Найти уравнения и построить линии уровня

Линии и поверхности уровня

Содержание:

Видео:Поверхности и линии уровняСкачать

Поверхности и линии уровня

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Найти уравнения и построить линии уровня

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 xz + 2a23 yz + a33 z 2 + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0.

В зависимости от значений коэффициентов Найти уравнения и построить линии уровняполучают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) Найти уравнения и построить линии уровня— конус;

Найти уравнения и построить линии уровня

2) Найти уравнения и построить линии уровня— полусфера;

Найти уравнения и построить линии уровня
Рис. 4.

3) Найти уравнения и построить линии уровня— эллиптический параболоид;

Найти уравнения и построить линии уровня
Рис. 5.

4) Найти уравнения и построить линии уровня— гиперболический параболоид;
Найти уравнения и построить линии уровня
рис.6

5) Найти уравнения и построить линии уровня— трехосный эллипсоид.

Найти уравнения и построить линии уровня
Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C1, y = C2, z = C3. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C1 (C1 ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C1 (уравнение окружности). Положим y = C2 , тогда Найти уравнения и построить линии уровня— уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на Найти уравнения и построить линии уровняединиц вверх по оси Oz. Положим x = C3 , получим уравнение
Найти уравнения и построить линии уровняПолучили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на Найти уравнения и построить линии уровняединиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Видео:1 Линии уровняСкачать

1 Линии уровня

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x1, x2, . xn) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x1, x2, . xn) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Найти уравнения и построить линии уровняЕсли u = C, то уравнение Найти уравнения и построить линии уровняявляется уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом Найти уравнения и построить линии уровня.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Найти уравнения и построить линии уровняНайти уравнения и построить линии уровня

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Математика без Ху!ни. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.Скачать

Математика без Ху!ни. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.

Функции нескольких переменных

Найти уравнения и построить линии уровня

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Найти уравнения и построить линии уровня

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

Найти уравнения и построить линии уровня

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Найти уравнения и построить линии уровняНайти уравнения и построить линии уровня

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровняОбласть определения – есть часть плоско­сти, в которой абсцисса и ордината ка­ждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в пер­вом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функ­ции, представляющие зависимости величин объемов вы­пускаемой продукции от переменных величин затрат ре­сурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических рас­четах.

Простейшая производственная функция — функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капи­тала К

Найти уравнения и построить линии уровня

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

Найти уравнения и построить линии уровня

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой по­верхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геомет­рическую интерпретацию. Для функции числа перемен­ных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерх­ность (n + 1) — мерного пространства, не имеющая геомет­рической интерпретации.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном про­странстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровняРешение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Найти уравнения и построить линии уровня

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

Найти уравнения и построить линии уровня

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции Найти уравнения и построить линии уровняи найти Найти уравнения и построить линии уровня.

Решение. Воспользуемся методом сечений.

Найти уравнения и построить линии уровняНайти уравнения и построить линии уровня– в плоскости Найти уравнения и построить линии уровня– парабола.

Найти уравнения и построить линии уровня– в плоскости Найти уравнения и построить линии уровня–парабола.

Найти уравнения и построить линии уровня– в плоскости Найти уравнения и построить линии уровня– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками Найти уравнения и построить линии уровняи Найти уравнения и построить линии уровня(евклидова) пространства Найти уравнения и построить линии уровняназывается число

Найти уравнения и построить линии уровня

Множество точек Найти уравнения и построить линии уровняназывается открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется ε — окрестностью точки А.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Построить линии уровня функций:

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| 0 — постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| 0.

Предел отношения Найти уравнения и построить линии уровняпри Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора Найти уравнения и построить линии уровняи обозначается

Найти уравнения и построить линии уровня

Переходя к этому пределу, получим

Найти уравнения и построить линии уровня(*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

Найти уравнения и построить линии уровня

в точке М(1;0) в направлении, составляющем с Ох угол в 30°.

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор Найти уравнения и построить линии уровня, координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

Найти уравнения и построить линии уровня

Связь между производной функции по направлению и градиентом этой функции осуществляется соотношени­ем

Найти уравнения и построить линии уровня

т. е. производная функции z = f(x;y) в данном направле­нии Найти уравнения и построить линии уровняравна проекции градиента функции на направле­ние дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня данной функ­ции.

Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

Видео:2. Область определения функции двух переменныхСкачать

2. Область определения функции двух переменных

5.6. Производная по направлению. Градиент. Линии уровня функции

Определение. Предел отношения Найти уравнения и построить линии уровня, если он существует, называется Производной функции Z=F(M) в точке M(X; Y) по направлению вектора L .

Обозначение. Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Если функция F(M) дифференцируема в точке М(х; у), то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L, исходящему из М; вычисляется она по следующей формуле:

Найти уравнения и построить линии уровня(8)

Где Cos И Cos — направляющие косинусы вектора L.

Пример 46. Вычислить производную функции Z=X2+Y2X в точке М(1; 2) по направлению вектора ММ1, где М1 – точка с координатами (3; 0).

Решение. Найдем единичный вектор L, имеющий данное направление:

Найти уравнения и построить линии уровня

Откуда Cos=Найти уравнения и построить линии уровня; Cos=-Найти уравнения и построить линии уровня.

Вычислим частные производные функции в точке М(1; 2):

Найти уравнения и построить линии уровня

По формуле (8) получим Найти уравнения и построить линии уровня

Пример 47. Найти производную функции U = Xy2Z3 в точке М(3; 2; 1) В направлении вектора MN, где N(5; 4; 2).

Решение. Найдем вектор Найти уравнения и построить линии уровняи его направляющие косинусы:

Найти уравнения и построить линии уровня

Вычислим значения частных производных в точке М:

Найти уравнения и построить линии уровня

Следовательно, Найти уравнения и построить линии уровня

Определение. Градиентом Функции Z=F(M) в точке М(х; у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным Найти уравнения и построить линии уровняиНайти уравнения и построить линии уровня, взятым в точке М(х; у).

Обозначение. Найти уравнения и построить линии уровня

Решение. Находим частные производные: Найти уравнения и построить линии уровняи их значения в точке М(2; -1):

Найти уравнения и построить линии уровня

Пример 49. Найти величину и направление градиента функции Найти уравнения и построить линии уровняв точке Найти уравнения и построить линии уровня

Решение. Найдем частные производные и вычислим их значения в точке М:

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Найти уравнения и построить линии уровня

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U=F(X, Y, Z), выводятся формулы

Найти уравнения и построить линии уровня

Вводится понятие градиента Найти уравнения и построить линии уровня

Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных задач: в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:

Найти уравнения и построить линии уровня

1) Пусть задана функция Z=F(X, Y), имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F(X0, Y0). Рассмотрим график функции. Через точку (X0, Y0, F(X0, Y0)) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0), рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X0, Y0, F(X0, Y0)), будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.

2) Градиент функции F(X, Y) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0. Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0. Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.

Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом. Координаты этого вектора равны:

Найти уравнения и построить линии уровня

Антиградиент функции F(X, Y) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0. Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.

3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X, Y) из области определения функции F(X, Y), таких, что F(X, Y)=Const, где запись Const означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.

Линии уровня геометрически изображаются на плоскости изменения независимых переменных в виде кривых линий. Получение линий уровня можно представить себе следующим образом. Рассмотрим множество С, которое состоит из точек трехмерного пространства с координатами (X, Y, F(X, Y)=Const), которые, с одной стороны, принадлежат графику функции Z=F(X, Y), с другой — лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости ХОУ, и отстоящей от неё на величину, равную заданной константе. Тогда для построения линии уровня достаточно поверхность графика функции пересечь плоскостью Z=Const и линию пересечения спроектировать на плоскость ХОУ. Проведенное рассуждение является обоснованием возможности непосредственно строить линии уровня на плоскости ХОУ.

Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня.

Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.

Найти уравнения и построить линии уровня
Определение. Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением, или Направлением наискорейшего роста.

«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.

Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид X2+Y2=C (C>0). Придавая С различные действительные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.

Построение линий уровня. Их анализ находит широкое применение в экономических задачах микро — и макроуровня, теории равновесия и эффективных решений. Изокосты, изокванты, кривые безразличия – это все линии уровня, построенные для разных экономических функций.

Пример 51. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию. Пусть производство продукции описывается Функцией Кобба-Дугласа F(X, Y)=10х1/3у2/3, где Х – количество труда, У – количество капитала. На приобретение ресурсов выделено 30 у. ед., цена труда составляет 5 у. ед., капитала – 10 у. ед. Зададимся вопросом: какой наибольший выпуск можно получить в данных условиях? Здесь под «данными условиями» имеются в виду заданные технологии, цены на ресурсы, вид производственной функции. Как уже отмечалось, функция Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей по каждой переменной, т. е. увеличение каждого вида ресурса ведет к росту выпуска. В данных условиях ясно, что увеличивать приобретение ресурсов можно до тех пор, пока хватает денег. Наборы ресурсов, стоимость которых составляет 30 у. ед., удовлетворяют условию:

Т. е. определяют линию уровня функции:

Найти уравнения и построить линии уровня

С другой стороны, с помощью линий уровня Функции Кобба-Дугласа (рис. 36) можно показать возрастание функции: в любой точке линии уровня направление градиента – это направление наибольшего возрастания, а для построения градиента в точке достаточно провести касательную к линии уровня в этой точке, построить перпендикуляр к касательной и указать направление градиента. Из рис. 36 видно, что движение линии уровня функции Кобба-Дугласа вдоль градиента следует производить до тех пор, пока она не станет касательной к линии уровня 5х + 10у = 30. Таким образом, с помощью понятий линии уровня, градиента, свойств градиента можно выработать подходы к наилучшему использованию ресурсов с точки зрения увеличения объемов выпускаемой продукции.

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Построить поверхности уровня и линии уровня скалярного поляСкачать

Построить поверхности уровня и линии уровня скалярного поля

Линии уровня и поверхности уровня функции многих переменныхСкачать

Линии уровня и поверхности уровня функции многих переменных

8 Линии уровня (напоминание)Скачать

8 Линии уровня (напоминание)

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

ФНП - График и линии уровняСкачать

ФНП - График и линии уровня

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Построить график  ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

1. Функция двух переменныхСкачать

1. Функция двух переменных

Область определения функции - 25 функций в одном видеоСкачать

Область определения функции - 25 функций в одном видео
Поделиться или сохранить к себе: