестко- ходится сти,48 кг/c, к концам которой прикреплены грузики массой 6 г и 4 г, причем в момент начала вращения пружина не растянута и грузики одинаково удалены от оси вращения. Найти зависимость изменения длины пружины от времени. Решение. Пусть r (t) и r (t) это расстояния в метрах от оси вращения до первого и второго грузиков соответственно (первым будем считать грузик в 6 г, а вторым грузик в 4 г) в момент времени t. В процессе вращения под действием центробежных сил Fc =,6, r =,4r и Fc =, 4, r =,6r грузики начинают удаляться от оси вращения, что приводит к растягиванию пружины. Возникает сила упругости. Заметим, что удлинение пружины равно разности между длиной пружины в текущий момент времени и первоначальной длиной, т.е. ( r+ r,) м. Следовательно, сила упругости составляет Fe =, 48( r+ r,) Н, причем она направлена в сторону оси вращения, т.е. противоположна направлению центробежных сил. 7

28 Получаем систему дифференциальных уравнений,6r =,4r,48( r+ r,). Вычтя из первого, 4r =, 6r, 48( r+ r,) уравнения второе,6r, 4r =,4r,6r и введя новую переменную zt () =,6r,4r, получим линейное однородное уравнен ие второго порядка z, 4z =, об-,t,t щее решение которого имеет вид z = ce + c e. Возвращаемся к исходным переменным:,t,t,6r, 4r = ce + ce. В нач альный момент времени грузики находилис ь на расстоянии 5 см от оси вращения и имели нулевую скорость, т.е. r() = r() =,5 и r () = r () =. Эти условия приводят к системе уравне- ний c+ c =,, из которой c = c =,5 и c c = ( ),,6r e e,c. 4r,5 t = + t = h t. Из данного равенства выразим одну из переменных, например r =,5r,5ch,t, и подставим ее в любое уравнение искомой системы, например в первое:,6r =,4r,48(,5r, 5ch,t,). После раскрытия скобок и приведения подобных уравнени е примет вид,6r +,76r =,ch, t +,48. Характеристическое уравнение,6λ +,76 = имеет корни λ, =±, 4i, поэтому r = c si n,4t+ c cos,4t решение однородного уравнения,6r +,76r =. Частное решение неоднородного уравнения будем исвиде r = Ach, t+ Bsh, t+ C. кать в Тогда 8

29 r =,4Ach, t+,4bsh, t. После подстановки этих выражен ий искомое уравнение приобретает вид, Ach,t+, Bsh,t+,76C =,ch t+,48, откуда A = =,, B = и C = =. Значит. 76 49,,48 общее решение неоднородного уравнения записывается в ch, t виде r = csin, 4t+ ccos,4t Еще раз воспользовавшись начальными условиями r () =,5 и r (), получим = c +, + =, 5 и 49, 4c =, откуда c = и c =. Следовательно, закон 5 движения первого грузика окон чательно описывается соотношением r ch, t cos, 4t = +. А закон движения 5 49 второго грузика имеет следующий вид: 3 ch,t 3cos,4t r =,5r,5ch, t =. Длина пружины равна сумме найденных расстояний: r+ r = 5 cos,4t Ответ: 5 cos,4 t Задача 6. Однородная цепь длиной,5 м соскальзывает с горизонтального стола, причем в начальный момент времени со стола свисает конец длиной см. Пренебрегая трением и считая ускорение свободного падения равным м/c, найти время соскальзывания всей цепи. Решение. Пусть l(t) это длина в метрах свисающей со стола части цепи в момент времени t. Силой, под действи- 9

30 g ная плотность цепи. Из второго закона Ньютона следует, что F = Ma=,5ρ l (здесь m=ρ l масса свисающей g ем которой движется цепь, является сила тяжести свисающей части F = mg = ρ l, где через ρ обозначена линей- части цепи, а M =,5ρ масса всей цепи). Получаем дифференциальное уравнение ρ l =,5ρ l, или,5l l = это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение,5λ = имеет t t корни λ, =±, значит, l = ce + ce. Неизвестные константы можно найти, исходя из начальных условий l() =, и l () =, которые приво дят к системе уравне- c+ c =, ний, откуда c = c =,5, и решение прини- c c = t t мает вид l =,5( e + e ) =,ch t. Для нахождения времени соскальзывания всей цепи надо принять длину l равной,5, =, 4 м. Получим arcch 4 ln ( ) = и, 4,ch t t = =, 94 с, т.е. чуть меньше двух секунд (мы воспользовались формулой arcch a ln( a a ) = + ). Ответ:, 94 с. Задача 7. На противоположных берегах реки шириной 5 м расположены два пункта A и B, причем отрезок AB перпендикулярен берегам. Катер с собственной скоростью 8 км/ч переправляется из A в B так, что в любой момент времени его нос направлен в точку B. Найти время переправы, если скорость течения реки равна км/ч. 3

31 Решение. Введем систему координат, причем точку B поместим в начало координат, ось ординат расположим вдоль отрезка AB, а направление оси абсцисс выберем совпадающим с направлением течения реки (рис. ). По условию задачи если в момент времени t катер на- Ct () = xt (); yt (), то ходится в точке ( ) у A 8 C вектор его скорости направлен вдоль отрезка CB. Обозна- ϕ( t ) угол ме- чим через ρ () t длину отрезка CB, а через жду отрезком CB и осью абсцисс, т.е. фактически введем полярные коорди наты. Тогда из чертежа видно, что x = 8cosϕ и y = 8sinϕ. Подставив в эти равенства формулы перехода к полярным координатам x =ρcos ϕ и y =ρsin ϕ, получим систему дифференциальных уравнений с двумя неизвестными ρ cos ϕ ρϕ sin ϕ= 8cos ϕ. Разрешим данную систему ρ sin ϕ+ρϕ cosϕ= 8sin ϕ относительно выражений ρ и ρϕ. По формулам Крамера cosϕ sinϕ найдем определители: Δ= = cos ϕ+ sin ϕ= ; sin ϕ cos ϕ B ϕ Рис. Δ = 8cosϕ sinϕ c os 8sin ρ 8sin cos = os ϕ ϕ ϕ 8c ϕ ϕ= = cosϕ 8; cos ϕ 8cos ϕ Δ ρϕ = = 8 cos ϕsin ϕ sin ϕ+ 8 cos ϕsin ϕ= sin ϕ 8sin ϕ = sin ϕ. Тогда ρ= cosϕ 8 и ρϕ = sinϕ. Итак, нам удалось существенно упростить нашу систему уравнений:. Теперь из второго уравне- ρ = cosϕ 8 ρϕ = sinϕ 3 х

32 ния выразим sinϕ ρ=, продифференцируем: ϕ ( ϕ ) cosϕ ϕ sin ϕ ϕ sin ϕ ρ= = cosϕ, и подставим в первое уравнение: cos cos 8 ( ϕ ) ( ϕ ) ϕ sinϕ ϕ= ϕ, или ( ϕ ) ϕ sin ϕ cos 4 = ϕ это уравнение второго порядка, не ( ϕ ) содержащее независимую переменную t. Для решения этого уравнения сделаем замену ϕ= p( ϕ ) ppsin ϕ и ϕ = p p. Имеем = cosϕ 4 уравнение с p разделяющимися переменными. Разделим пер еменные: dp cosϕ 4 = dϕ. Проинтегрируем отдельно правую p sin ϕ cos ϕ dϕ d(sin ϕ) d(tg ϕ ) часть: dϕ 4 = 4 = sin ϕ sin ϕ sin ϕ tg ( ϕ ) = ln sinϕ 4ln tg( ϕ ) + lnc. Тогда общее решение для функци и p( ϕ ) имеет вид p = csin ϕ 4 tg ( ϕ ). Чтобы найти константу c, заметим, что в начальный момент времени точки π A и C совпадали, а значит, ϕ () = и ρ () =,5. Тогда из второго уравнения системы ρϕ = sinϕ видно, что ϕ () = 4, а значит, p π = 4. Подставив эти значения в 4sin ϕ общее решение, найдем c = 4 и p = 4. tg ( ϕ ) 3

33 Вернувшись от переменной p к переменной ϕ, получим 4sin ϕ уже уравнение первого порядка ϕ=, откуда 4 tg ( ϕ ) 4 tg ( ϕ ) dϕ= 4 dt. Для интегрирования левой части еще sin ϕ раз применим основную тригонометрическую подстанов- 4 tg ( ϕ ) ку: dϕ= tg ( ϕ ) ( + tg ( ϕ ) ) d( tg( ϕ ) ) = sin ϕ 3 tg ( ϕ ) = ( ) ( ) tg ( ϕ ) d tg( ϕ ) + tg 4 ( ϕ ) d tg( ϕ ) = tg ( ϕ ) + + c, а затем для ϕ () t запишем общее решение 3 5 tg ( ϕ ) tg ( ϕ ) = c 4t, или 5 tg ( ϕ ) + 3tg ( ϕ ) = 6 π = c t. Так как ϕ () =, то c = 8. Далее выразим ρ через ϕ. Для этого в выражение sinϕ 4sin ϕ ρ= подставим ϕ= и получим, что 4 ϕ tg ( ϕ ) 4 tg ( ϕ ) ρ =. Осталось заметить, что в момент окончания sinϕ 4 tg ( ϕ ) переправы р адиус-вектор ρ=, а значит, =, отчто и угол ϕ=. Это условие позволяет sinϕ куда видно, из 3 5 общего решения 5 tg ( ϕ ) + 3tg ( ϕ ) = c t выразить c 8 время переправы: t = = = ч, т.е. 4 мин. 5 Ответ: 4 мин. 33

34 .. Задачи на реактивное движение При движении тела с переменной массой (например, космически й корабль) второй закон Ньютона не применим, так как он справедлив только для тел с постоянной массой. В этом случае используют так называемое уравнение Мещерского mv = F + um, где m(t) масса тела; v(t) его скорост ь; F(t) действующая на него сила в момент времени t. Через u(t) обозначена относительная (относительно самого движущегося тела) скорость частиц, присоединяющихся к телу, или, наоборот, отсоединяющихся от него. При движении космической ракеты u это скорость истечения продуктов горения из сопла ракеты, причем в этом случае ускорение v и скорость истечения газов u имеют противоположные направления. Величину m, характеризующую скорость изменения массы тела, называют секундным расходом массы. Заметим, что если масса тела постоянна, то секундный расход равен нулю и уравнение Мещерского превращается во второй закон Ньютона. В случае же летательного аппарата с реактивным двигателем секундный расход отрицателен, так как масса аппарата уменьшается в ходе движения. В простейших моделях секундный расход топлива считают постоянным. Задача 8. Ракета с нулевой начальной скоростью движется прямолинейно под действием отдачи от струи газа, исходящей со скоростью км/с. Масса ракеты с полным запасом топлива равна 4 т, без топлива 5 т. Найти скорость движения ракеты после сгорания всего топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха. Решение. Пусть m(t) и v(t) это масса и скорость ракеты соответственно в момент времени t. Тогда уравнение 34

35 Мещерского запишется в виде mv = m или dv dm m =. Домножив обе части равенства на dt и введя в рассмотрение функцию v(m), получим дифференци- dt dt альное уравнение с разделяющимися переменными mdv = dm. Имеем dv = dm и v= lnm+ c общее m решение. Из условия v (4) = находим, что c = ln 4 и 4 v = ln частное решение. Подставив m = 5, полу- сгорания топлива скорость корабля достиг- m чим, что после 4 нет значения v = ln = ln8 4,6 км/с. 5 Ответ: 4,6 км/с. Комментарий. Отметим, что в ходе решения данной задачи мы фактически вывели формулу скорости космического аппарата v= uln M, которая впервые была получена Циолковским в m 897 году и сейчас носит его имя. В этой формуле через M и m обозначены начальная и конечная (после выработки топлива) массы космического аппарата, через u скорость газовой струи. Скорость ракеты v, вычисляемую по формуле Циолков- называют характеристической. Реальная же скорость, как ского, правило, ниже характеристической из-за влияния сил гравитации и сопротивления среды, а также из-за потерь, вызванных затратами на управление движением космического корабля. Задача 9. Ракета с начальной массой 5 т движется вертикально вверх под действием силы тяги реактивного двигателя. Скорость истечения газов и секундный расход топлива постоянны и равны 3 км/c и т/с соответственно. На какую высоту поднимется ракета через минуту после 35

36 старта, если на поверхности Земли скорость ракеты равна нулю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Пусть m(t) и v(t) это масса и скорость ракеты соответственно в момент времени t. На движение ракеты оказывают влияние сила тяги двигателя ракеты и сила тяжести Земли F = mg. Значит, уравнение Мещерского g запишется в виде mv =, m 3m (ускорение свободного падения считаем равным, км/с, численное значение расхода топлива пока не подставляем). Выразим ускорение: v =, 3 m, и проинтегрируем обе части по времени: v=,t 3ln m+ c. Так как в момент старта ско- m рость ракеты нулевая, а масса составляет 5 т, то 5 c = 3ln 5 и v= 3ln,t. m Ита к, для нахождения скорости ракеты в произвольный момент времени осталось выразить массу ракеты через время. Так как секундный расход топлива m = т/с, то, интегрируя, н аходим, что m= c t, где при t = видно, что c = 5 и m= 5 t. Подставив выражение для массы ракеты в выведенную нами формулу скорости, получим 5 v= 3ln,t = 3ln(,4 t),t. 5 t Высоту подъема ракеты за одну минуту найдем как интеграл от скорости: ,57 км. Ответ: 5 км 57 м h= ln(,4 t) dt, tdt = = (75 3 t)ln(,4 t) + 3t,5t = 57ln,

37 Комментарий. Достаточно небольшая высота подъема ракеты показывает, что напрямую использование аппаратов с реактивным двигателе м для преодоления силы тяжести Земли нерационально. На практике в современной космонавтике используются более сложные многоступенчатые ракеты-носители. При этом расчеты скорости и высоты подъема каждой отдельной ступени осуществляются по тем же принципам, что и в приведенных в данном параграфе задачах..3. Задачи на радиоактивный распад Радиоактивным распадом называют самопроизвольное превращение ядер атомов некоторых элементов в ядра других элементов. Радиоактивный распад носит статистиче- изо- ский характер: ядра атомов распадаются не одновременно все сразу, а в течение времени существования данного топа. Экспериментальным путем установлено, что мгновенная скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества, имеющемуся в данный момент, т.е. m = λ m, где m масса нераспавшегося вещества; λ постоянная распада. Знак минус берется потому, что масса вещества уменьшается, а значит, скорость его изменения отрицательна. Время, в течение которого распадается половина имеющегося вещества, называется периодом полураспада. Периоды полураспада основных радиоактивных изотопов приводятся в физических справочниках, например для радона он составляет около четырех суток, для радия 6 веков, для плутония более 4 тысячелетий, а для урана-38 4,5 миллиарда лет. Задача. Согласно опытам в течение года из каждого грамма радия распадается,44 мг. Через сколько лет распадется четверть имеющегося радия? 37

38 Решение. Пусть m(t) это масса оставшегося радия к моменту времени t, где время измеряется в годах. Закон радиоактивного распада приводит к уравнению с разделяющимися переменными m = λ m, общее решение кото- рого имеет вид m= ce λt. Подставив t =, увидим, что константа c совпадает с величиной массы радия в начальный момент времени, т.е. c= m(), и m= m() e λt частное решение. Из условия задачи следует, что за год распадается,44 % имеющегося радия, следовательно, к концу первого года останется 99,956 % радия, т.е. m() =,99956 m(). Подставляя в частное решение, находим, что e λ =,99956 и m= m(),99956 t. Если ко времени t распалась четверть радия, то mt () =,75 m(). Получим,75 m() = m(),99956 t, откуда, t = log,99956, , 679 года, т.е. примерно 653 года 8 месяцев и 4 дня. Ответ: 653 года 8 месяцев и 4 дня. Задача. В куске горной породы содержится мг урана и 3 мг уранового свинца. Известно, что при полном ра спаде 4 г урана образуется 8 г уранового свинца. Считая, что в момент образования горная порода не содержала свинца, определить возраст этой горной породы. Решение. Пусть m(t) это масса в миллиграммах нераспавшегося изотопа урана через t лет после формирования породы. Тогда m = λ m и m= m() e λt. В момент образования породы, кроме мг урана, в ней также содер- жалось некоторое количество урана, превратившегося затем в свинец. Следо вательно, m () = + 3 = 5 мг 4 8 и m= 5e λt. 38

39 9 4,5 Зная, что период полураспада урана составляет около 4,5 миллиардов лет, вычислим, что через этот срок остане тся,5 5 = 57,5 мг урана, а значит, 57,5 = 5e λ. 9 9 λ 4,5 4,5 t Отсюда e = и m = 5. Осталось в эту формулу массы урана подставить m = и выразить время: t = 4,5 ( log log5) 97 лет. 9 6 Ответ: 97 миллио нов лет.. 4. Задачи на смеси В сводящихся к дифференциальным уравнениям задачах на смеси обычно делается следующее допущение: песмеси происходит настолько ремешивание компонентов интенсивно, что в любой момент времени смесь можно считать однородной, т.е концентрация ее компонентов одинакова во всей смеси. Если бы при этом концентрация p некоторого компонента была постоянной во времени, то, зная скорость изменения объема смеси v (л/с), можно было бы найти, что за время Δt объем компонента изменится на Δ V = pvδ t литров. Однако, как правило, концентрация зависит от времени, и поэтому можно лишь записать, что изменение объема компонента лежит в промежутке между числа ми p() t vδ t и p( t+δt) vδ t. Если теперь эти неравенства разделить на Δt и перейти к пределу при Δt, то получим дифференциальное уравнение V = pv. Задача. В баке находится 5 л морской воды, со- держащей 4 % соли. В бак непрерывно подается пресная вода со скоростью 4 л/мин. Полученная смесь перемешивается и вытекает со скоростью 6 л/мин. Какой станет концентрация соли через час? 39

40 Решение. Пусть V(t) это объем соли в литрах, находящейся в баке в момент времени t, где время измеряется в минутах. Так как каждую минуту из бака вытекает на два литра жидкости больше, чем втекает, то ко времени t в баке будет (5 t) литров жидкости, а значит, концентрация соли составит. Vt () 5 t За небольшой промежуток времени Δt из бака выльется 6Δ t литров смеси. Если в течение этого промежутка конь неизменной, то данные 6Δ t литров центрацию считат Vt () 6Δt смеси содержат литров соли. На самом же деле 5 t концентрация уменьшается, поэтому верно неравенство V() t 6Δt Δ V = V() t V( t+ Δ t) +Δ Δ. Деля эти неравенства на 5 t Δt и устремляя его к нулю, получим выражение для скоро- объема соли V =. Это уравнение 6V сти уменьшения 5 t dv 3dt с разделяющимися переменными. Имеем =, от- V t 75 куда lnv = 3ln t 75 + ln c, или V = c t 75. Так как в на- чальный момент времени концентрация соли составляла 6 4 % от 5 литров, то V () = 6, поэтому c = и t V = 6. Через 6 мин объем и концентрация соли бу

41 6 дут соответственно равны V (6) = и = 5 =,6 =,6 %. 3 5 (5 ) Ответ:,6 %. Задача 3. Сосуд объемом 5 л содержит воздух (8 % азота и % кислорода). В сосуд втекает, л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 9 % азота? Решение. Пусть V(t) это объем азота в момент времени t. Тогда за время Δt в сосуд втечет, Δ t, а вытечет не Vt (),Δt Vt ( +Δt),Δt менее и не более литров азота 5 V (здесь концентрация азота). Следовательно, изменение объема азота Δ V в сосуде удовлетворяет неравенству 5, Δ+ t,4 V( t) Δ t 42 8 Из начального условия V () = 5 = 4 л находим,4t частное решение V = 5 e. Осталось в данную формулу подставить V = 5 = 45 л и найти время 9 t = 5 ln 73,3 с, т.е. немного меньше трех минут. Ответ: мин 53 с..5. Задачи на охлаждение и нагревание В задачах на охлаждение или нагревание тела при взаимодействии с окружающей средой температуру окружающего пространства T c принято считать постоянной. Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения или нагревания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, т.е. T = k( T T c ), при этом если в начальный момент времени температура тела T больше температуры окружающего пространства T c, то происходит охлаждение и скорость T отрицательна, а если T . Сделанное замечание объясняет, почему коэффициент пропорциональности k обычно записывают со знаком минус. Само значение величины k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы. Для нахождения коэффициента, как правило, измеряют температуру тела в некоторый промежуточный момент времени. Часто встречаются задачи о нагревании жидкости погруженным в нее электрическим прибором (металлический стержень, спираль, кипятильник и т.д.) с силой тока, мало меняющейся во времени. В этом случае опираются на явление, называемое Джоулевым теплом: если сила тока по- 4

43 стоянна, то вся электрическая энергия превращается в тепловую. Для нахождения тепловой энергии пользуются формулой E = cmδ T, где c удельная теплоемкость жидкости (в частности, для воды c 4 Дж/(кг C)); m масса жидкости; ΔT изменение температуры, а для нахождения электрической энергии формулой E =, где U Δt R U напряжение, подаваемое на прибор; R сопротивление прибора; Δt продолжительность протекания тока. Как правило, считают, что температура не оказывает заметного влияния на теплоемкость жидкости, изменение же сопротивления прибора иногда учитывают, а иногда нет. В действительности сопротивление проводников немного увеличивается с повышением температуры, а именно верна формула R = R( +α ( T T )), где R сопротивление при начальной температуре T ; α температурный коэффициент сопротивления. В большинстве справочников приводятся значения сопротивления R при температуре T = C. Задача 4. Тело охладилось за мин от 7 до 4 C. Температура окружающей среды поддерживается равной 5 C. Сколько еще минут понадобится, чтобы тело остыло до 3 C? Решение. Пусть T(t) это температура тела в момент времени t, где температура измеряется в градусах Цельсия, а время в минутах. Тогда по закону Ньютона T = k( T 5) это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: = kt, ln( T 5) = ln c kt и dt T 5 kt T = ce + 5. Из условий T () = 7 и T () = 4 находим, 43

Видео:Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям

Елабужский Государственный Педагогический Университет

Кафедра алгебры и геометрии

«Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям»

При изучении геометрических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение

где f(x) – известная, а y=y(x) – искомая функции независимого переменного х. Решения этого уравнения называют первообразными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения

где С – произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет.

Характерное свойство дифференциальных уравнений – иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.

Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Допустим, что нам известно для некоторого дифференциального уравнения F(x, у, )==0 (1) семейство

интегральных линий, которое покрывает некоторую замкнутую область G плоскости (х, у) так, что через каждую точку такой области проходит по крайней мере одна линия этого семейства. Требуется найти такую проходящую по G линию L, которая в каждой своей точке касается некоторой линии семейства (2) и каждого куска которой касается бесконечное множество линий этого семейства[1] . Такая линия L называется огибающей семейства (2). Очевидно, огибающая семейства интегральных линий будет также интегральной линией уравнения (1), так как в каждой её точке она касается некоторой интегральной кривой и, следовательно, имеет направление поля. Относительно функции F (х, у, С) нам придётся предположить, что она имеет непрерывные производные по всем своим аргументам, и сделать ещё некоторые другие предположения, о которых будет сказано несколько позже и которые в нашем тексте напечатаны курсивом.

Допустим, что искомая линия существует. Так как она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой линии [значок С указывает то значение параметра С, при котором уравнение этой линии получается из общего уравнения (2)], то координаты её точек удовлетворяют уравнению F(x, у, С(х, у)) =0, где теперь С уже не постоянно, но в каждой точке линии L принимает свой значение (именно равное тому С, которое соответствует линии ). Будем рассматривать только такой кусок линии L, где у есть дифференцируемая функция от х (точно так же можно исследовать куски, где х есть дифференцируемая функция от у). Тогда можно считать С в предыдущем уравнении зависящим только от х и переписать это уравнение в следующем виде:

Допустим, что функция С(х) дифференцируема, не постоянна ни в каком интервале рассматриваемых значений х и нам известна. Найдём тогда из уравнения (3) значение у’ для удовлетворяющей этому уравнению функции у от х. Продифференцируем для этого уравнение (3) по х, считая у функцией от х. Получим

С другой стороны, если бы мы нашли у’ для проходящей через ту же точку (х, у) линии семейства (2), мы получили бы

Чтобы определяемые из обоих уравнений значения у’ (определить у’ из этих уравнений можно, если ) были одинаковы (т. е. чтобы в этой точке линия (2) и линия (3) имели общую касательную), необходимо, чтобы было .

Чтобы это произведение было равно 0, надо, чтобы по крайней мере один из его множителей обращался в 0. Если на некотором интервале, это будет означать, что С постоянно, что противоречит предположению. Поэтому для огибающей должно быть (4)

Легко видеть и обратное: именно, что, если при сохранении всех сделанных допущений относительно F(x, у, С) уравнения (3) и (4) определяют у(х) и С(x), как дифференцируемые функции от х, причём С(х) ни в каком интервале рассматриваемых значений х не постоянна, то у = у(х) будет огибающей семейства (2).

Замечание 1. Так как в постановке задачи х и у были совершенно равноправны, то в её решении роли х и у можно поменять.

Замечание 2. Огибающая семейства интегральных линий некоторого дифференциального уравнения 1-го порядка всегда является существенно особой интегральной линией для этого уравнения, так как из каждой её точки по одному направлению выходят по крайней мере две интегральные линии.

Пример 1. На всей плоскости (x, y) дано семейство кривых

(5)

Оно состоит из кубических парабол, полученных из одной сдвигом, параллельным оси .

Приравнивая нулю, получим . Отсюда С = — х. Подставляя это в уравнение семейства, получим линию у = 0, которая, очевидно, является огибающей семейства (5)

Замечание. Если бы мы написали уравнение нашего семейства в виде

то было бы = -1 и наш метод не дал бы огибающей, которая на самом деле существует. Это происходит потому, что теперь не существует при у = 0.

Пример 2. На всей плоскости (х, у) задано семейство кривых

(6)

Приравнивая нулю , получим .

Отсюда С= -x. Подставляя это в уравнение (6), получим у = 0.

Но легко видеть, что ось x-ов не является огибающей семейства (6) (см. рисунок). Это происходит только потому, что при у = 0

Пример 3. Семейство окружности

(7)

покрывает полоску между прямыми х = ±1. Приравнивая нулю , получим 2(у + С) = 0. Отсюда С = -у. Подставляя это вместо С в уравнение семейства, получим х = ±1.

Каждая из этих прямых является огибающей семейства (7) (см. рис.).

Допустим, что точки А и В (см. рисунок) соединены тонкой, абсолютно гладкой, проволокой, форма которой изображается кривой y = f(x). Пусть, далее, вдоль этой кривой свободно скользит некоторый груз под действием силы тяжести. Тогда время, в которое этот груз достигнет точки В, будет зависеть от формы кривой. Существует некоторая кривая, для которой груз достигнет точки В в кратчайшее время.

Эта кривая называется «брахистохроной». Задача состоит в том, чтобы найти форму этой кривой.

Для решения задачи необходимо найти выражение, для количества времени, затрачиваемого на скольжение груза по любой проволоке. Удобнее всего использовать для этого три закона из области механики:

1) Потенциальная энергия груза пропорциональна его высоте над поверхностью земли. Фактор пропорциональности равен массе т, умноженной на ускорение силы тяжести g.

2) Кинетическая энергия движущегося тела пропорциональна квадрату скорости. Фактор пропорциональности равен .

3) Сумма потенциальной и кинетической энергии тела постоянна, если они не сообщают энергии некоторому другому телу, Эго положение носит название «принципа сохранения энергии». В нашей задаче отсутствуют силы трения, и значит груз не теряет энергий при скольжении вдоль проволоки. Поэтому сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии mg( ) есть величина постоянная. Получаем уравнение:

где α—неизвестная постоянная[2] .

Далее, следует отметить, что груз движется все время в направлении касательной к проволоке. Следовательно, v есть скорость, с которой проходится дуга s, . Подставляя это выражение в (1), находим:

Следовательно, время пути представляется интегралом:

Выражая ds через х, получаем:

Это и есть тот интеграл, минимум которого мы должны найти. Пусть y = f(x) есть уравнение искомой кривой, а у = f(х) + ε(х) уравнение соседней кривой. Обозначим время движения вдоль этой последней кривой через t+dt, где

Нужно проинтегрировать член, зависящий от по частям, и принять во внимание, что ε исчезает в концах интервала интеграции. После того, как это будет сделано, подынтегральное выражение сведется к произведению двух множителей. Один из них есть ε, как и ранее, и является произвольным, Так как весь интеграл должен исчезать, то обращается в нуль другой множитель, что приводит к дифференциальному уравнению:

Возможно решить это уравнение после выполнения указанного дифферен- цирования, но оказывается проще сделать это сразу для уравнения (3). Так как процесс интеграции, который мы сейчас применим, оказывается полезным при решении практических задач, то мы проведем его шаг за шагом.

Прежде всего заметим, что уравнение не содержит х. Поэтому заменяем эквивалентным ему символом . Собирая все члены, содержащие , в левую часть, приводим уравнение к виду:

В левой части уравнения выражение, стоящее перед знаком почти равно выражению под знаком . Если бы они вполне совпадали, то левая часть была бы произведением функции на ее производную и интеграл от левой части равнялся бы квадрату этой функции. Умножаем поэтому обе части уравнения на такой фактор, чтобы указанное условие было выполнено.

Очевидно, что этот множитель есть:

В правой части вместо показателя войдет при этом 2. Произведя эту замену, мы тотчас же можем проинтегрировать уравнение. Получим:

Это уравнение легко разрешить относительно ; получим в результате:

Вычисление этого интеграла упрощается, если произвести замену переменного:

при этом интеграл будет равен:

Уравнения (4) и (5) определяют вместе искомую брахистохрону в функции вспомогательной переменной, или «параметра», θ. Если дадим этому параметру частное значение, можем найти значение х из уравнения (5), а соответствующее значение y=f(x) из (4). Очевидно, что давая ряд значений θ, мы получим ряд точек на брахистохроне. Кривая, которая при этом получится, есть циклоида, изображенная на рисунке. Можем исключить θ из уравнений (4) и (5) и получить таким образом кривую в обычной форме:

Но удобнее пользоваться параметрическими уравнениями (4) и (5), вместо этого сложного уравнения.

Задача. Среди гладких кривых, начинающихся в точке (а, А)= (0, 0) и оканчивающихся на прямой x = b > 0, найти кривую наискорейшего спуска.

Решение. Время спуска Т(у) на кривой Y=y(x) определяется интегралом

Лагранжевыми кривыми в данном случае являются циклоиды вида

Условие трансверсальности в данном случае принимает вид

Искомая циклоида должна пересекать прямую х=b ортогонально.

Вершина циклоиды необходимо лежит на прямой х=b.

Задача. Среди гладких кривых Y = y(x), начинающихся в точке (а, А) и оканчивающихся на кривой L с уравнением Y= Ф(x), найти кривую наименьшей длины, т.е. найти расстояние от (а, А) до кривой L.

Решение. Длина s(y) кривой

Y = y(x), y(a) = A, y[ β(λ) ] = Ф[ β, λ ]

s(y)= .

Лагранжевыми кривыми в данном случае являются, очевидно, прямые

.

1 + = 0.

Следовательно, искомая прямая Y = y(x) должна пересекать кривую L ортогонально.

Из проведенных рассуждений также следует, что отрезок наименьшей длины, соединяющей кривые и должен быть ортогональным и к и к .

Рассмотрим точки А и В на поверхности, изображенной на рисунке. Среди всех кривых, которые мы можем провести на этой поверхности из точки А в точку В, существует одна кратчайшая. Она называется геодезической. Эту геодезическую линию мы и будем отыскивать. Один из способов определить эту геодезическую есть определение ее проекции на плоскость ху. Уравнение проекции А’В’ вместе с уравнением поверхности вполне определяют геодезическую линией. Пусть уравнение поверхности есть z = Ф(x, y).

Тогда, если х и у получат приращения dx и dy, то z получит приращение:

Следовательно, для элемента длины дуги ds имеем:

Предположим, что точки А и В соединены произвольной кривой, проекция которой на плоскость ху есть у = у(х). Тогда длина кривой равна:

Минимум этого интеграла мы ищем.

В качестве примера рассмотрим случай параболического цилиндра, изображенного на следующем рисунке; его

z = b

т. е. (1) обращается в

Можно получить из этого интеграла дифференциальное уравнение геодезической линии обычным способом, который был уже подробно разъяснен, так что не стоит этого повторять. Это уравнение будет:

Легко решить это уравнение. Решение дает семейство кривых на поверхности, обладающих тем свойством, что если на какой-нибудь из кривых мы отметим пару точек, то расстояние по этой кривой между этими точками меньше расстояния между ними по любой другой кривой. Если мы хотим найти геодезическую линию, проходящую через две заданные точки, то, выбирая координаты этих заданные точки, точек в качестве граничных значений, можем определить постоянные интеграции в общем решении.

Задача. Определить линию наименьшей длины, соединяющую точки (a, и (b, по поверхности G(x, y, z) = 0.

Решение. Длина пространственной кривой у = у(х), z = z(x), определяется интегралом

s(y, z)= .

Строим функцию Лагранжа:

F*=

Для определения экстремали получаем систему Эйлера

λ = 0

λ = 0

которую следует решать с учетом уравнения связи G = 0 и граничных условий.

Задача. Среди кривых y, соединяющих точки (a, A) и (b, B), где A, B>0, и имеющих заданную длину l, > + ,найти такую, чтобы криволинейная трапеция, ограниченная сверху этой кривой, имела наибольшую площадь. Другими словами, найти максимум функционала

s(y)=

при граничных условиях

и изопериметрической связи

=l.

Решение. Вспомогательная функция имеет в данном случае вид

.

Функционал является специальным, ибо не содержит x явно, поэтому вариационное уравнение Эйлера для этого функционала имеет первый интеграл

y- .

Для интегрирования последнего уравнения введем вспомогательный параметр t, пологая . Тогда

И поэтому dx= λ cos t dt или x= λ sin t+

.

.

Экстремалями являются окружности. Постоянные обычным образом определяется из граничных условий и изопериметрической связи.

Задача разрешима, если дуга окружности длины l, соединяющая точки (a, A) и (b, B), не выходит из полосы a x b.

В двух точках и на одном уровне и на расстоянии друг от друга подвешена нить. Требуется найти форму, которую примет эта нить под действием силы тяжести. Пусть кривая на рисунке изображает эту форму, и рассмотрим какой-нибудь элемент длины ds [3] .

Одно из основных предложений механики состоит в том, что этот элемент должен быть в равновесии под действием сил, действующих на него. Эти силы суть:

a) его собственный вес, являющийся силой, действующей вертикально вниз;

b) натяжение нити в нижнем конце, действующее в направлении касательной в этой точке;

c) натяжение нити в верхнем конце, действующее в направлении касательной в этой точке.

Обозначим наклоны касательных в двух концах через — θ и θ + , напряжения — через Т и T + dT и линейный вес [4] нити — через т. Тогда, если три силы разложены на их х- и y- компоненты, мы получим соответственно:

Если элемент нити должен быть в равновесии, под действием этих сил необходимо, чтобы сумма компонент X и сумма компонент У были ну лями, т. е.:

Деля почленно эти уравнения, имеем:

Первое из уравнений (1) утверждает, что горизонтальная компонента натяжения одна и та же в двух концах элемента ds.

Так как элемент ds произвольно выбранный, то отсюда следует, что эта компонента одна и та же в каждой точке кривой[5] . Если обозначим ее через k, то (2) примет вид:

Если мы запишем это последнее в виде

и будем приближать ds и dθ к нулю, то левая часть уравнения обратится в производную tan θ. Итак:

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой, выраженное, как говорят математики, во внутренней форме, т. е. оно выражает длину s, измеренную, начиная с некоторой точки, в функции наклона касательной. Для многих вопросов, однако, внутренняя форма не очень удобна, и поэтому лучше свести ее к обычной декартовой форме. Для этого нужно произвести замену обеих переменных s и θ на х и у, связанных с первыми соотношениями:

Переменное s исключается, если мы заметим, что

Дифференцируя первое из уравнении (4) по х, мы получаем:

Результат подстановки будет поэтому:

Упростив (5), получаем:

Это и есть дифференциальное уравнение кривой провеса нити, выраженное в функции декартовых координат х и у.

Если две точки А и В (см. рисунок) связаны кривой y = f(x) и вся эта фигура вращается около оси x, то кривая образует при этом поверхность вращения.

Площадь этой поверхности зависит от формы кривой, т. е. от формы функции f(x). Существует кривая, обладающая тем свойством, что ее поверхность вращения имеет наименьшую площадь.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение этой кривой. Так как задача похожа на те задачи анализа, где приходится отыскивать точки максимума или минимума кривой, то полезно напомнить рассуждение, при помощи которого такие задачи решаются. Оно состоит в основном из трех шагов.

1) Абсцисса минимальной точки предполагается сначала известной и обозначается, например, буквой х.

2) Отмечается, что передвижение из точки минимума в любом направлении увеличивает функцию, другими словами, что f(x+ε) и f(x ε) больше f(x).

3) Если ε очень мало, то

f(x+ε) f(x)+ε f(x — r) f(x) ε.

Одно из этих выражений больше f(x), а другое меньше, если только f (х) не обращается в нуль. Но в силу 2) этого быть не может, следовательно в точке минимума производная функция должна исчезать.

Конечно, этого одного недостаточно. Напомним, что условие 3) необходимо также для максимума, и до тех пор пока мы не рассмотрели вторую произ-водную, нельзя узнать, что именно мы получили.

Однако это все, что нужно для наших целей.

Мы решим нашу задачу путем совершенно аналогичным.

1) Предполагаем, что искомая кривая известна и что ее уравнение есть

2) Если будем менять форму кривой произвольно, то площадь поверхности вращения должна при этом увеличиваться. Если обозначить разность между ординатами новой и старой кривых через ε(x), то новое уравнение будет:

3) Можно показать, что если некоторое дифференциальное выражение не равно нулю, то площадь, описанная кривой f(х)+ε(х), будет больше площади, описанной кривой f(x), а площадь, описанная кривой f(х) ε(x), будет меньше этой последней. Отсюда дифференциальное выражение должно исчезать. Это приводит к дифференциальному уравнению, решение которого определяет искомую кривую.

После того как мы наметили таким образом нашу задачу, приступим к детальному проведению третьего шага. Прежде всего нужна написать выражение для площади поверхности вращения. Это- простая задача анализа, ответом на которую служит выражение:

Заменим теперь y = f(x) новой кривой

При вращении этой кривой получим площадь:

Если ε есть малое изменение у, и выбрано так, что ε тоже мало, то

Члены, не написанные в (1), содержат степени ε порядка выше первого и могут быть поэтому отброшены. Если dA не равно нулю, то оно меняет знак при изменении знака е. Это означает, что площадь поверхности вращения для новой кривой меньше, чем для самой кривой, что, конечно, противоречит предположению, что она давала наименьшую площадь. Отсюда dA должно обращаться в нуль.

Уравнение (1) является в некотором смысле эквивалентным выражению εf(х) для случая анализа. Однако между ними есть существенная разница. В дифференциальном исчислении ε входит только множителем, и поэтому произведение могло равняться нулю только при исчезновении второго множителя. Для уравнения (1) в этой его форме мы не можем этого утверждать. Оно должно быть так изменено, чтобы исчезло . Прежде всего наш интеграл состоит из двух частей, одна из которых содержит ε, а другая .

Оставляем первый интеграл без изменения, а второй интегрируем по частям:

Так как условия задачи требуют, чтобы каждая интегральная кривая проходила через точки А и В, то ε(х) должно исчезать для обоих пределов интеграции. Поэтому первый член правой части равенства (2) обращается в нуль. Подстановка оставшегося члена в уравнение (1) дает искомое необходимое условие минимума в виде:

Теперь, как в случае дифференциального исчисления εf(x), подинтегральная функция состоит из двух множителей: ε(x), которое произвольно, и выражения в скобках, содержащего только f(x) и ее производные. Так же как и в случае задачи дифференциального исчисления, последние фактор должен обратиться в нуль. Действительно, предположим обратное. Тогда в некоторых интервалах между оно отрицательно, в других положительно. Так как ε(х) произвольная функция [6] , то она может быть выбрана положительной там, где другой множитель отрицателен, и отрицательной в остальных точках. Тогда (3) будет отрицательным и площадь поверхности уменьшится. Итак, мы приходим к заключению, что искомая кривая y = f(x) должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

Уравнение это настолько просто, что его решение предоставляем читателю. Следует отметить, что это уравнение второго порядка и поэтому может удовлетворять двум граничным условиям. Так как в задаче даются как раз два граничных условия—точки А и В,—то наш результат вполне соответствует поставленной задаче.

Особенный исторический интерес имеет так называемая задача Дидоны. По преданию, Дидона, попав в немилость своему брату Пигмалиону, собрала все деньги, какие могла, и убежала на южный берег Средиземного моря. Там она заключила сделку с царем Иарбасом на покупку такого количества земли, сколько можно было отмерить при помощи шкуры вола.

С остроумием и хитростью, которых всегда достаточно в мифологии, она разрезала кожу на тонкие ремешки, связала их друг с другом и окружила при помощи их место Карфагена. С характерной для финикиян настойчивостью в достижении поставленной цели, она не соединила концы, а поместила их на берегу моря. Задумав свой блестящий план, она встретилась с задачей, каким образом так расположить ремень, чтобы охватить им наивыгоднейшую часть земли, которая может быть максимальной или нет, в зависимости от обстоятельств.

Задача Дидоны состоит, таким образом, в следующем: задана кривая (берег моря), известна цена земли (изменяющаяся с изменением места); как провести кривую заданной длины, чтобы стоимость площади между этими двумя кривыми была максимальной?

Чтобы иллюстрировать метод изучения изопериметрических задач, решим задачу Дидоны для простейшего случая, именно предположим, что земля имеет всюду одинаковую ценность и что берег моря прямолинейный. Кроме того предположим, что концы веревки помещены в две заданные точки, расстояние между которыми равно X[7] . Задача сводится к определению кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь.

Следовательно, эта кривая удовлетворяет двум условиям, изложенным на ее длину и на площадь, которую она ограничивает. Выбирая берег моря за ось х и помещая один из концов веревки в начало координат, мы можем записать эти условия в виде равенств:

Первый интеграл имеет заданное значение, второй должен быть сделан наибольшим, путем выбора соответствующей функции f(x).

Пусть искомая кривая, удовлетворяющая поставленным требованиям, имеет уравнение у=f(x), длина ее равна , а ограничиваемая ею площадь равна . Попытаемся применить наш прежний метод и сравним кривую y=f(x) с кривыми у =f(x) ε(x), где ε(х) мало, но в остальном произвольно.

Очевидно, нельзя уже сказать, что + dA — новая площадь дли кривой сравнения — меньше чем . Действительно, кривая сравнения может оказаться длиннее прежней и поэтому заключить большую площадь. Другими словами, наше прежнее рассуждение не годится и мы должны найти новый метод исследования.

Для этой цели рассмотрим вместо кривой Дидоны длины , новую кривую длины + dL, где dL может быть как положительно, так и отрицательно. Предположим, что новая кривая так расположена, что ограничивает максимальную площадь, которая будет больше или меньше , в зависимости от знака dL. Обозначим, наконец, вновь полученную площадь через [8] А + ΔА, а отношение (или предел этого отношения при dL стремящемся к нулю) через λ. Мы можем теперь утверждать, что если мы изменим длину кривой на величину dL, то наибольшая площадь, которую она при этом может ограничивать, будет равна Aо + λ dL.

Вернемся теперь к произвольной кривой сравнения у =f(x) + ε(x), и пусть эта кривая имеет длину L0 + dL, большую, меньшую или равную Lo. Обозначим через Ао + dA площадь, ограниченную этой новой кривой. Какова бы ни была эта площадь, она не может быть больше A0 + λdL, так как по предположению это—максимальная площадь, для кривой длины Lo + dL. Отсюда следует, что

dA λdL,

dA λdL 0.

Это приводит к теореме:

Как бы мы не изменили кривую y = f(x), изменяя ее длину или нет, величина dA λdL никогда не является положительной. Но если dA λdL не положительно, то А λL не может быть больше для новой кривой, чем для прежней. Мы можем, следовательно, высказать полученную теорему в более выразительной форме:

Кривая, для которой величина А наибольшая по сравнению с кривыми той же длины, делает наибольшей величину А λL. по сравнению с кривыми произвольной длины.

Поэтому решить задачу максимума для А с ограничением, что длина кривых сравнения L , равна Lo, — то же самое, что решить задачу максимума для А λL без всяких ограничений на кривые сравнения. Правда, правильное решение задачи получится только в том случае, если λ выбрана правильно, а так как невозможно определить λ, не зная решения задачи, то может показаться, что мы ничего не достигли нашим рассуждением.

Мы увидим, однако, что, предполагая пока λ неизвестной постоянной, мы найдем в дальнейшем способ ее определения. Итак, интеграл, максимум которого требуется найти, есть:

Обычные преобразования приводят к дифференциальному уравнению:

+ =λ

Это — уравнение круга, радиуса λ, с центром в точке (α, β). В него входят три произвольных постоянных α, β и λ, но мы имеем три условия для их определения, так как кривая должна проходить через точки (0,0), (X, 0) и должна иметь длину L.

Простейший способ определения постоянных— геометрический. Известно, что центр круга, проходящего через две точки А и В, лежит на перпендикуляре, делящем хорду АВ пополам. Отсюда а равняется . Так как гипотенуза и один из катетов треугольника ADC известны, то легко вычислить другой катет.

Итак, получаем для β значение . Наконец, есть величина угла АС В, измеренного в радианах. Угол ACD равен половине этого угла, и его синус равен

Это дает нам уравнение:

откуда можно определить λ. Уравнение трансцендентное и его нельзя решить алгебраическим методом. Его можно решить приближенно путем догадки или с помощью рядов. Так, например, если L равно 1,25 X, λ оказывается равным , а следовательно, β=-0,234Х. Это как раз тот круг, который изображен на рисунке.

Данная состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.

Целью курсовой работы являться рассмотрение геометрических задач и приведение их к дифференциальным уравнениям.

В ходе выполнения данной курсовой работы мы пришли к тому, что часть дифференциальных уравнений разрешимы явно, а часть уравнений явно неразрешимы.

Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что цель курсовой работы достигнута.

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1984. – 271 с.

2. Богданов Ю. С. Лекции по дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышейшая школа, 1977. – 239 с.

3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. И др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – Киев: Вища школа, 1974. – 471 с.

4. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Высшая школа, 1983. – 128 с.

5. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. – М.: Просвещение, 1988. – 256 с.

6. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышейшая школа, 1987. – 319 с.

7. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – Минск: Вышейшая школа, 1974. – 766 с.

8. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: 1952 Ленинград.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1970. – 331 с.

10. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи. – Киев: Вища школа, 1984. – 408 с.

11. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. – М.: Наука, 1964. – 205 с.

12. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1972. – 724 с.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 724 с.

14. Торнтон Фрай. Элементарный курс дифференциальных уравнений. – М.: 1933 Ленинград.

15. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1979. – 352 с.

[1] Предполагаются различными те линии семейства (2), кото­рым соответствуют различные С.

[2] Она зависит от , высоты в точке A, которую мы можем сделать произ­вольной подходящим выбором начала координат.

[3] На самом деле этот элемент есть приращение длины дуги и обозначается в дифференциальном исчислении через Δs. Однако в физических исследованиях, если такое приращение будет стремиться к нулю, пользуются сразу символом диференциала. Это редко приводит к недоразумениям и часто оказывается олез-ным, давая рассуждению большую наглядность.

[4] Т.е. вес на единицу длины.

[5] Это есть, вместе с тем, наименьшее натяжение для точек кривой, а именно — натяжение внизу, где вертикальная компонента натяжения исчезает.

[6] Мы только предполагали ε и очень малыми. Однако и эти ограничения не необходимы и были сделаны только для упрощения рассуждения.

[7] Если точки О и X слишком близки между собой, то может случиться, что придется протягивать веревку под точками берега вне интервала (OX), и инте­гралы в написанной форме не верны. Мы не будем рассматривать этих случаев; мы будем считать у однозначной функции х.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

«Я.С. Гриншпон ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Учебное пособие Томск Издательство Томского государственного . »

Министерство образования и науки Российской Федерации

Видео:Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Видео:Решение физических задач при помощи диффуров | Дифференциальные уравненияСкачать

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ

Видео:Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать

И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

СВОДЯЩИЕСЯ

Видео:Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможениеСкачать

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

Видео:Дифференциальные уравнения в решениях физических задач БЕЗ ДЯДИ КОЛИ (100)Скачать

УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие Томск Издательство Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники УДК 517.91, 51.7 ББК 22.161.6я73 Г85

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томск.

гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники А.А. Ельцов;

канд. физ.-мат. наук, доц. каф. мат. анализа Томск. гос. ун-та Э.Н. Кривякова Гриншпон Я.С.

Г85 Геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям: учеб. пособие / Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр.

и радиоэлектроники, 2011. – 74 с.

ISBN 978-5-86889-547-0 Приведены геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Все задачи снабжены подробными решениями. Может использоваться как дополнительное учебное пособие при изучении дифференциальных уравнений в курсах высшей математики и математического анализа для технических и экономических специальностей вузов.

УДК 517.91, 51.7 ББК 22.161.6я73 Учебное издание Гриншпон Яков Самуилович

Видео:Задача на составление дифференциального уравненияСкачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие Корректор Л.И. Кирпиченко Компьютерная верстка Я.С. Гриншпона Подписано в печать. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 4,42. Заказ. Тираж экз.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники.

634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

Тел. 8 (3822) 533018.

© Гриншпон Я.С., 2011 ISBN 978-5-86889-547-0 © Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники, 2011 Предисловие Многие студенты технических специальностей, проходящие курс высшей математики на младших курсах, высказывают мнение, что «математика — это сухая теория, не имеющая практического значения». Конечно же, впоследствии, постоянно сталкиваясь с математическим аппаратом на специальных предметах, они изменят свое мнение. Но для лучшего усвоения материала и усиления заинтересованности в процессе обучения важно объяснить практическую ценность математических знаний именно в период их получения, т.е. на первом и втором курсах.

Данное пособие призвано хотя бы частично помочь в решении поставленной проблемы. В нем рассматриваются достаточно простые прикладные задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям. Отметим, что для решения всех предложенных задач не требуется никаких дополнительных знаний из области физики, геометрии или экономики, так как все необходимые сведения из этих областей приводятся в начале каждого параграфа. Однако так как данное пособие предназначено для использования в курсе высшей математики, то сведения из других наук не претендуют на полноту и общность и для более глубокого их изучения следует воспользоваться специализированной литературой по данным предметам.

Пособие подготовлено с использованием работ [1–12].

Задача 3. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку (–1; 1).

1.2. Задачи на площадь криволинейной трапеции Напомним, что криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, которая в декартовой системе координат ограничена осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком непрерывной функции y = f ( x). Если a b, то площадь криволинейной трапеции равна значению определенb – &nbsp– &nbsp–

Из указанных формул видно, что задачи, связанные с криволинейной трапецией, как правило, сводятся к интегральным уравнениям. Однако дифференцирование обеих частей уравнения и использование факта, что производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, позволяет в большинстве случаев перейти от интегральных уравнений к дифференциальным.

Задача 8. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: если через любую точку данной кривой провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:3.

Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку (1; –1).

Решение. Выберем точку A ( x0 ; y0 ) на кривой. Условие задачи подразумевает, что x0 и y0 отличны от нуля и что дуга искомой кривой от начала координат O до точки A не выходит за рам- у ки прямоугольника с вершинами в этих A точках. Тогда кривая делит прямоугольник на две части, одной из которых является криволинейная трапеция O х (рис. 10). Находим, что площадь пря- Рис. 10 моугольника равна x0 y0, а площадь x0 0

отрицательных x0, при этом площадь трапеции должна составлять 1/4 или 3/4 от площади прямоугольника.

Возможны четыре случая. Если точка A лежит в первой x x четверти, то 4 ydx = xy или 4 ydx = 3 xy. Дифференцируя,

Задача 9. Записать уравнения кривых, для любой точки которых абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим данную точку с ее проекцией на ось абсцисс, составляет 90 % от абсциссы этой точки.

уравнение. Приведем подобные и еще раз продифференцируем: y + xy = 9 y — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение имеет вид y = cx8. Легко проверить, что уравнение 10 xy dx = 9 x y dx, верное для отрицательных x0, привоx x дит к этому же ответу. Итак, задача решена для положительных y, т.е. для c 0, но, как было отмечено выше, ответ верен и для отрицательных y, т.е. для c 0. Однако при нулевом y, т.е. c = 0, задача теряет смысл.

Ответ: y = cx8, где x 0 и c 0, — общее решение.

Глава 2. Физические задачи

2.1. Задачи на движение При прямолинейном движении мгновенные скорость и ускорение определяются как первая и вторая производные соответственно от перемещения (пути), т.е. скорость v(t ) = s(t ) и ускорение a (t ) = s(t ) = v(t ), где s(t) — перемещение точки за время t. Напомним, что если при прямолинейном движении тело не меняет направления движения, то понятия перемещения и пройденного пути совпадают.

Пусть теперь данное движение вызвано силой F, направленной вдоль прямой движения. Тогда по второму закону Ньютона F = ma = ms. В обычно встречающихся задачах сила зависит от расстояния s или скорости v, что приводит к дифференциальному уравнению ms = F ( s) или mv = F (v). Далее мы рассмотрим три примера действующей силы: силу сопротивления, силу упругости и центробежную силу.

Сила сопротивления. Как показывает опыт, если тело при движении испытывает сопротивление среды, то сила этого сопротивления возрастает при увеличении скорости тела. При этом если скорость движения невелика и тело имеет малые размеры, то силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости (например, сопротивление воды при движении плавучего средства по ее поверхности или при погружении небольшого объекта в воду).

Если же скорость и размеры предмета велики, то сопротивление становится пропорциональным квадрату скорости (например, свободное падение большого тела в воздухе). Итак, сила сопротивления Fr = v или Fr = v 2, где — коэффициент сопротивления. Часто для удобства коэффициент уменьшают в m раз, где m — масса движущегося тела, т.е. записывают Fr = mv или Fr = mv 2, что позволяет сократить на ненулевой множитель второй закон Ньютона. Действительно, если, например, на тело действует только сила сопротивления, то получаем уравнения mv = mv или mv = mv 2, которые сокращаются до v = v или v = v 2. Знак минус в этих уравнениях показывает, что сила сопротивления (а значит, и вызываемое ею ускорение) имеет направление, противоположное скорости движения тела.

Сила упругости. Если пружина находится в состоянии покоя, то по первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на нее, равна нулю. Однако закон Гука утверждает, при небольшой деформации пружины, т.е. при изменении ее длины, возникает сила упругости, пропорциональная величине этого изменения, которая стремится вернуть пружину в исходное положение. Следовательно, при рассмотрении колебаний пружины достаточно рассматривать силу упругости Fe = ks, где k — коэффициент жесткости пружины; s — отклонение от положения равновесия, и, возможно, силу сопротивления движению пружины, остальные же силы (в том числе сила тяжести) уравновешивают друг друга. Таким образом, второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению второго порядка ms = ks, или ms = s ks, или ms = ( s) 2 ks. Здесь через m обычно обозначают массу груза, прикрепленного к пружине, массой же самой пружины, как правило, пренебрегают. Знак минус указывает на то, что сила упругости направлена в сторону, противоположную отклонению пружины, а сила сопротивления противоположна вектору скорости.

Центробежная сила. На тело массой m, движущееся по окружности радиуса r с угловой скоростью, действует центробежная сила Fc = m2 r, направленная от центра окружности вращения.

Также заметим, что если тело движется не по прямой, а в плоскости или в пространстве, то задача обычно сводится уже не к одному дифференциальному уравнению, а к системе двух или трех уравнений соответственно. Связано это с тем, что описанные выше соотношения приходится рассматривать для проекций векторов перемещения, скорости, ускорения и силы на оси координат. Например, векторное равенство v = s приводит к трем скалярным равенствам vx = x, v y = y и vz = z, где vx, vy и vz — проекции скорости; x, y и z — координаты движущейся точки.

Задача 10. Под действием сопротивления воды лодка за 1 мин замедлила свое движение с 6 до 1 км/ч.

Какой путь пройдет лодка до полной своей остановки?

Решение. Пусть v(t) — это скорость лодки в момент времени t.

Лодка замедляет свое движение за счет силы сопротивления воды, пропорциональной скорости лодки:

Fr = mv. Тогда второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными v = v, решение которого имеет вид v = cet. Воспользовавшись условиями v(0) = 6 и v = 1, получим, 60 что c = 6 и 6e = 1, откуда e = 660. Следовательно, скорость движения лодки задается уравнением v = 6160t.

Из данного равенства видно, что теоретически в любой конечный момент времени скорость лодки положительна и остановка может произойти только при t =. Итак, путь

Отметим, что функция v = 6160t очень быстро приближается к нулю. Например, уже через 10 мин скорость будет составлять меньше одной десятой миллиметра в час, т.е. практически равной нулю. Поэтому при расчете пути лодки до ее полной остановки несобственный интеграл можно заменить определенным s = 6160t dt, при этом погрешность будет крайне незначительной, меньшей, чем одна тысячная миллиметра.

Ответ: 55 м 81 см.

Задача 12. Груз массой 320 г подвешен на легкой пружине и выведен из состояния покоя вытягиванием пружины на 8 см, при этом возникла сила упругости 1 Н.

Затем груз подбросили вертикально вверх, придав ему начальную скорость 0,5 м/с. Найти период и амплитуду свободных колебаний груза, если движение происходит без сопротивления.

Задача 14. Трубка с находящимся в ней шариком равномерно вращается вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси, причем за десять минут трубка делает три полных оборота.

Чему станет равным расстояние от шарика до оси через минуту после начала вращения, если изначально оно равнялось 4 см и шарик имел нулевую скорость?

Решение. Пусть r(t) — это расстояние от шарика до оси вращения в момент времени t. Угловая скорость вращения = 0, 01 рад/c. Учитывая действующую трубки равна на шарик центробежную силу Fc = (0, 01) 2 mr, где m — масса шарика, составим уравнение mr = (0, 01) 2 mr, или r (0, 01) 2 r = 0. Характеристическое уравнение (0, 01) = 0 имеет корни 1,2 = ±0, 01, значит, r = c1e0,01t + c2 e0,01t.

Из начальных условий r (0) = 0, 04 и r (0) = 0 видно, что c1 = c2 = 0, 02 и r = 0, 04 ch 0, 01t. Подставляя в качестве времени 60 с, получим r = 0, 04 ch 0, 6 0,135 м.

Ответ: 13 см 5 мм.

Задача 15. Горизонтальная трубка вращается с угловой скоростью 0,2 рад/c вокруг вертикальной оси.

В трубке находится пружина длиной 10 см и коэффициентом жесткости 0,48 кг/c2, к концам которой прикреплены грузики массой 600 г и 400 г, причем в момент начала вращения пружина не растянута и грузики одинаково удалены от оси вращения. Найти зависимость изменения длины пружины от времени.

Решение. Пусть r1(t) и r2(t) — это расстояния в метрах от оси вращения до первого и второго грузиков соответственно (первым будем считать грузик в 600 г, а вторым — грузик в 400 г) в момент времени t.

В процессе вращения под действием центробежных сил Fc1 = 0, 6 0, 22 r1 = 0, 024r1 и Fc 2 = 0, 4 0, 22 r2 = 0, 016r2 грузики начинают удаляться от оси вращения, что приводит к растягиванию пружины. Возникает сила упругости. Заметим, что удлинение пружины равно разности между длиной пружины в текущий момент времени и первоначальной длиной, т.е. (r1 + r2 0,1) м. Следовательно, сила упругости составляет Fe = 0, 48(r1 + r2 0,1) Н, причем она направлена в сторону оси вращения, т.е. противоположна направлению центробежных сил.

Задача 16. Однородная цепь длиной 2,5 м соскальзывает с горизонтального стола, причем в начальный момент времени со стола свисает конец длиной 10 см.

Пренебрегая трением и считая ускорение свободного падения равным 10 м/c2, найти время соскальзывания всей цепи.

Решение. Пусть l(t) — это длина в метрах свисающей со стола части цепи в момент времени t. Силой, под действием которой движется цепь, является сила тяжести свисающей части Fg = mg = 10l, где через обозначена линейная плотность цепи. Из второго закона Ньютона следует, что Fg = Ma = 2,5l (здесь m = l — масса свисающей части цепи, а M = 2,5 — масса всей цепи). Получаем 10l = 2,5l, дифференциальное уравнение или 2,5l 10l = 0 — это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка.

Характеристическое уравнение 2,5 2 10 = 0 имеет корни 1,2 = ±2, значит, l = c1e 2t + c2e 2t. Неизвестные константы можно найти, исходя из начальных условий l (0) = 0,1 и l (0) = 0, которые приводят к системе уравнеc + c = 0,1 ний 1 2, откуда c1 = c2 = 0, 05, и решение приниc1 2c2 = 0 мает вид l = 0, 05 ( e 2t + e 2t ) = 0,1ch 2t.

Для нахождения времени соскальзывания всей цепи надо принять длину l равной 2,5 0,1 = 2, 4 м. Получим

2.2. Задачи на реактивное движение При движении тела с переменной массой (например, космический корабль) второй закон Ньютона не применим, так как он справедлив только для тел с постоянной массой.

В этом случае используют так называемое уравнение Мещерского mv = F + um, где m(t) — масса тела; v(t) — его скорость; F(t) — действующая на него сила в момент времени t. Через u(t) обозначена относительная (относительно самого движущегося тела) скорость частиц, присоединяющихся к телу, или, наоборот, отсоединяющихся от него.

При движении космической ракеты u — это скорость истечения продуктов горения из сопла ракеты, причем в этом случае ускорение v и скорость истечения газов u имеют противоположные направления.

Величину m, характеризующую скорость изменения массы тела, называют секундным расходом массы. Заметим, что если масса тела постоянна, то секундный расход равен нулю и уравнение Мещерского превращается во второй закон Ньютона. В случае же летательного аппарата с реактивным двигателем секундный расход отрицателен, так как масса аппарата уменьшается в ходе движения. В простейших моделях секундный расход топлива считают постоянным.

Комментарий. Отметим, что в ходе решения данной задачи мы фактически вывели формулу скорости космического аппараM та v = u ln, которая впервые была получена Циолковским в m 1897 году и сейчас носит его имя. В этой формуле через M и m обозначены начальная и конечная (после выработки топлива) массы космического аппарата, через u — скорость газовой струи. Скорость ракеты v, вычисляемую по формуле Циолковского, называют характеристической. Реальная же скорость, как правило, ниже характеристической из-за влияния сил гравитации и сопротивления среды, а также из-за потерь, вызванных затратами на управление движением космического корабля.

Задача 19. Ракета с начальной массой 250 т движется вертикально вверх под действием силы тяги реактивного двигателя.

Скорость истечения газов и секундный расход топлива постоянны и равны 3 км/c и 1 т/с соответственно.

На какую высоту поднимется ракета через минуту после старта, если на поверхности Земли скорость ракеты равна нулю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Пусть m(t) и v(t) — это масса и скорость ракеты соответственно в момент времени t. На движение ракеты оказывают влияние сила тяги двигателя ракеты и сила тяжести Земли Fg = mg. Значит, уравнение Мещерского запишется в виде mv = 0, 01m 3m (ускорение свободного падения считаем равным 0,01 км/с2, численное значение расхода топлива пока не подставляем). Выразим ускореm ние: v = 0, 01 3, и проинтегрируем обе части по вреm мени: v = 0, 01t 3ln m + c. Так как в момент старта скорость ракеты нулевая, а масса составляет 250 т, то c = 3ln 250 и v = 3ln 0, 01t.

m Итак, для нахождения скорости ракеты в произвольный момент времени осталось выразить массу ракеты через время. Так как секундный расход топлива m = 1 т/с, то, интегрируя, находим, что m = c t, где при t = 0 видно, что c = 250 и m = 250 t. Подставив выражение для массы ракеты в выведенную нами формулу скорости, получим v = 3ln 0, 01t = 3ln(1 0, 004t ) 0, 01t.

250 t Высоту подъема ракеты за одну минуту найдем как инh = 3 ln(1 0, 004t )dt 0, 01 tdt = теграл от скорости:

= (750 3t ) ln(1 0, 004t ) 0 + 3t 0 0, 005t = 570 ln 0, 76 + +180 18 5,571 км.

Ответ: 5 км 571 м.

Комментарий. Достаточно небольшая высота подъема ракеты показывает, что напрямую использование аппаратов с реактивным двигателем для преодоления силы тяжести Земли нерационально. На практике в современной космонавтике используются более сложные многоступенчатые ракеты-носители. При этом расчеты скорости и высоты подъема каждой отдельной ступени осуществляются по тем же принципам, что и в приведенных в данном параграфе задачах.

2.3. Задачи на радиоактивный распад Радиоактивным распадом называют самопроизвольное превращение ядер атомов некоторых элементов в ядра других элементов. Радиоактивный распад носит статистический характер: ядра атомов распадаются не одновременно все сразу, а в течение времени существования данного изотопа. Экспериментальным путем установлено, что мгновенная скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества, имеющемуся в данный момент, т.е.

m = m, где m — масса нераспавшегося вещества; — постоянная распада. Знак минус берется потому, что масса вещества уменьшается, а значит, скорость его изменения отрицательна. Время, в течение которого распадается половина имеющегося вещества, называется периодом полураспада. Периоды полураспада основных радиоактивных изотопов приводятся в физических справочниках, например для радона он составляет около четырех суток, для радия — 16 веков, для плутония — более 24 тысячелетий, а для урана-238 — 4,5 миллиарда лет.

Задача 20. Согласно опытам в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг.

Через сколько лет распадется четверть имеющегося радия?

Решение. Пусть m(t) — это масса оставшегося радия к моменту времени t, где время измеряется в годах. Закон радиоактивного распада приводит к уравнению с разделяющимися переменными m = m, общее решение которого имеет вид m = cet. Подставив t = 0, увидим, что константа c совпадает с величиной массы радия в начальный момент времени, т.е. c = m(0), и m = m(0)e t — частное решение. Из условия задачи следует, что за год распадается 0,044 % имеющегося радия, следовательно, к концу первого года останется 99,956 % радия, т.е.

m(1) = 0,99956 m(0). Подставляя в частное решение, находим, что e = 0,99956 и m = m(0) 0,99956t.

Если ко времени t распалась четверть радия, то m(t ) = 0, 75m(0). Получим 0, 75m(0) = m(0) 0,99956t, откуда, t = log 0,99956 0, 75 653, 679 года, т.е. примерно 653 года 8 месяцев и 4 дня.

Ответ: 653 года 8 месяцев и 4 дня.

Задача 21. В куске горной породы содержится 100 мг урана и 13 мг уранового свинца.

Известно, что при полном распаде 240 г урана образуется 208 г уранового свинца.

Считая, что в момент образования горная порода не содержала свинца, определить возраст этой горной породы.

Решение. Пусть m(t) — это масса в миллиграммах нераспавшегося изотопа урана через t лет после формирования породы. Тогда m = m и m = m(0)e t. В момент образования породы, кроме 100 мг урана, в ней также содержалось некоторое количество урана, превратившегося затем в свинец. Следовательно, m(0) = 100 + 13 = 115 мг и m = 115et.

Зная, что период полураспада урана составляет около 4,5 миллиардов лет, вычислим, что через этот срок останется 0,5 115 = 57,5 мг урана, а значит, 57,5 = 115e 4,510.

Отсюда e = 24,5 10 и m = 115 24,5 10 t. Осталось в эту формулу массы урана подставить m = 100 и выразить время: t = 4,5 109 ( log 2 100 log 2 115 ) 907 106 лет.

Ответ: 907 миллионов лет.

2.4. Задачи на смеси В сводящихся к дифференциальным уравнениям задачах на смеси обычно делается следующее допущение: перемешивание компонентов смеси происходит настолько интенсивно, что в любой момент времени смесь можно считать однородной, т.е концентрация ее компонентов одинакова во всей смеси. Если бы при этом концентрация p некоторого компонента была постоянной во времени, то, зная скорость изменения объема смеси v (л/с), можно было бы найти, что за время t объем компонента изменится на V = pvt литров. Однако, как правило, концентрация зависит от времени, и поэтому можно лишь записать, что изменение объема компонента лежит в промежутке между числами p (t ) vt и p (t + t ) vt. Если теперь эти неравенства разделить на t и перейти к пределу при t 0, то получим дифференциальное уравнение V = pv.

Из начального условия V (0) = 50 = 40 л находим частное решение V = 50 10e0,004t. Осталось в данную формулу подставить V = 50 = 45 л и найти время t = 250 ln 2 173,3 с, т.е. немного меньше трех минут.

Ответ: 2 мин 53 с.

2.5. Задачи на охлаждение и нагревание В задачах на охлаждение или нагревание тела при взаимодействии с окружающей средой температуру окружающего пространства Tc принято считать постоянной. Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения или нагревания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, т.е. T = k (T Tc ), при этом если в начальный момент времени температура тела T больше температуры окружающего пространства Tc, то происходит охлаждение и скорость T отрицательна, а если T Tc, — нагревание и T 0. Сделанное замечание объясняет, почему коэффициент пропорциональности k обычно записывают со знаком минус. Само значение величины k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы. Для нахождения коэффициента, как правило, измеряют температуру тела в некоторый промежуточный момент времени.

Часто встречаются задачи о нагревании жидкости погруженным в нее электрическим прибором (металлический стержень, спираль, кипятильник и т.д.) с силой тока, мало меняющейся во времени. В этом случае опираются на явление, называемое Джоулевым теплом: если сила тока постоянна, то вся электрическая энергия превращается в тепловую.

Для нахождения тепловой энергии пользуются формулой E = cmT, где c — удельная теплоемкость жидкости (в частности, для воды c 4200 Дж/(кг°C)); m — масса жидкости; T — изменение температуры, а для нахождеU 2 t ния электрической энергии — формулой E =, где R U — напряжение, подаваемое на прибор; R — сопротивление прибора; t — продолжительность протекания тока.

Как правило, считают, что температура не оказывает заметного влияния на теплоемкость жидкости, изменение же сопротивления прибора иногда учитывают, а иногда нет. В действительности сопротивление проводников немного увеличивается с повышением температуры, а именно верна формула R = R0 (1 + (T T0 ) ), где R0 — сопротивление при начальной температуре T0; — температурный коэффициент сопротивления. В большинстве справочников приводятся значения сопротивления R0 при температуре T0 = 20 °C.

Задача 24. Тело охладилось за 10 мин от 70 до 40 °C.

Температура окружающей среды поддерживается равной 25 °C. Сколько еще минут понадобится, чтобы тело остыло до 30 °C?

Решение. Пусть T(t) — это температура тела в момент времени t, где температура измеряется в градусах Цельсия, а время — в минутах. Тогда по закону Ньютона T = k (T 25) — это уравнение с разделяющимися переdT = kt, ln(T 25) = ln c kt и менными.

Решаем его:

T 25 T = ce kt + 25. Из условий T (0) = 70 и T (10) = 40 находим, что c = 45 и ek = 30,1, и закон охлаждения приобретает вид T = 45 30,1t + 25. Подставив в этот закон T = 30 °C, получим t = 20 мин. Так как требуется найти время, прошедшее с момента охлаждения тела до 40 °C, то окончательный ответ 20 10 = 10 мин.

2.6. Задачи на давление Давлением называют отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхноF сти, т.е. p =, где p — давление; F — сила; S — площадь.

S Единицей измерения давления в системе СИ является паскаль, Па = кг/(мс2). Однако традиционно применяются и некоторые другие единицы измерения: миллиметр ртутного столба (1 мм рт. ст. 133,322 Па) и атмосфера (1 атм = 760 мм рт. ст. 101,325 кПа).

В случае атмосферного давления действующей силой является сила тяжести столба воздуха, находящегося над рассматриваемой поверхностью. Следовательно, в этом mg случае p =, где m — масса столба воздуха; g — ускоS рение свободного падения. На уровне моря стандартным принято считать давление в одну атмосферу, т.е. чуть более 100 кПа. При удалении от поверхности Земли давление, очевидно, уменьшается.

При решении задач на давление полезен закон Бойля– Мариотта, одна из формулировок которого гласит, что при постоянной температуре давление и плотность газа пропорциональны друг другу, т.е. = kp, где —плотность;

p — давление газа. Также отметим, что по международному стандарту плотность воздуха у поверхности Земли считают равной 1,225 кг/м3.

Комментарий. В ходе решения задачи нами фактически была выведена формула вычисления атмосферного давления на любой высоте без учета понижения температуры: p = p0 e0,00012 h, называемая также барометрической формулой.

Задача 28. Воронка имеет форму конуса радиусом 9 см и высотой 25 см, обращенного вершиной вниз.

За какое время вся вода вытечет из воронки через круглое отверстие со спрямленными краями диаметром 6 мм, расположенное в вершине конуса?

Решение. Пусть h(t) — это высота жидкости в воронке в момент времени t. По закону Торричелли через отверстие 0, 0062 = 9 106 за время t выльется не боплощадью лее 9 10 0,85 20h(t )t = 1,53 105 5h(t )t и не менее

2.8. Задачи на электрические цепи Под электрической цепью понимают совокупность элементов, образующих путь для электрического тока. К числу важнейших элементов относят: резистор (сопротивление), конденсатор (емкость), катушку (индуктивность) и источник напряжения (ЭДС). Все эти элементы являются двуполюсниками, т.е. имеют два вывода (полюса), которые подсоединяются к полюсам других элементов.

Основными характеристиками любого участка цепи в момент времени t являются сила тока I(t), протекающего через данный участок, и падение напряжение U(t) от начала участка к концу. Для пассивных (т.е. поглощающих энергию) элементов связь между этими характеристиками задается следующими соотношениями: для резистора — U = RI, где R — постоянный коэффициент, называемый сопротивлением; для конденсатора — I = CU, где C — постоянный коэффициент, называемый емкостью; для катушки — U = LI, где L — постоянный коэффициент, называемый индуктивностью. Формулу U = RI называют законом Ома. Соотношение для конденсатора также часто q записывают в виде U =, где q (t ) — заряд конденсатора C в момент времени t, при этом q = I.

Между двумя катушками может наблюдаться явление взаимоиндукции, характеризующееся постоянным по времени коэффициентом взаимоиндукции M. В этом случае напряжение на катушках вычисляется по формулам U 1= L1 I1 + MI 2 и U 2 = L2 I 2 + MI1, где U1 и U2, L1 и L2, I1 и I2 — напряжение, индуктивность и ток для первой и второй катушек соответственно. Для коэффициента M всегда выполняется неравенство M 2 L1 L2, причем, чем больше взаимодействие двух катушек, тем ближе величина M к значению выражения L1 L2.

В СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), сила тока — в амперах (А), напряжение — в вольтах (В), сопротивление — в омах (Ом), емкость — в фарадах (Ф), индуктивность и коэффициент взаимоиндукции — в генри (Гн).

Активный (т.е. обладающий способностью отдавать энергию подключенным к нему элементам) элемент ЭДС, как правило, генерирует либо постоянное напряжение U = U 0, либо переменное гармоническое напряжение U = U 0 sin(t + ), где — частота; — начальная фаза.

В основе решения задач по описанию работы электрических цепей лежат законы Кирхгофа. Из первого закона Кирхгофа, в частности, вытекает, что при последовательном соединении двухполюсников сила тока на любом участке цепи одна и та же. Этот факт позволяет в задачах данного параграфа вводить одну переменную для силы тока независимо от рассматриваемого участка цепи. Из второго же закона Кирхгофа следует, что в цепи, представляющей собой замкнутый контур с единственным источником напряжения, сумма падений напряжений на пассивных элементах равна напряжению, вырабатываемому источником ЭДС. Второй закон Кирхгофа вместе с приведенными выше соотношениями для пассивных элементов, как правило, приводит к дифференциальному уравнению относительно силы тока цепи.

Установившемся режимом называется такое состояние электрической цепи, при котором сила тока либо постоянна, либо изменяется периодически.

Задача 29. В цепь последовательно включены резистор сопротивлением 5 Ом и конденсатор емкостью 2 мкФ, заряд которого в момент замыкания цепи равен 3 Кл.

Найти силу тока в цепи в момент ее замыкания и через тысячную долю секунды после замыкания.

Решение. Пусть I(t) — это сила тока в цепи, а q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. По следствию из первого закона Кирхгофа сила тока, протекающего через резистор и конденсатор, одинакова, а значит, I = q. Тогда по закону Ома напряжение на резисторе равно 5I = 5q, а q = 5 105 q.

на конденсаторе — Так как активные элементы в цепи отсутствуют, то верно равенство 5q + 5 105 q = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого имеет вид ln q = 105 t + ln c, или q = ce 100000t. Начальное условие q (0) = 3 позволяет нам записать частное решение q = 3e 100000t.

Для нахождения силы тока продифференцируем последнее равенство: I = 300000e100000t (мы не учитываем направление тока, а рассматриваем только его абсолютное значение). Подставляя t = 0 и t = 0, 001, находим, что I (0) = 300000 А и I (0, 001) = 300000e 100 0 A, т.е. за тысячную долю секунды ток фактически падает до нуля (происходит почти мгновенная разрядка конденсатора).

Ответ: 30 кА и 0 А.

Комментарий. На примере рассмотренной задачи поясним смысл понятия «установившийся режим». Если бы мы выбрали другое частное решение при c 0, то сила тока записывалась бы как сумма двух слагаемых: гармонического колебания 50(sin 50t 10cos50t ) и достаточно быстро приближающегося к нулю при t выражения ce 5t. Таким образом, при любых начальных условиях сила тока с течением времени становится мало отличима от установившегося режима цепи.

Задача 31. К источнику постоянного напряжения 60 В подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивностью 5 Гн, резистора сопротивлением 40 Ом и конденсатора емкостью 2 нФ.

Найти ток в цепи как функцию времени, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение. Пусть I(t) — это сила тока в цепи, а q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. Тогда падения напряжения на катушке, резисторе и конденсаторе соответq ственно равны 5I, 40I и = 5 108 q. Из второго закона Кирхгофа вытекает равенство 5 I + 40 I + 5 108 q = 60.

Дифференцируя это равенство и сокращая его на пять, получим линейное однородное уравнение второго порядка I + 8I + 108 I = 0. Характеристическое уравнение + 8 + 10 = 0 имеет корни 1,2 = 4 ± 28i 127551, и зна

Комментарий. Цепь, описанную в данной задаче, называют колебательным контуром (другими словами, колебательный контур — это замкнутая цепь с последовательно подсоединенными катушкой, резистором и конденсатором). Действительно, как показывает ответ задачи, источник постоянного напряжения формирует в данной цепи затухающие гармонические колебания тока. Отметим, что в идеальном случае отсутствия сопротивления (в том числе и внутреннего сопротивления всех элементов цепи) колебания имели бы постоянную амплитуду, т.е. были бы незатухающими. Такой контур называют идеальным.

Задача 32. Идеальный колебательный контур с индуктивностью 1 Гн и емкостью 100 пФ подключается к источнику переменного напряжения U = U 0 sin t.

При какой частоте источника колебания тока будут иметь неограниченно возрастающую со временем амплитуду?

Решение. Пусть I(t) — это сила тока в цепи, а q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. Тогда напряжение на катушке составляет I, а на конденсаторе — q = 1010 q, и по второму закона Кирхгофа I + 1010 q = U 0 sin t. Дифференцируя, получаем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами I + 1010 I = U 0 cos t. Характеристическое уравнение 2 + 108 = 0 1,2 = ±10000i, имеет корни и значит, I = c1 cos10000t + c2 sin 10000t — это общее решение однородного уравнения, представляющее собой колебания с c12 + c2.

амплитудой Если 10000, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде I = A cos t + B sin t. Это также незатухающие колебания постоянной амплитуды A2 + B 2. Следовательно, данный случай не удовлетворяет условию задачи.

Если же = 10000, то можно подобрать числа A и B, при которых частное решение запишется в виде I = t ( A cos10000t + B sin10000t ). Полученное выражение задает колебания, имеющие непрерывно возрастающую с течением времени амплитуду t A2 + B 2. Значит, и сила тока в цепи I = (c1 + At ) cos10000t + (c2 + Bt ) sin10000t будет иметь неограниченно возрастающую амплитуду. Итак, источник ЭДС должен генерировать напряжение частотой = 10 кГц.

Комментарий. Описанное в задаче явление неограниченного возрастания амплитуды гармонических колебаний называется резонансом. Фактически мы показали, что резонанс наступает в том случае, когда собственная частота колебательного контура =, где L — индуктивность; C — емкость, совпадает с LC частотой колебаний источника тока.

Задача 33. Имеются два контура.

Первый контур состоит из источника переменного напряжения с амплитудой 200 В и индуктивности 0,8 Гн, а второй — из индуктивности 5 Гн и сопротивления. Катушки находятся в состоянии взаимоиндукции с коэффициентом 2 Гн. Найти амплитуду напряжения на сопротивлении второго контура.

Комментарий. В задаче представлена схема идеального трансформатора, т. е. трансформатора, в котором пренебрегают внутренним сопротивлением катушек и коэффициент взаимоиндукции считают равным среднему геометрическому между индуктивностями катушек. На практике две катушки реализуют в виде двух обмоток, навитых на общей сердечник. Контур, содержащий источник ЭДС, называют первичной обмоткой, а контур, содержащий полезную нагрузку (резистор), называют вторичной обмоткой трансформатора. Фактически в задаче доL2 казано, что амплитуда напряжения на нагрузке в раз L1 больше, чем амплитуда напряжения, генерируемого источником. Эту характеристику называют коэффициентом трансформации.

имеет вид I 2 0, 002 cos 40t 0,3426sin 40t + ce 6750t, а установившийся режим достигается при c = 0 и в этом случае I 2 0, 002 cos 40t 0,3426 sin 40t. По закону Ома напряжение на резисторе вычисляется по формуле 200 I 2 0, 4 cos 40t + 68,52 sin 40t и его амплитуда составляет 0, 42 + 68,522 68,52 (т.е. можно пренебречь первым слагаемым, так как 0,4 много меньше, чем 68,52).

Глава 3. Экономические задачи

3.1. Задачи на проценты Если некоторая денежная сумма за одинаковые промежутки времени изменяется на одно и то же число процентов, то такой процесс называют начислением накопительных или сложных процентов. Такая ситуация наблюдается при размещении денежных вкладов в банках и при кредитовании с фиксированной процентной ставкой.

Как правило, проценты начисляются дискретно, т.е. в конце каждого временного периода. В этом случае по истечении n периодов денежная сумма достигнет величины n p a (1 + p %) = a 1 + n, где a — начальная сумма. Однако 100 если предположить, что начисление происходит непрерывно, то мгновенная скорость изменения денежной суммы будет составлять фиксированное число процентов от суммы, рассчитанной на данный момент времени. Другими словами, если a(t) — это та денежная сумма, которая непрерывно изменяется на p% за единицу времени, то верно p соотношение a = a p% = a, представляющее собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Задача 35. Кредит в сто тысяч рублей взят на пять лет под 15 % годовых.

Какую сумму нужно будет погасить кредитору, если накопительные проценты начисляются:

а) каждый год; б) каждый месяц; в) непрерывно?

Решение. а) По формуле сложных процентов через пять лет кредит достигнет 105 (1 + 0,15)3 = 152087,5 руб.

б) Теперь, в отличие от случая а), процентная ставка сов месяц и проценты будут начислятьставит ся в течение 120 месяцев. Следовательно, величина кредита получится равной 105 (1 + 0, 0125)36 156394,38 руб.

в) В данном случае придется решить дифференциальное уравнение a = 0,15a, где через a(t ) обозначена сумма кредита в момент времени t, а время измеряется в годах.

da = 0,15dt, и проинтегрируем:

Разделим переменные:

a ln a = 0,15t + c, или a = ce0,15t. Так как a (0) = 105, то частное решение имеет вид a = 105 e0,15t. Для нахождения окончательной суммы кредита остается подставить t = 3. Тогда a (3) = 105 e0,45 156831, 22 руб.

Ответ: а) 152087 руб. 50 коп.; б) 156394 руб. 38 коп;

в) 156831 руб. 22 коп.

Комментарий. Полученные ответы показывают, что при уменьшении временного промежутка начисления процентов сумма кредита возрастает и приближается к наибольшему непрерывному случаю, а значит, при выборе кредита более выгодны те условия, в которых проценты начисляются реже. Однако в любом из предложенных в задаче случаев переплата по кредиту весьма значительна: более половины занятой суммы.

Задача 36. Какая сумма будет находиться на счету через пятьсот лет, если сегодня открыть сберегательный вклад в один рубль под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов?

Решение. Пусть a(t ) — это сумма вклада в момент времени t. Тогда, решая задачу Коши a = 0, 05a и a(0) = 1, получим, что a = e0,05t. Подставляя t = 500, находим ответ a (500) = e 25 72004899337 руб., т.е. более 72 миллиардов рублей.

Ответ: 72004899337 руб.

Комментарий. Данная задача показывает, что массовое использование населением банковских депозитов достаточно быстро приводит к бесконтрольному увеличению денежной массы государства, что в свою очередь может спровоцировать сильную инфляцию. Это является одной из причин проведения денежных реформ.

3.2. Задачи на выпуск продукции В простейших задачах по расчету количества выпускаемой предприятием продукции предполагается возможность моментальной реализации практически любого количества продукции по предложенной производителем цене, т.е. при отсутствии конкуренции на рынке наблюдается дефицит данной группы товаров или же производится товар первой необходимости. В условиях же конкуренции или быстрого насыщения рынка количество реализованной продукции задается кривой спроса p(y), выражающей зависимость цены p от количества предлагаемого товара y.

Если в результате реализации продукции предприятие получает прибыль, то ему выгодно некоторую ее часть направлять на расширение производства, причем принято считать, что рост инвестиций приводит к пропорциональному увеличению скорости производства (под скоростью производства подразумевается величина изменения объема выпускаемой продукции за единицу времени). Отношение величины инвестиций к общему доходу предприятия называют долей или нормой инвестиций, а отношение скорости производства к величине инвестиций — показателем отдачи инвестиций. Кроме внутренних инвестиций, выделяемых из прибыли самого предприятия, могут привлекаться и внешние инвестиции (например, государственная поддержка, выпуск ценных бумаг, взносы учредителей и т.д.).

Одновременно с инвестированием, повышающим производственные показатели, происходит объективный процесс убывания скорости производства, вызванный уменьшением производительности или полным выходом из строя оборудования предприятия за счет его постепенного изнашивания. Этот процесс характеризуется коэффициентом выбытия фондов, равным модулю отношения скорости производства к объему выпущенной продукции.

Таким образом, деятельность предприятия можно описать дифференциальным уравнением y = l (mpy + u ) ky, где y(t) — объем выпущенной в момент времени t продукции; p ( y ) — цена за единицу продукции; m — норма инвестиций; l — показатель отдачи инвестиций; k — коэффициент выбытия фондов; u(t) — внешние инвестиции.

Величина mpy представляет собой объем внутренних инвестиций.

Также отметим, что объем выпущенной за промежуток времени [t1 ; t2 ] продукции находится как определенный t2

Задача 38. Единственная хлебопекарня поселка выпекает и продает тысячу буханок хлеба в сутки стоимостью 8 рублей за одну буханку.

В течение месяца 3 % выручки от реализации хлеба будет направляться на расширение производства. Известно, что удвоение вложений в производство приводит к увеличению скорости выпечки хлеба в полтора раза. Сколько буханок хлеба в день будет выпекать пекарня к концу месяца?

Решение. Пусть y (t ) — это количество испеченного в момент времени t хлеба, причем время измеряется в сутках. Выручка от его реализации составит 8y рублей, из которых 0, 03 8 y = 0, 24 y рублей направляется на расширение производства, что приводит к увеличению скорости 1,5 выпечки хлеба y в 0, 24 y = 0,18 y раз. Следовательно, верно уравнение с разделяющимися переменными y = 0,18y, общее решение которого имеет вид y = ce0,18t.

Из условия y (0) = 1000 найдем частное решение y = 1000e0,18t. Остается подставить t = 30 суток, чтобы получить окончательный ответ y (30) = 1000e5,4 221406 буханок хлеба.

Ответ: 221406 буханок.

Комментарий. Ответ задачи показывает, что если даже не очень большую часть прибыли постоянно вкладывать в производство дефицитного товара, то очень быстро можно добиться огромного роста объема его выпуска (экспоненциальный рост).

Разумеется, данная модель является весьма упрощенной и редко наблюдается в реальности, так как в ней не учитывается насыщение рынка и износ оборудования.

Задача 40. Государство решило оказать поддержку остановившему производство предприятию-банкроту.

В течение года на счет предприятия непрерывно будут поступать денежные средства, причем кризисный управляющий может выбрать одну из схем господдержки: либо перечисленные средства равномерно возрастают и к концу года достигают некоторого фиксированного значения, либо средства равномерно убывают от данного фиксированного значения до нуля к концу года. Какая из предложенных схем приведет к выпуску большего объема продукции, если известно, что из-за ветхости оборудования коэффициент выбытия фондов за год равен двум, а показатель отдачи инвестиций в данной отрасли составляет 40 %?

Решение. Пусть y (t ) — это объем продукции в момент времени t, причем время измеряется в годах. Тогда скорость производства y за счет износа оборудования уменьшается на 2 y, а за счет господдержки увеличивается на 0, 4u, где u(t) — величина перечисляемых государством средств. Следовательно, верно тождество y = 0, 4u 2 y.

Если через a обозначить максимальное значение поступающих средств, то в первой схеме инвестирования u1 = at, а во второй — u2 = a at. Имеем линейные уравнения y + 2 y = 0, 4at и y + 2 y = 0, 4(a at ). Соответствующее однородное уравнение y + 2 y = 0 имеет общее решение y = ce 2t. Варьируя константу, для первой схемы получаем ce 2t = 0, 4at, c = 0, 4ate 2t и c = 0, 4a te 2t dt = = 0, 2ate 2t 0,1ae 2t + c.

Аналогично для второй схемы:

ce 2t = 0, 4(a at ), c = 0, 4(a at )e 2t, c = 0, 4a (1 t )e 2t dt = = 0,3ae 2t 0, 2ate 2t + c. Итак, найдены общие решения y1 = 0, 2at 0,1a + ce 2t и y2 = 0,3a 0, 2at + ce 2t. Так как в начальный момент времени предприятие не выпускало продукцию, то y (0) = 0 и частные решения принимают вид y1 = 0, 2at 0,1a + 0,1ae 2t и y2 = 0,3a 0, 2at 0,3ae 2t.

К концу года объем выпущенной продукции по первой схеме достигнет значения 0, 2a tdt 0,1a dt + 0,1a e2t dt = 21 2 t 1 = 0,1at 0,1at 0 0, 05ae = 0, 05a (1 e ) 0, 043a, а по второй схеме — 0,3a dt 0, 2a tdt 0,3a e2t dt = 0,3at 0 21 2 t 1 = 0, 2a + 0,15a (e 2 1) 0, 07 a. Видно, 0,1at + 0,15ae что в первом случае объем продукции получился меньшим, чем во втором.

Ответ: вторая схема.

Комментарий. Из решения данной задачи видно, что при одинаковой общей сумме внешних инвестиций убывающая схема инвестирования оказывается более выгодной по сравнению с возрастающей схемой. Это доказывает известный в экономике факт, что вложения в производство наиболее эффективны в первоначальный период становления предприятия.

Приложение Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения Здесь представлены только те типы дифференциальных уравнений, к которым сводятся задачи из данного пособия.

Это некоторые уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные уравнения), уравнения второго порядка, не содержащие независимую переменную, и линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка F ( x, y, y,…, y ( n ) ) = 0, где x — независимая переменная;

y(x) — искомая неизвестная функция. Соответственно уравнения первого порядка имеют вид F ( x, y, y) = 0, а уравнения второго порядка — F ( x, y, y, y) = 0.

Функцию y = ( x), которая обращает уравнение в тождество при замене y и его производных на (x) и ее производные, называют частным решением дифференциального уравнения. Функцию y = ( x, c1, c2,…, cn ), которая при замене констант c1, c2,…, cn на конкретные числовые значения становится частным решением уравнения, называют общим решением данного уравнения. Решения, заданные неявно, также называют интегралом (частным или общим) дифференциального уравнения.

Уравнениями с разделяющимися переменными (задачи 1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 37, 38, 39) называются уравнения вида y = f ( x) g ( y ). Такие уравнения решают методом разделения переменных, а именно их записывают в виде dy = f ( x)dx и интегрируют обе части. Общий интеграл g ( y) dy уравнения g ( y) = f ( x)dx.

Однородные уравнения (задачи 3, 6, 7) — это уравнения вида y = f ( x, y ), где функция f(x, y) для любого параметра k удовлетворяет условию f (kx, ky ) = f ( x, y ). Заменой y = xu и y = u + xu, где u — функция от переменной x, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения первого порядка (задачи 4, 30, 34,

40) имеют вид a ( x) y + b( x) y = f ( x), причем при f ( x) = 0 линейные уравнения называют однородными, а при f ( x) 0 — неоднородными. Линейные однородные уравнения решаются как уравнения с разделяющимися переменными. Для неоднородных уравнений применяют метод вариации произвольной постоянной (иногда его называют методом Лагранжа). Сначала решается соответствующее однородное уравнение a ( x) y + b( x) y = 0, а затем в найденном общем решении y = ( x, c) константа c заменяется функцией c(x) и выражение y = ( x, c( x)) подставляется в исходное неоднородное уравнение вместо y. Из уравнения выражают производную c( x), интегрируют и подставляют полученное c(x) в общее решение y = ( x, c( x)).

Замена y = p и y = pp, где p — функция от переменной y, понижает на единицу порядок уравнения второго порядка, не содержащего независимую переменную x, и тем самым сводит его к уравнению первого порядка (задача 17).

Для решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами ay + by + cy = 0 (задачи 12, 13, 14, 15, 16, 31) составляется характеристическое уравнение a 2 + b + c = 0. Если корни 1 и 2 полученного квадратного уравнения действительны и различны, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид y = c1e1x + c2 e2 x. Если 1 = 2, то y = c1e1x + c2 xe1x. А если 1,2 = ± i — комплексные сопряженные корни, то y = c1ex cos x + c2 ex sin x.

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка ay + by + cy = f ( x) (задачи 15, 32) находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. При этом если правая часть имеет вид f ( x) = ex ( P( x) cos x + Q( x)sin x ), где P(x) и Q(x) — произвольные многочлены, и числа 1,2 = ± i не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение неоднородного уравнения вида y = ex ( A( x) cos x + B( x)sin x ), где A(x) и B(x) — некоторые многочлены, степени которых не превышают наибольшую из степеней многочленов P(x) и Q(x). Если же характеристическое уравнение имеет сопряженные корни 1,2 = ± i, то y = xex ( A( x) cos x + B( x)sin x ). Аналогично если f ( x) = P( x) ch x + Q( x)sh x и ±, то y = A( x) ch x + B( x) sh x. В частном случае, когда правая часть является константой и 0, частное решение также будет являться некой константой.

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов/ А.М. Ахтямов. – М.: Физматлит, 2004.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1975.

3. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов/ А.Ф. Бермант. – М.: Изд-во физ.-мат.

4. Гутер Р.С. Дифференциальные уравнения/ Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. – М.: Высшая школа, 1976.

5. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениям/ А.И. Егоров. – М.: Физматлит, 2005.

6. Ельцов А.А. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения/ А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2007.

7. Ельцов А.А. Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям/ А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова. – Томск: Изд-во Томск.

гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2005.

8. Высшая математика для экономистов/ Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.:

9. Кухлинг Х. Справочник по физике/ Х. Кухлинг. – М.: Мир, 1985.

10. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1974.

11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям/ А.Ф. Филиппов. – М.: Наука, 1979.

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.

Глава 1. Геометрические задачи

1.1. Задачи на положение касательной.

1.2. Задачи на площадь криволинейной трапеции. 16 Глава 2. Физические задачи.

2.1. Задачи на движение.

2.2. Задачи на реактивное движение.

2.3. Задачи на радиоактивный распад.

2.4. Задачи на смеси.

2.5. Задачи на охлаждение и нагревание.

2.6. Задачи на давление.

2.7. Задачи на истечение жидкости.

2.8. Задачи на электрические цепи.

Глава 3. Экономические задачи

3.1. Задачи на проценты.

3.2. Задачи на выпуск продукции.

Приложение. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИН ПСИХОЛОГИЯ Рабочая программа дисциплины Психология по направлению подготовки 38.03.01 ЭКОНОМ. »

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Монография Москва УДК 34 ББК 67.404я73 Р92 Рецензенты: Л.В. Андреева, д.ю.н., проф., Н.И. Косякова, д.ю.н., проф. Коллектив авторов: Г.Ф. Ручкина, д.ю.н., проф. (глава 3, совместно с Ве. »

«ВЗАИМОСВЯЗЬ УРОВНЯ КРЕАТИВНОСТИ С ФУНКЦИОНАЛЬНО-РОЛЕВЫМИ ПОЗИЦИЯМИ Автор – Телушкина Екатерина Александровна, Новикова Екатерина Алексеевна, студенты 2 курса Института права (кафедра философии и юридической психологии), направле. »

«272 Economics: Yesterday, Today and Tomorrow. 9`2016 УДК 339.94 Publishing House ANALITIKA RODIS ( analitikarodis@yandex.ru ) http://publishing-vak.ru/ Анализ ключевых факторов, определяющих инвестиционную привлекательность интернет-компаний Притуманнов Александр Алексеевич Аспирант. »

«Информация об условиях предоставления, использования и возврата потребительского займа в ООО МФО «СКБ-Инвест» № Информация Содержание п/ п Наименование кредитора Полное наименование: Общество с ограниченной ответственностью микрофинансовая организация «Инвестиционная Компания Содействие коммерции и Биз. »

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Под редакцией заслуженного деятеля науки Российской Федерации, доктора экономических наук, профессора О.И. Лаврушина Рекомендовано УМО по образов. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ Е.Г. ФЛИК ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Учебная прог. »

«ПРОГРАММНО-АППАРАТНЫЙ КОМПЛЕКС «ТРИНИТИ» для защиты информационных систем На сегодняшний день вопросы безопасности корпоративных информационных систем приобретают все большую актуальность. С одной стороны, растет количес. »

«Государственная политика в сфере бюджетных инвестиций – обзор Астана, 2012 Данный сборник подготовлен в рамках проекта при финансовой поддержке Revenue Watch Institute. ОФ «Центр экономических исследований, мониторинга и оценки» пре. »

«1 М. М. Буркин, С. В. Горанская Основы наркологии Учебное пособие Петрозаводск «Карелия» 2002 Федеральная целевая программа «Культура России» (подпрограмма «Поддержка полиграфии и книгоиздания России») Авторы выражают искреннюю п. »

«Экономическая социология. 2005. Т. 6. № 4 http://ecsoc.msses.ru Новые тексты VR Мы публикуем первую часть текста Т.Р. Калимуллина, посвященного рынку диссертационных услуг. О существовании такого рынка известно всей академической публике. Но дело, как правило, огранич. »

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Транспортный бизнес» П.В. Куренков, О.Н. Мазуркина Транспортное право (железнодорожный транспорт) Рек. »

«1991 г. А.А. РАЗУМОВ ПОМОЖЕТ ЛИ РЫНОК ВОЗРОДИТЬ ДЕРЕВНЮ? РАЗУМОВ Александр Александрович — кандидат экономических наук, заведующий отделом уровня жизни НИИ труда Госкомтруда СССР. В нашем журнале публикуется впервые. Осуществление радикальной экономической реформы, основным замыслом которой является переход к экономике рыно. »

«МИКРОЭКОНОМИКА Лекторы: проф. Куманин Г.М., доц. Деленян А.А., доц. Текеева А.Х., ст. преп. Бандилет А.Н. Аннотация В курсе изучаются микроэкономические закономерности функционирования рыночной экономики; основные принципы. »

2017 www.pdf.knigi-x.ru — «Бесплатная электронная библиотека — разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

📽️ Видео

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям.Скачать

Задача, которую боятсяСкачать

Задача на составление Дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать