Докажите что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах by c 0 (5 видео)

Докажите что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах by c 0

Вопрос 1. Объясните, как определяются координаты точки.
Ответ. Проведём на плоскости через точку O две взаимно перпендикулярные прямые x и y – оси координат (рис. 170). Ось x (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точкой пересечения O – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.

Каждой точке A плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу (x) и ординату (y) по такому правилу.
Через точку A проведём прямую, параллельную оси ординат (рис. 171). Она пересечёт ось абсцисс x в некоторой точке A_x. Абсциссой точки A мы будем называть число x, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки A_x. Это число будет положительным, если Ax принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если A_xпринадлежит отрицательной полуоси. Если точка A лежит на оси ординат y, то полагаем x равным нулю.

Ордината (y) точки A определяется аналогично. Через точку A проведём прямую, параллельную оси абсцисс x (см. рис. 171). Она пересечёт ось ординат y в некоторой точке A_y. Ординатой точки A мы будем называть число y, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки A_y. Это число будет положительным, если A_y принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если A_y принадлежит отрицательной полуоси. Если точка A лежит на оси абсцисс x, то полагаем y равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: A (x; y) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината).

Вопрос 2. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвёртой) четверти?
Ответ. Оси координат разбивают плоскость на четыре части – четверти: I, II, III, IV (рис. 172). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения.

Если точка принадлежит первой четверти, то её абсцисса и ордината будут положительными.
Если точка принадлежит второй четверти, то её абсцисса будет отрицательной, а ордината будет положительной.
Если точка принадлежит третьей четверти, то её абсцисса и ордината будут отрицательными.
Если точка принадлежит четвёртой четверти, то её абсцисса будет положительной, а ордината будет отрицательной.

Вопрос 3. Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат?
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс?
Чему равны координаты начала координат?
Ответ. Точки оси x (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (y = 0), а точки оси y (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (x = 0).
Если какая-либо точка лежит на оси ординат y, то абсцисса данной точки равна нулю.
Если какая-либо точка лежит на оси абсцисс x, то ордината данной точки равна нулю.
У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.

Вопрос 4. Выведите формулы для координат середины отрезка.
Ответ. Пусть A (x₁; y₁) и B (x₂;y₂) – две произвольные точки и C (x; y) – середина отрезка AB. Найдём координаты x, y точки C.
Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB не параллелен оси y, т.е. (x_1 neq x_2). Проведём через точки A, B, C прямые, параллельные оси y (рис. 173). Они пересекут ось x в точках A1 ((x_1); 0), B1 ((x_2); 0), C ((x); 0). По теореме Фалеса точка (C_1) будет серединой отрезка (A_1B_1).

Так как точка (C_1) – середина отрезка (A_1B_1), то (A_1C_1 = B_1C_1), а значит, (|x – x_1| = |x – x_2|). Отсюда следует, что либо (x – x_1 = -(x – x_2)). Первое равенство невозможно, так как (x_1 neq x_2). Поэтому верно второе. А из него получается формула

Если (x_1 = x_2), т.е. отрезок AB параллелен оси y, то все три точки (A_1, B_1, C_1) имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остаётся верной и в этом случае.
Ордината точки C находится аналогично. Через точки A, B, C проводятся прямые, параллельные оси x. Получается формула

Вопрос 5. Выведите формулу для расстояния между точками.
Ответ. Пусть на плоскости xy даны две точки: (A_1) с координатами (x_1, y_1) и (A_2) с координатами (x_2, y_2). Выразим расстояние между точками (A_2) и (A_2) через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда (x_1 neq x_2) и (y_1 neq y_2). Проведём через точки (A_1) и (A_2) прямые, параллельные осям координат, и обозначим через A точку их пересечения (рис. 174). Расстояние между точками (A) и (A_1) равно (|y_1 – y_2|), а расстояние между точками (A) и (A_2) равно (|x_1 – x_2|). Применяя к прямоугольному треугольнику (AA_1A_2) теорему Пифагора, получим:

(d^2 = (x_1 — x_2)^2+ (y_1 — y_2)^2), (*)

где d –расстояние между точками (A_1) и (A).

Хотя формула (*) для расстояния между точками выведена нами в предположении (x_1 neq x_2), (y_1 neq y_2), она остаётся верной и в других случаях. Действительно, если (x_1 = x_2), (y_1 neq y_2), то d равно (|y_2 — y_2|). Тот же результат даёт и формула (*). Аналогично рассматривается случай, когда (x_1 neq x_2, y_1 = y_2). При (x_1 = x_2, y_1 = y_2) точки (A_1) и (A_2) совпадают и формула (*) даёт d = 0.

Вопрос 6. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
Ответ. Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Вопрос 7. Выведите уравнение окружности.
Ответ. Составим уравнение окружности с центром в точке A_O (a; b) и радиусом R (рис. 175). Возьмём произвольную точку A (x; y) на окружности. Расстояние от неё до центра A_O равен ((x – a)^2 + (y – b)^2). Таким образом, координаты x, y каждой точки A окружности удовлетворяют уравнению

Обратно: любая точка A, координаты которой удовлетворяют уравнению (*), принадлежит окружности, так как расстояние от неё до точки A_O равно R. Отсюда следует, что уравнение (*) действительно является уравнением окружности с центром A_Oи радиусом R. Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Вопрос 8. Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ax + by + c = 0.
Ответ. Докажем, что любая прямая в декартовых координатах x, y имеет уравнение вида

где a, b, c – некоторые числа.
Пусть h – произвольная прямая на плоскости xy. Проведём какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой h, и отложим на ней от точки пересечения C с прямой h равные отрезки CA₁ и CA₂(рис. 176).

Пусть a₁, b₁ – координаты точки A₁ и a₂, b₂ – координаты точки A₂. Как мы знаем, любая точка A (x; y) прямой h равноудалена от точек A₁ и A₂. Поэтому координаты её удовлетворяют уравнению

((x – a_1)^2 + (y — b_1)^2 = (x – a_2)^2 + (y — b_2)^2). (**)

Обратно: если координаты x и y какой-нибудь точки удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от точек A₁ и A₂, а значит, принадлежит прямой h. Таким образом, уравнение (**) является уравнением прямой h. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид:

(2(a_2 — a_1)x + 2(b_2 — b_1)y + (a_1^2 + b^2_1 — a^2_2 — b^2_2) = 0.)

Обозначая (2(a_2 — a_1) = a), (2(b_2 — b_1) = b), (a^2_1 + b^2_1 — a^2_2 — b^2_2 = c), получаем уравнение (*). Утверждение доказано.

Вопрос 9. Как найти координаты точки пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых?
Ответ. Пусть заданы уравнения двух прямых:

Найдём координаты их точки пересечения.
Так как точка пересечения (x; y) принадлежит каждой из прямых, то её координаты удовлетворяют и первому и второму уравнению. Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые. Рассмотрим пример.
Пусть уравнениями данных прямых будут:

Решая эту систему уравнений, находим x = -3, y = -7. Точка пересечения прямых (-3; -7).

Вопрос 10. Как расположена прямая, если в её уравнении коэффициент a = 0 (b = 0; c = 0)?
Ответ. Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если её уравнение ax + by + c = 0 имеет тот или иной частный вид.
1. a = 0, b (neq) 0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ((-frac)); следовательно, прямая параллельна оси x (рис. 177, а). В частности, если c = 0, то прямая совпадает с осью x.
2. b = 0, a (neq) 0. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси y (рис. 177, б) и совпадает с ней, если c = 0.

3. c = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 177, в).

Содержание

Докажите что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах by c 0
Уравнение прямой
Общее уравнение прямой
📽️ Видео

Видео:9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

Докажите что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах by c 0

Уравнение прямой

Любая прямая в декартовых координатах x, y имеет уравнение вида:

ax + by + c = 0,

где a, b и c – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

Составим уравнение прямой, которая проходит через точки А(-1; 1), B(1; 0).

Решение.

Мы уже знаем, что прямая имеет уравнение вида ax + by + c = 0. Подставляя координаты А и B в этом уравнении, получим:

Выразим из этих уравнений два коэффициента a и b через третий. Если быть точнее, выразим коэффициенты a и b через коэффициент c:

В уравнении a + c = 0 находим значение a через c:

В уравнении –a + b + c = 0 находим значение b через c (одновременно заменив в нем и значение a уже найденным выше значением c):

b = a – c = -c – c = -2c.

Итак, мы получили новые значения a и b: a = -c, b = -2c.

Теперь в уравнении прямой ax + by + c = 0 ставим полученные значения a и b:

ax + by + c = —cx – 2cy + c = 0.

Сокращаем c и получаем окончательное уравнение искомой прямой:

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Общее уравнение прямой

В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0, где a, b и c — некоторые числа (a и b не равны нулю одновременно).

Уравнение вида ax+by+c=0 — общее уравнение прямой.

Пусть в координатной плоскости задана некоторая прямая m.

Построим отрезок AB так, что AB⊥m и AB∩m=F, AF=BF (то есть прямая m — серединный перпендикуляр к AB).

Отметим на прямой m произвольную точку M(x;y).

В прямоугольных треугольниках AFM и BFM:

1) MF — общий катет;

2) AF=BF (по построению).

Значит ΔAFM =ΔBFM (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.

Возведём в квадрат обе части равенства:

Уравнение принимает вид: ax+by+c=0.

В силу произвольности выбранной точки M этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой m (если же M(x;y)∉m, то AM≠BM и координаты точки M уравнению не удовлетворяют).

Так как точки A и B различны, хотя бы одна из разностей x₂-x₁, y₂-y₁ отлична от нуля, значит a и b не обращаются в нуль одновременно. Отсюда следует, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Частные случаи расположения прямой в декартовой системе координат

Подставим эти значения в уравнение прямой: 0·x+by+c=0. Отсюда by+c=0, by=-c,