Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка (стр. 1 )

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаесть уравнение первого порядка,

а уравнение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаявляется решением этого уравнения.

Действительно,
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
и уравнение обращается в тождество:
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
и вообще функции
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, где Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— произвольные постоянные.
В самом деле
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
и уравнение обращается в тождество
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, можно получить решение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, удовлетворяющее любому заданному начальному условию Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Равенство вида Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, которая получается из общего решения Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка. Соотношение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядканазывается в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y I = f(x, y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(xo ) = yo, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x, y) — правая часть дифференциального уравнения y I = f(x, y) — непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f Iy (x, y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
получим
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Решая это уравнение относительно C получим C = — 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.
Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка) проходящей через точку Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаЗаметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

Видео:Дифференциальные уравнения 1-го порядка.Скачать

Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Это уравнение для каждой точки Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаопределяет значение производной Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, т. е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений или поле линейных элементов. Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках .

Рассмотрим уравнение
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
В каждой точке (x, y), отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен отношению Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, т. е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (x, y). Очевидно, что интегральными кривыми будут прямые y=Cx, где C — произвольная постоянная, т. к. направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рассматривая уравнение первого порядка Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкачастного решения, удовлетворяющего этому условию.
Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным.
Рассмотрим, например, уравнение
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Общим решением является функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, а интегральными кривыми — семейство гипербол, причем через каждую точку Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т. е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy.
Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.
В некоторых случаях решение может оказаться не единственным.
Так, например, уравнение
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0).
В самом деле, функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаявляется общим решением этого уравнения, а при любом значении C прямая Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкапроходит через начало координат. На вопрос, при каких условиях для уравнения Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаможно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, отвечает следующая теорема.

Теорема.
Пусть функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи ее частная производная Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядканепрерывны в некоторой области D на плоскости xOy. Тогда, если точка Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкапринадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, удовлетворяющее начальному условию Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Геометрически это означает, что через каждую точку Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаобласти D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .
Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
и
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
не определены при Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором — к нарушению единственности в точке (0,0).

1.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

или
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Это уравнение можно переписать так:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

или в симметричной форме

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,

дающей соотношение между переменными x и y и их дифференциалами.

Если в этом уравнении функция P зависит только от x , а функция Q — только от y, то уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Таким образом, уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Решение такого уравнения получается прямым интегрированием. Так как слева стоит сумма дифференциалов двух функций, которая равна нулю, то сумма их интегралов равняется постоянной

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Пример

Уравнение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Уравнение вида Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

или
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Пример

Дано уравнение
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаили Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Разделим переменные Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи интегрируем Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

В результате вычисления получим:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Это выражение можно записать в иной форме:
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
т. к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.

Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

. Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

1.2. Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядканазывается однородной функцией измерения n, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t n f(x, y) .

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Пример

Функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаесть однородная функция измерения 2, т. к.
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка,
если функции Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаявляются однородными функциями одного и того же измерения.

Для однородного уравнения имеем:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Полагая в последних равенствах Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, получаем

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи далее Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Для разделения переменных введем новую переменную V = y/x или y = Vx. Так как в этом случае dy = xdV +Vdx, то последнее уравнение принимает вид:

M(1,V)dx + N(1,V)(xdV + Vdx) = 0,

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными x и V, из него определяется V, а затем искомая функция y = Vx.

Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x, y) = F(v), где V = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для приведения его к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка
V = y/x, отсюда y = Vx и dy/dx = xdV/dx + V.
В итоге получается уравнение с разделяющимися переменными: xdV/dx = F(V) — V, которое и интегрируется.

Пример

Решить уравнение (y 2 — 3x 2)dx + 2xydy = 0, при начальном условии: y(0) = 0 .

Здесь M(x, y) = (y 2 — 3x 2) и N(x, y) = 2xy — однородные функции измерения 2.

Применим подстановку y = vx, при этом dy = xdv +vdx.

Получим: x 2(v 2 — 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0.
Сгруппируем слагаемые x 2(v 2 — 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0 относительно dx и dv и разделим переменные:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

После интегрирования получим: x 3(v = C или

общий интеграл: x(y 2 — x 2) = C

Используя начальные условия y(0) = 0 имеем = C, отсюда C = 0.

Частное решение данного уравнения: x(y 2 — x 2) = 0

Видео:Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

или x = y и x = — y

1.3. Линейные уравнения первого порядка

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,

где Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаи Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

— заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т. е. Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
то уравнение называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.
Таким образом, Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— линейное однородное уравнение, а Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— линейное неоднородное уравнение.

Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод — метод Бернулли

Для решения уравнения применим подстановку y=UV, причем функцию U=U(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкамы выберем произвольно, подчинив некоторому условию. Так как при этом Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, то эта подстановка дает:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
и
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Используя произвольный выбор функции V, подчиним ее условию: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Разделяя переменные и интегрируя в последнем равенстве, получаем:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Поэтому исходное уравнение после подстановки полученной функции V(x) имеет вид: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными.
Решая его, получаем:
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, а после интегрирования Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Возвращаясь к переменной y=UV имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Пример

Решить уравнение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Здесь Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Имеем:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаГеометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаГеометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— общее решение линейного уравнения.

II метод — метод вариации произвольной постоянной — метод Лагранжа

В линейном однородном уравнении Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкапеременные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Y , легко находится:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Будем теперь находить общее решение неоднородного линейного уравнения Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, считая, что общее решение неоднородного уравнения y имеет такую же форму, как и общее решение cоответствующего однородного уравнения Y , но где C есть не постоянная величина, а неизвестная функция от x , т. е. считая, что

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Дифференцируя это выражение

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

и подставляя в рассматриваемое неоднородное уравнение, получим:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаили Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Откуда находим функцию C(x) :

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Полученное общее решение состоит из двух слагаемых, из которых второе Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаявляется общим решением соответствующего однородного уравнения, а первое Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаявляется частным решением неоднородного уравнения, получаемым из общего при Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Пример

Найти общее решение уравнения
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Считаем C функцией x : Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
Подставляем в исходное уравнение:
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

1.4. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида dy/dx + P(x)y = Q(x)y n.

При n = 0 или n = 1 уравнение становится линейным, методы интегрирования которого рассматривались в предыдущем пункте.

Есть следующие два способа интегрирования этого уравнения.

1. Уравнение приводится к линейному.

Разделив все члены такого уравнения на y n, получим:

y — n(dy/dx) + P(x)y — n+1 = Q(x).

Видео:Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка: пример 1Скачать

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка: пример 1

После подстановки этих выражений в уравнение оно примет вид:

Это линейное уравнение относительно функции z. После его интегрирования возвращаемся к переменной y, подставив вместо z выражение y 1-n. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

2. Уравнение решается по методу Бернулли с подстановкой y = UV, уже использованному для решения линейных неоднородных уравнений.

Пример

Найти общее решение уравнения Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.


Разделив обе части уравнения на y 2, получим:

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.


Введем новую переменную Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, тогда Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.


Подставляя в уравнение, получим:

Это линейное уравнение относительно функции z(x) .

Применим метод вариации произвольной постоянной:


Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
Интегрируя по частям, находим Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,

следовательно Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Заменяя теперь z на Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
получим: Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкаили Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Это и есть общее решение исходного уравнения.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,

левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, т. е.

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Переписав исходное уравнение в виде Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, заключим, что общий интеграл этого уравнения определяется формулой Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Как известно, полный дифференциал функции Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядкавыражается формулой

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, выражается равенством

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Функция Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, входящая в формулу Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка, находится интегрированием функций P(x, y) и Q(x, y) соответственно по x и y при этом вторая переменная считается величиной постоянной (соответственно y или x).

Пример

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Для данного уравнения

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Так как выполнено условие (#), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, следовательно,

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Интегрируя первое из этих уравнений ( y при этом считается постоянным), находим

Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,

где Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка— функция подлежащая определению.

Дифференцируя по y функцию U(x, y) = C и принимая во внимание значение Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
получаем
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
откуда
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
Подставив выражение для
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
в равенство
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
найдем
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.
В соответствии с формулой
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
получаем
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка
или
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка,
где
Геометрическое качественное исследование дифференциальных уравнений 1 го порядка.

Итак, общий интеграл данного уравнения:

Это уравнение является также однородным и его можно проинтегрировать другим способом.

Видео:Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными


источники:

🎥 Видео

ДУ Простейшие типы уравнений 1-го порядкаСкачать

ДУ Простейшие типы уравнений 1-го порядка

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Высшая математика.Скачать

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Высшая математика.

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать

Задача Коши для дифференциальных уравнений

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия и общие замечания.Скачать

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия и общие замечания.

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения
Поделиться или сохранить к себе: