Квадратное уравнение — это уравнение вида
где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.
Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.
Решение полного квадратного уравнения
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.
Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле
1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле
2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле
3) Если D 
Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.
2) Если b=0
Если знаки a и с разные (например, a>0, c 
Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Если -a 0, обе части уравнения делим на -a
и получаем то же уравнение
Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.
Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.
Если a 
Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.
3) Если b=0 и c=0
Это уравнение имеет один корень x=0.
Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.
В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:
Такие корни называются кратными (второй степени).
В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.
Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.
Видео:Сколько корней имеет уравнение?Скачать
Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.
теория по математике 📈 уравнения
Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Дискриминант
Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).
Нахождение корней квадратного уравнения
Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:
D=b 2 –4ac
- Если D>0, то уравнение имеет два различных
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:
Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.
D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Теорема Виета
Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.
Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.
Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.
Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:
Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.
Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:
Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:
Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.
Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):
х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:
х 2 − 2 х − 24 = 0
Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.
Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида , где
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения: .
Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .
Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .
В этом уравнении , , .
Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.
Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.
Уравнение имеет единственный корень .
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен .
Дискриминант уравнения равен > 0.
Уравнение имеет два корня.
Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.
Если и – корни уравнения , то , .
Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .
Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.
1) Рассмотрим уравнение .
В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.
2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.
Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
3) Вот похожее уравнение:
.
Поскольку , уравнение можно записать в виде:
4) Пусть теперь не равно нулю и .
Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Здесь и – корни квадратного уравнения .
Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.
Например, наше уравнение
.
Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.
1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».
Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.
Дискриминант этого уравнения равен
.
2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?
Вот, например, уравнение
.
Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:
Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.
3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.
Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:
📸 Видео
Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Уравнение x^2+px+q=0 имеет корни -6; 4. Найдите q. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать
Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентомСкачать
Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать
Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать
Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
