Если при выполнении преобразований появились уравнения вида то неверно следующее (6 видео)

Решение уравнений через преобразования

В этой статье мы подробно и всесторонне разберем, как осуществляется решение уравнений через проведение преобразований. Сначала расскажем, в чем суть метода. Дальше перечислим преобразования уравнений, которые используются при решении. Обязательно обговорим, на что стоит обращать особое внимание при проведении преобразований. В заключение рассмотрим решения примеров.

Содержание

Суть метода
Алгоритм
Какие преобразования используются? Список
На что обращать особое внимание при проведении преобразований?
На ОДЗ
На тождественность
На необходимость отсеивания посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в четную степень
На условия, при которых возможно проведение отдельных преобразований
Примеры решения уравнений
Схема решений систем линейных алгебраических уравнений
math4school.ru
Ошибки в тождественных преобразованиях
Нарушение порядка действий
Нарушение правил действий над степенями и многочленами
Сокращение дробей
Общие методы преобразования уравнений
🎬 Видео

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Суть метода

Суть метода решения уравнений через преобразования состоит в использовании преобразований уравнения для построения цепочки равносильных уравнений и уравнений-следствий с целью получения достаточно простого в плане решения конечного уравнения, по решению которого можно найти решения исходного уравнения.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Алгоритм

Схематично процесс решения уравнения через преобразования можно представить следующим образом. Исходное уравнение, обозначим его (1), преобразуется в равносильное уравнение или уравнение-следствие (2). Оно преобразуется в равносильное уравнение или уравнение-следствие (3). И так далее до уравнения (n), которое мы в состоянии решить.

Понятно, что если все преобразования равносильные, то уравнение (n) равносильно исходному уравнению (1), и решение уравнения (n) является интересующим нас решением исходного уравнения (1). Если же хотя бы для одного из переходов используется преобразование, которое в общем случае не является равносильным, то уравнение (n) является уравнением-следствием для исходного. Это означает, что среди корней уравнения (n) могут быть корни, посторонние для исходного уравнения (1). Избавиться от них позволяет отсеивание посторонних корней.

Приведенная информация позволяет записать алгоритм решения уравнений через преобразования:

Выстроить цепочку равносильных уравнений и уравнений-следствий до уравнения, которое мы в состоянии решить.
Решить полученное уравнение.
- Если все преобразования были равносильными, то полученное решение является искомым.
- Если среди проведенных преобразований были такие, которые в общем случае не являются равносильными, то провести отсеивание посторонних корней.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Какие преобразования используются? Список

Все основные преобразования, которые используются при решении уравнений, подробно описаны в этой статье. Здесь мы просто перечислим их в виде списка:

Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.
- Перестановка местами слагаемых и множителей.
- Раскрытие скобок.
- Группировка слагаемых и/или множителей.
- Вынесение за скобки общего множителя.
- Замена числовых выражений их значениями.
- Выполнение действий с одночленами и многочленами.
- Приведение подобных слагаемых.
- Сокращение дробей.
- Замена нулем произведений с нулевыми множителями и дробей с нулем в числителе.
- Использование тождеств, отражающих определения и свойства корней, степеней, логарифмов, тригонометрических функций и т.п.
Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.
Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.
Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень.
Освобождение от внешней функции.
Извлечение корня одной и той же степени из обеих частей уравнения.
Логарифмирование.
Потенцирование.

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

На что обращать особое внимание при проведении преобразований?

На ОДЗ

При проведении преобразований необходимо держать под контролем ОДЗ. Зачем? Сейчас мы с этим разберемся.

ОДЗ при переходе от одного уравнения к другому может оставаться неизменной, расширяться или сужаться. Приведем примеры. В результате перехода от уравнения 4·x=x+3 к уравнению 4·x−x=3 ОДЗ не изменяется. Переход от уравнения 1/x−1/x+x 2 =0 к уравнению x 2 =0 сопровождается расширением ОДЗ с множества (−∞, 0)∪(0, +∞) до множества всех действительных чисел R . А преобразование уравнения lgx 2 =2 к виду 2·lgx=2 сопровождается сужением ОДЗ: для исходного уравнения ОДЗ есть множество (−∞, 0)∪(0, +∞) , а для полученного — (0, +∞) . Ну и что с того? А вот что: за счет расширения ОДЗ могут появиться корни, посторонние для исходного уравнения, а сужение ОДЗ может быть причиной потери корней. Для иллюстрации сказанного вновь обратимся к приведенным примерам. При переходе от уравнения 1/x−1/x+x 2 =0 к уравнению x 2 =0 появляется корень x=0 , посторонний для исходного уравнения. А в результате замены уравнения lgx 2 =2 уравнением 2·lgx=2 происходит потеря корня x=−10 .

В расширении ОДЗ при преобразовании уравнений нет ничего особо страшного – просто после решения последнего уравнения цепочки равносильных уравнений и уравнений-следствий необходимо позаботиться об отсеивании корней, посторонних для исходного уравнения.

А вот от преобразований, в результате проведения которых сужается ОДЗ, необходимо отказаться. Точнее, от них стоит отказываться лишь тогда, когда ОДЗ сужается на множество, содержащее бесконечное количество элементов. Преобразования, в результате проведения которых из ОДЗ выпадает некоторое конечное количество чисел, допустимы. Для их проведения достаточно отдельно проверить выпадающие из ОДЗ числа на предмет того, какие из них являются корнями решаемого уравнения. Типичным таким преобразованием является деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Подробнее об этом мы поговорим в статье «Как избежать потери корней при решении уравнений».

Итак, контролировать ОДЗ нужно, чтобы при проведении преобразований не терять корни, и понимать, когда необходимо проводить отсеивание посторонних корней, а когда это действие необязательно.

На тождественность

При проведении преобразований, заключающихся в замене выражений тождественно равными выражениями, нужно очень внимательно следить за тем, чтобы выражения были именно тождественно равными. Зачем? Это гарантирует, что уравнение, полученное в результате проведения преобразования, равносильно исходному уравнению или является его следствием. Замена выражения не тождественно равным ему выражением не гарантирует получение равносильного уравнения или уравнения-следствия, а это означает, что по корням полученного уравнения невозможно будет сделать вывод о корнях исходного уравнения.

Для примера возьмем уравнение . Его можно решить, например, методом возведения обеих частей в квадрат. Указанный метод позволяет найти единственный корень этого уравнения: . А теперь давайте допустим, что нам захотелось решить это уравнение через преобразования, и мы сделали это так:

Что мы сделали не так? Мы ошиблись в самом первом преобразовании – в замене выражения x+3 выражением . А дело здесь в том, что выражения x+3 и не являются тождественно равными. Действительно, их значения различны при x+3 . В результате мы получили неправильное решение.

На необходимость отсеивания посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в четную степень

Решение уравнений, особенно иррациональных, может проводиться через преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Это преобразование детально разобрано в статье «Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень». Там обосновано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень является равносильным преобразованием, а возведение в одну и ту же четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Из этого следует, что при решении уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень нужно обязательно позаботиться об отсеивании посторонних корней.

Обратимся к уравнению для наглядности. Его решение можно получить, если прибегнуть к возведению обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование позволяет перейти к уравнению . Одним из корней полученного уравнения является число −3/2 , в чем легко убедиться, выполнив проверку подстановкой. Но −3/2 – это посторонний корень для исходного уравнения , так как его подстановка дает неверное равенство 5/2=−5/2 . Этот посторонний корень появляется из-за проведенного нами преобразования – из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, в нашем случае в квадрат. Действительно, возведение в квадрат из неверного равенства 5/2=−5/2 делает верное (5/2) 2 =(−5/2) 2 .

Итак, при использовании преобразования, которое заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, нельзя упускать из внимания необходимость отсеивания посторонних корней.

На условия, при которых возможно проведение отдельных преобразований

Некоторые преобразования уравнений можно проводить лишь при выполнении определенных условий. В пример приведем преобразование, заключающееся в освобождении от внешней функции. Для его проведения нужно, чтобы функция принимала каждое свое значение только по одному разу (в частности, была возрастающей или убывающей). Если это условие не выполняется, то указанное преобразование уравнения может привести к потере корней. Продемонстрируем это, обратившись к уравнению (x+3) 12 =(2·x−6) 12 . Освобождение от внешней функции возведения в двенадцатую степень приводит к уравнению x+3=2·x−6 , единственным корнем которого является x=9 . При таком переходе происходит потеря корня x=1 . Причина этого кроется в игнорировании условия, при котором возможно освобождение от внешней функции.

Помимо отбрасывания внешней функции, выполнения определенных условий требуют следующие преобразования:

извлечение корня из обеих частей уравнения,
логарифмирование,
потенцирование.

Так что прежде чем провести задуманное преобразование уравнения, надо обратить пристальное внимание условия, при которых это преобразование можно осуществить. И только если они выполнены или преобразование не требует выполнения никаких особых условий, то можно смело его проводить.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Примеры решения уравнений

Метод решения уравнений через преобразования для некоторых видов уравнений является основным. Например, через преобразования решаются любые линейные уравнения с отличным от нуля коэффициентом при x . Так решение уравнения 2·x−1=0 можно представить в виде следующей цепочки уравнений, получающейся в результате проведения преобразований:
2·x−1=0 ,
2·x=1 (перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком),
(2·x):2=1:2 (деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число 2 ),
2·x:2=1:2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате раскрытия скобок),
2:2·x=1:2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате перестановки местами множителей),
1·x=1/2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением, полученным в результате замены числовых выражений их значениями),
x=1/2 (замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением).

Понятно, что так подробно преобразования уравнений никто не расписывает. Многие преобразования проводятся в уме. Но рекомендуем не увлекаться с устными преобразованиями. Целесообразно проводить в уме только самые простые преобразования, остальные лучше делать на бумаге. Так лучше прослеживается логика решения, а вероятность сделать ошибку при проведении преобразований снижается.

Часто метод решения уравнений через преобразования используется совместно с другими методами решения уравнений. Например, решение уравнения может начинаться с преобразований, дальше может вводиться новая переменная, уравнение с новой переменной может решаться через преобразования, а полученные после возврата к старой переменной уравнения могут решаться функционально-графическим методом.

Другие примеры решения уравнений через преобразования Вы без труда найдете, побродив по статьям раздела «Решение уравнений».

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Схема решений систем линейных алгебраических уравнений

Итак, пусть дана система линейных уравнений

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу называемую матрицей системы.

Первый индекс у коэффициента aij означает номер уравнения, второй — номер неизвестного ,при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты b1,b2, …, bmназывают свободными членами уравнений системы. Если свободные члены равны нулю, система является однородной, в противном случае — неоднородной.

называют расширенной матрицей системы (I). Решением системы (I) называют упорядоченный набор (x1,x2, …, xn) из n чисел, при подстановке которых в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превращается в тождество. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной или противоречивой. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместные системы делятся наопределенные, обладающие единственным решением, и неопределённые, обладающие множеством решений. Однородная система всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение x1=x2= …=xn=0. Выражение для неизвестных x1,x2, …, xn, из которого может быть получено любое конкретное решение системы, называют её общим решением, а любое конкретное решение системы — её частным решением. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из них является решением другой, или обе системы несовместны.

Над уравнениями системы обычно приходится проводить следующие элементарные преобразования:

Умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

Прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

Вычеркивание уравнений вида 0* x1+0*x2+ …+0* xn=0, то есть тождеств 0=0;

Перестановка столбцов или строк в системе уравнений.

После элементарных преобразований система преобразуется в эквивалентную. Общий способ отыскания решений обычно основывается на последовательном переходе от данной системы с помощью элементарных преобразований к такой эквивалентной системе, для которой решение находится просто. Одним из таких способов как раз является метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных). Алгоритм этого метода состоит в следующем.

Предположим, что коэффициент a11 системы (I) отличен от нуля. Этого всегда можно добиться, переставляя, в случае необходимости, уравнения системы или столбцы в ней и меняя нумерацию неизвестных. Умножим первое уравнение на a21/a11 и вычтем из второго уравнения, затем — на a31/a11 и вычтем из последнего уравнения. В результате неизвестное x1 будет исключено из всех уравнений, кроме первого, и система примет вид:

a11x1 + a12x2 + … +a1nxn = b1,

a’22×2+ … +a’2nxn = b’2, (2)

a’m2x2+ … +a’mnxn= b’m.

В системе (2) следует вычеркнуть уравнения вида 0* x1+0*x2+ …+0* xn=0, если такие появились. На этом первый шаг метода Гаусса заканчивается. Элемент a11 называют ведущим элементом этого шага. Следующие шаги прямого хода осуществляются аналогично. Так, на втором шаге при a’22?0 последовательно умножают второе уравнение на a’32/ a’22, a’42 /a’22, …, a’m2/ a’22 и соответственно вычитают его из 3, 4, …, m-го уравнений. В результате исключится неизвестное X2 из всех уравнений, кроме I и 2-го. На третьем шаге исключается неизвестное X3 из всех уравнений, кроме первых трех, и так далее.

Возможно, что на некотором шаге прямого хода метода Гаусса встретится уравнение вида

0* x1+0*x2+ …+0* xn=bi , bi?0 (3).

Тогда рассматриваемая система несовместна, и дальнейшее её решение прекращается. Если же при выполнении прямого хода метода Гаусса не встретятся уравнения вида (3), то рассматриваемая система не более чем через mшагов преобразуется в эквивалентную систему вида

a11x1 + a12x2 +…+a1zxz+… +a1nxn = b1,

a22x2 + …+a2zxz +a2nxn= b2,

Для упрощения записи в системе (4) штрихи над коэффициентами опущены. В ней не более mуравнений, т.е. z?m, так как некоторые уравнения, возможно, были приведены к виду 0=0 и вычеркнуты.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

math4school.ru

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Ошибки в тождественных преобразованиях

При упрощении выражений, вычислении их значений, при решении уравнений и неравенств необходимо производить тождественные преобразования заданных выражений. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ошибки при тождественных преобразованиях .

Нарушение порядка действий

K Упражнение. Упростить выражение

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Сначала следует выполнить

затем произвести вычитание.

Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:

первая ступень – сложение и вычитание,

вторая ступень – умножение и деление.

При нахождении значения выражения или его упрощении действия выполняются в следующем порядке :

В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, тогда все операции выполняются по порядку слева на право.

Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени. Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.

Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.

Нарушение правил действий над степенями и многочленами

Нередко учащиеся неверно применяют формулы сокращенного умножения, нарушают правила действий над степенями с рациональным показателем.

[left(a^<frac>+b^<frac> right)^=frac<left(a^<frac>+b^<frac> right)^>][frac=a^2-b^2][frac =a^2+ab+b^2][left(a-b right)^<frac>=a^<frac>-b^<frac>][left(a-b right)^<frac>=sqrt][a^+b^=frac ][a^+b^=frac+frac][16^x-4^x=(16-4)^x][16^x-4^x=4^x(4^x-1)][9^=9^2-9^x][9^=9^2:9^x]

Разложение многочленов на множители выполняется нерационально или не доводится до конца.

K Упражнение. Разложить многочлен x 3 – x 2 – x + 1 на множители.

L Неправильное решение.

x 3 – x 2 – x + 1 = x 2 · ( x – 1) – ( x + 1) = дальше продолжить не удалось.

J Правильное решение.

Сокращение дробей

Очень распространенной ошибкой является попытка сократить стоящие в числителе и знаменателе одинаковые выражения , одно из которых (или в числителе, или в знаменателе), а порой и оба, являются не сомножителями, а слагаемыми.

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Общие методы преобразования уравнений

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

обобщить и углубить знания по теме;
сформировать представление о методах и способах решения алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;
формирование навыков умственного труда;
развивать качества мышления: гибкость, рациональность, критичность;
развитие внимания, логического мышления, аргументированной математической речи, самостоятельности, познавательной активности;
воспитание ответственности, воли, упорства в достижении поставленной цели, умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Оборудование: кодоскоп, слайды, доклады-сообщения учащихся.

Тип урока: урок формирования знаний, умений и навыков.

Формы обучения: общеклассная, групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практические задания, самостоятельная деятельность, проблемно-поисковый.

I. Организационный момент

Мотивационная беседа с учащимися пропедевтической направленности через осознание ими практической значимости изучаемых и применяемых знаний, умений и навыков.

Эпиграф урока: «Час, затраченный на понимание, экономит год жизни». (В. Босс)

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Работа по основным определениям, понятиям, относящимся к уравнениям (вопросы, составленные на основе курса лекций 1-4 «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автора П.В. Чулкова, М. Шабунин «Уравнения» – библиотека приложения к газете 1 сентября, дополнительные главы по курсу математики 10 под редакцией З.А. Скопеца);

2. Ответить на вопросы:

– Верно ли, что 5х = 10 х 2 = 8 на множестве действительных чисел, на множестве рациональных чисел?
– Верно ли, что 2х = 10 5х = х 2 ?

3. Алгоритм решения уравнения или как мы решаем уравнения?

III. Решение уравнений

Рассмотрим наиболее часто встречаемые преобразования уравнений.

а) разложение на множители (или расщепление уравнений):

1. х 3 – 4х 2 – 16х + 64 = 0
(х 3 – 4х 2 ) – (16х – 64) = 0
х 2 (х – 4) – 16(х – 4) = 0
(х – 4)(х 2 – 16) = 0
(х – 4) 2 (х + 4) = 0
х₁ = 4 или х₂ = – 4

2. х 3 + х – 10 = 0 (заслушать предлагаемые учащимися способы)
х 3 + х – 8 – 2 = 0
(х 3 – 8) + (х – 2) = 0
(х – 2)(х 2 + 2х + 4) + (х – 2) = 0
(х – 2)( х 2 + 2х + 5) = 0
(х – 2) = 0 или х 2 + 2х + 5= 0
х₁ = 2 т.к. D = –16 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12 (Заслушать предлагаемые учащимися способы. Очевидно, что ученики предложат выполнить умножение многочлена на многочлен)

– А какова степень уравнения? А нет ли более рационального способа решения? Посмотрите, как «звучит» способ в заголовке? Что вы заметили?

Возможны варианты: x 2 + x = t или x 2 + x + 1 = t

Пусть x 2 + x + 1 = t
Тогда t (t + 1) = 12
t 2 + t – 12 = 0, получаем t₁ = – 4; t₂ = 3.
Отсюда: х 2 + х + 1 = – 4 или х 2 + х + 1 = 3
х 2 + х + 5 = 0 х 2 + х – 2 = 0
т.к. D = –19 0 корней нет.
Т.к. сумма коэффициентов a + b + c = 0, то х₁ = 1; х₂ = c/a х₂ = – 2

2. Используйте этот приём для решения следующего уравнения:

; ОДЗ: х =/= 0, х =/= – 4, х =/= – 2.
Запишем уравнение иначе:
Пусть x 2 + 4x = t, тогда
Получим: 1 . 5(t + 4) – 1 . t . 5 = 4 . t . (t + 4)
5t + 20 – 5t = 4t 2 + 16t
4t 2 + 16t – 20 = 0
t 2 + 4t – 5 = 0 D = 36 > 0 2 корня. По сумме коэффициентов: 1 + 4 – 5 = 0 имеем: t₁ = 1; t₂ = c/a t₂ = – 5. Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения с переменной t.
Отсюда: x 2 + 4x = 1 или x 2 + 4x = – 5
x 2 + 4x – 1 = 0 x 2 + 4x + 5 = 0
D = 20 > 0 2 корня т.к. D = – 4 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2

(Посмотреть на реакцию учащихся)
Для введения новой переменной «мешает» х 2 в правой части, нет никакого смысла применять замену х 2 = t. Как же преобразовать уравнение? Причём так преобразовать, чтобы правая часть не содержала х 2 . (как в уравнении 1) этого метода) Выслушать мнение учащихся. Достаточно разделить почленно уравнение на х 2 , т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения!

(х 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2 х 2 =/= 0

Вот теперь пусть , тогда (t + 3)(t – 2) = 24
t 2 + t – 30 = 0, получаем: t₁ = – 6; t₂ = 5.
Отсюда: = – 6 или = 5
х 2 + 6х + 3 = 0 или х 2 – 5х + 3 = 0
D = 24 > 0 2 корня D = 13 > 0 2 корня

Ответ: ; .

4. А вот ещё одно очень интересное уравнение:

–1 и + 3 можно представить в виде сумм, одно из слагаемых которых будет 1 : – 1 = – 2 + 1 и 3 = 2 + 1.
Тогда х – 1 = х – 2 + 1 = (х + 1) – 2
х + 3 = х + 2 + 1 = (х + 1) + 2, получим уравнение:
((х +1) – 2) 4 + ((х +1) + 2) 4 = 82, пусть х + 1 = t,
Тогда (t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 82.

На первый взгляд, новое уравнение не отличается принципиально от данного: мы получили четвёртую степень двучлена, но вторые слагаемые двучлена отличаются только знаками, что намного упрощает конечный вид и преобразования полученного уравнения.

В результате преобразований получается биквадратное уравнение относительно переменной t: t 4 + 24 t 2 – 25 = 0; пусть t 2 = y, тогда y 2 + 24y – 25 = 0

Корни этого уравнения 1 и – 25.
Отсюда: t 2 = 1 или t 2 = – 25
t_1,2 = ± ( n + a₁x n – 1 + a₂x n – 2 + …+ a₂x 2 + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Свойства симметрических уравнений:

а) если дано уравнение нечётной степени, то х = – 1 – корень уравнения;
б) уравнение чётной степени 2n с помощью подстановки v = x + 1/x сводится к уравнению степени n.

Рассмотрим решение на конкретном уравнении:

2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0 да, по определению это симметрическое уравнение нечётной степени. Значит х = – 1 – корень исходного уравнения; разложим его на множители:
(х + 1)(2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2) = 0;
работаем со вторым множителем:
2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0 ¦: х₂ =/= 0 2х 2 + 3х – 16 + 3 . 1/х + 2 . 1/х 2 = 0.
Группируем: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3(х + 1/х) – 16 = 0. Пусть х + 1/х =, тогда х 2 + 1/х 2 = t 2 – 2,
отсюда: 2(t 2 – 2) + 3t – 16 = 0 и далее 2t 2 + 3t – 20 = 0,
решая это уравнение, получим: t₁= – 4 и t₂ = – 5/2; откуда х + 1/х = – 4 или х + 1/х = – 5/2.
Решая эти уравнения, получим: х_1,2 = – 2 ± , х₃ = 2, х₄ = 1/2.

Ответ: – 1, – 2 ± , 2, 1/2.

2. Определение. Уравнение вида a₀(u(x)) n + a₁(u(x)) n – 1 v(x) + a₂(u(x)) n – 2 (v(x)) 2 +…+ a_k(u(x)) n – k (v(x)) k +…+ a₀(v(x)) n = 0 называют однородным уравнением степени n относительно u(x) иv(x).

Решите уравнение: (х – 2) 2 (х + 1) 2 – (х – 2)(х 2 – 1) – (х – 1) 2 = 0
Пусть u = (х – 2)(х + 1) и v = х – 1, получаем: u 2 – uv – 2v 2 = 0.
Рассмотрим все возможные случаи:

а) v = 0, тогда х = 1, но 1 не является корнем исходного уравнения (была проверка!);
б) v =/= 0, тогда заменой p = u/v получаем уравнение: p 2 – p – 2 = 0, откуда p₁ = –1, p₂ = 2. т.е.
Решаем эти уравнения, получаем: х₁ = 0; х₂ = 3; х_3,4 = + .

Ответ: 0; 3; + .

VI. Итог урока

Рефлексия: беседа с учащимися о занятии, что необходимо школьнику, чтобы заметить тот или иной приём, рациональный в данном конкретном случае, что было трудно, какой приём требуется ещё повторить?

VII. Домашнее задание:

Решите уравнения: