Дискретный аналог двухмерного нестационарного уравнения теплопроводности с источниковым слагаемым (5 видео)

Стационарная одномерная теплопроводность

Содержание

Получение дискретного аналога
Патанкар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах
Нестационарная одномерная теплопроводность. Обобщенный дискретный аналог. Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы.
📽️ Видео

Видео:Решение неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Получение дискретного аналога

В данном пособии будем рассматривать применение численных методов для решения задач теплопроводности в твердых телах (металлах, изоляторах и пр.).

Численное решение задачи можно начинать, когда законы, управляющие физическим процессом, выражены в математической форме, обычно в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Подробный и полный вывод этих уравнений можно найти в стандартных учебниках по теплопередаче.

Остановимся на описании общего вида дифференциального уравнения нестационарной трехмерной теплопроводности:

dt дх дх ) ду ду) dz у dz)

где S — источниковый член уравнения (например, тепловой поток внутри тела за счет протекания электрического тока).

Здесь левая часть уравнения описывает изменение температуры в точке тела в течение времени, а правая часть описывает тепловые потоки, за счет которых происходит данное изменение: тепловой поток, связанный с разностью температур внутри тела по закону Фурье и внутренние источники тепла.

Описанное выше уравнение представляет зависимую переменную Т как функцию трех пространственных координат и времени: Т = Т(х, у, z,t), которые являются в свою очередь независимыми переменными.

В случае стационарной одномерной теплопроводности уравнение (2.1) имеет вид:

Для получения дискретного аналога будет использовано показанное на рисунке 2.1 расположение узловых точек. В центре нашего внимания оказывается точка Р, окруженная точками Е и W (Е — восточная сторона, т.е. направление вдоль оси х, W — западная сторона, т. е. направление, обратное направлению оси х). Штрихом показаны границы контрольного объема, его размер равен Ах. Эти границы обозначены буквами е и w. (&)_и, и (&)_е — расстояние от точки Р до точек W и Е соответственно.

Рисунок 2.1 Шаблон узловых точек для одномерной задачи.

Интегрируя (2.2) по выделенному таким образом контрольному объему, получаем

где A — площадь поперечного сечения контрольного объема (для удобства рассуждений считаем ее постоянной по всей расчетной области).

Для дальнейшего построения дискретного аналога нам необходимо z . . dl

определить температурный градиент (описываемый производной —) на гранях dx

контрольного объема и изменение величины S в пределах контрольного объема. Температурный градиент можно определить, зная профиль температуры между точками W, Р и Е. Наиболее простыми видами профилей являются ступенчатый и кусочно-линейный (рисунок 2.2). В ступенчатом профиле предполагается, что значение температуры остается неизменным на протяжении всего контрольного объема. В кусочно-линейном профиле изменение температуры между узловыми точками описывается линейными интерполяционными функциями.

а) б)

Рисунок 2.2. Простые аппроксимации профилей: а — ступенчатый профиль; б — кусочно-линейный профиль.

В настоящей задаче удобно задать изменение температуры кусочно-линейным

профилем, поскольку для такого профиля легко можно определить производную — dx

на гранях контрольного объема.

Используя кусочно-линеныи профиль для определения — получим dx

где 5 — среднее по контрольному объему значение S (используем ступенчатый профиль). Полезно записать уравнение (2.4) в следующем виде:

Часто источниковый член является функцией зависимой переменной (в нашем случае температуры). Наиболее простой формой является линейная зависимость.

Поэтому проведем процедуру линеаризации источникового члена. Для это представим:

S = S_V+S_PT_P, (2.6) где S_v — постоянная составляющая S, S_p — коэффициент (стоит отметить, что это не значение S в точке Р).

Подставляя (2.6) в (2.5) и приводя подобные слагаемые получим

Уравнение (2.7) представляет собой стандартный вид дискретного аналога дифференциального уравнения. Как можно видеть уравнение связывает значение температуры в точке Р с температурой в соседних точках. Это уравнения является уже алгебраическим уравнением и используется для нахождения значения температуры в точке Р. Стандартный вид позволяет унифицировать процедуру дальнейшего расчета систем полученных уравнений.

Уравнение (2.7) также можно представить в следующем виде:

где индекс «пЬ» относится к соседним с точкой Р узлам.

Как уже было отмечено выше метод контрольного объема позволяет обеспечить интегральный баланс зависимой переменной во всей расчетной области, что крайне важно для получения правильного и «физичного» решения задачи. Однако для этого необходимо соблюдать следующие основные правила построения дискретных аналогов.

Правило 1. Соответствие потоков на границах контрольного объема.

Выражение потока через границу, общую для двух прилегающих контрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этих объемов должно быть одним и тем же.

Очевидно, что тепловой поток, покидающий один контрольный объем через его границу, должен быть равен потоку, входящему через эту границу в соседний контрольный объем. В противном случае не будет сохраняться полный баланс теплоты.

Правило 2. Положительность коэффициентов.

Все коэффициенты (а_Р и а_пЬ) всегда должны быть положительными.

В интересующих нас задачах теплопроводности влияние значение зависимой переменной в точках, соседних с некоторой узловой, на значение в этой узловой точке обусловлено процессами диффузии. Следовательно, увеличение значения в одной узловой точке должно, при прочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению) значения в соседней узловой точке. Тогда, как видно из уравнения (2.7), из увеличения Т_р при увеличении, например, Т_Е следует, что коэффициенты а_Е и а_р должны иметь одинаковый знак. Другими словами, в общем случае, знаки коэффициентов перед значениями зависимой переменной в соседних точках а_пЬ и коэффициента перед ее значением в центральной точке а_Р должны быть одинаковыми. Для удобства договоримся записывать разностный аналог с положительными коэффициентами.

Правило 3. Отрицательность коэффициента при линеаризации источникового члена.

При рассмотрении уравнения (2.7) можно заметить, что коэффициент а_Р может стать отрицательным за счет S_P. Поэтому необходимо при линеаризации источникового члена добиваться того, чтобы коэффициент S_P был отрицательным. Это правило имеет вполне понятное физическое объяснение — при положительной Источниковой составляющей физический процесс может стать неустойчивым, поскольку в таком случае нет контроля роста температуры Т_р.

Правило 4. Сумма соседних коэффициентов.

В случае, когда дифференциальное уравнение удовлетворяется также при добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо, чтобы

Часто в уравнение входят только производные зависимой переменной, при этом данному дифференциальному уравнению могут удовлетворять как функции Т,

так и функции Т + с. Для обеспечения выполнения этого свойства дифференциального уравнения в дискретном аналоге необходимо потребовать в таком случае равенства а_р = ^а_пЬ.

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Патанкар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах

формат pdf
размер 6.37 МБ
добавлен 21 декабря 2011 г.

Пер. с англ. — М.: Издательство МЭИ, 2003. — 312 с., ил., ISBN 5-7046-0898-1.

Эта книга посвящена численному анализу процессов теплопроводности и переноса тепла при полностью развитых течениях в каналах, а также процессов, аналогичных в смысле математического описания, таких, например, как фильтрация жидкости в пористых средах, потенциальные течения и др. В книге приводятся описание многоцелевой компьютерной программы CONDUCT, возможности которой демонстрируются на пятнадцати примерах решения различных прикладных задач, приводятся фортрановские тексты ядра программы CONDUCT, а также тексты адаптируемых модулей для каждого из рассмотренных примеров. Книга предназначена для аспирантов и студентов старших курсов технических университетов, может быть также полезна для инженеров и научных сотрудников.

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Нестационарная одномерная теплопроводность. Обобщенный дискретный аналог. Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы.

Нестационарные процессы теплопроводности. Общие понятия.

Теория теплопередачи, или теплообмена, представляет собой учение о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур.

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве неравномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры. теплопроводность турбулентный температура молекулярный

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом. Частным случаем конвективного теплообмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой стенкой и движущейся средой. Теплоотдача может сопровождаться тепловым излучением. В этом случае перенос теплоты осуществляется одновременно теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом вещества — массообменном, который проявляется в установлении равновесной концентрации вещества.

Совместное протекание процессов теплообмена и массообменна называется тепломассообменном.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях при условии невозможности возникновения в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; ф — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся (нестационарному) режиму теплопроводности.

Если температурное поле зависит только от одной координаты, то оно называется одномерным и отвечает одномерному режиму теплопроводности.

В ходе этих тепловых процессов всегда . В ходе этих тепловых процессов всегда происходят локальные изменения внутренней энергии или энтальпии вещества. Нестационарные процессы связаны с прогревом или охлаждением материала и элементов оборудования при пуске, остановке или изменении технологического режима процесса, например при производстве целлюлозы, стекла, обжиге кирпича, плавлении металла и т.д.

Однако многие задачи гидродинамики, теплообмена и массообмена, с которыми в настоящее время приходится сталкиваться исследователям и инженерам, не поддаются аналитическому решению, и единственная возможность их теоретического анализа — получение численного решения. Прогресс в разработке численных методов позволил существенно расширить круг задач, доступных анализу; полученные на их основе результаты используются практически во всех областях техники. Особенно велика их роль в таких областях, как ракетная техника, авиация, энергетика, в частности ядерная, где численные решения прочно вошли в практику.

Одним из популярных методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных — является метод конечных объемов. Суть метода заключается в том, что выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определенным законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины , в каждой точке пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объемом, в момент времени существует следующая зависимость: общее количество величины в объеме может изменяться за счет следующих факторов:

транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объем — поток;

генерация (уничтожение) некоторого количества величины внутри контрольного объема — источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объеме.

Обобщенное дифференциальное уравнение

Краткое рассмотрение некоторых дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен и гидродинамику, показывает, что интересующие нас зависимые переменные подчиняются обобщенному закону сохранения.. Если обозначить зависимую переменную Ф, то обобщенное дифференциальное уравнение примет вид:

где Г — коэффициент диффузии; S — источниковый член. Конкретный вид Г и S зависит от смысла переменной Ф (в действительности следовало бы использовать обозначения Г_ф и S_ф, но это привело бы к слишком большому количеству нижних индексов в дальнейших выкладках).

В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный и источниковый. Зависимая переменная Ф обозначает различные величины, такие, как массовая концентрация химической компоненты, энтальпия или температура, составляющая скорости, кинетическая энергия турбулентности или масштаб турбулентности. При этом коэффициенту диффузии Г и источниковому члену S следует придать соответствующий каждой из этих переменных смысл. Не все диффузионные потоки определяются градиентом соответствующей переменной. Однако запись диффузионного члена уравнения в виде div (ГgradФ) не ограничивает применение обобщенного уравнения для Ф случаями, когда диффузионные процессы обусловлены соответствующими градиентами. Ту часть диффузионного члена уравнения, которую нельзя выразить в указанном виде, всегда можно записать как часть источникового члена; фактически коэффициент диффузии Г можно даже считать равным нулю. Явная запись диффузионного члена в обобщенном уравнении для Ф через ее градиент использовалась потому, что для большинства зависимых переменных диффузионный член имеет именно такой вид.

Входящая в (1) плотность может быть связана с такими переменными, как массовая концентрация и температура, через уравнение состояния. Эти переменные и составляющие скорости также подчиняются обобщенному дифференциальному уравнению. Кроме того, поле скорости должно удовлетворять дополнительному ограничению, а именно закону сохранения массы или уравнение неразрывности, имеющему вид:

Уравнения (1) и (2) записаны в векторном виде. Эти уравнения можно представить также в тензорной форме в декартовой системе координат:

где нижний индекс j в соответствии с тремя пространственными координатами принимает значения 1, 2, 3.

Одно из достоинств тензорной записи в декартовой системе координат заключается в том, что одномерный вид уравнения можно получить, если просто опустить индекс j. Процедура записи дифференциального уравнения в обобщенном виде (1) заключается в его преобразовании до тех пор, пока нестационарный, диффузионный и источниковый члены уравнения для данной зависимой переменной не примут стандартный вид. Тогда в качестве выражения для Г берут коэффициент перед gradФ в диффузионном члене, а все оставшиеся члены в правой части обозначают S (источниковый член). Стоит заметить, что иногда удобнее иметь дело с безразмерными величинами. При этом также можно считать, что каждое из дифференциальных уравнений, записанное через безразмерные переменные, можно представить в обобщенном виде (1), где Ф — безразмерная зависимая переменная, а Г и S — безразмерные коэффициент диффузии и источниковый член. Во многих случаях безразмерный коэффициент Г= 1, a S принимает значения 0 либо 1. Тот факт, что все интересующие нас дифференциальные уравнения, описывающие тепло- и массообмен, гидродинамику и турбулентность, можно рассматривать как частные случаи обобщенного уравнения для Ф, позволяет ограничиться численным решением (1). Следовательно, при создании программы расчета достаточно записать общую последовательность операций для решения уравнения (1), которую можно применять для нахождения различных Ф пр использовании соответствующих выражений для Г и S и, конечно, соответствующих начальных и граничных условий. Таким образом, концепция обобщенного уравнения позволяет сформулировать обобщенный численный метод и подготовить многоцелевые программы расчета.

Нестационарная теплопроводность. Обобщенный дискретный аналог.

Рассматривая значения в узловых точках, мы заменяем непрерывную информацию, содержащуюся в точном решении дифференциального уравнения, дискретными значениями. Таким образом, происходит дискретизация распределения Ф, и этот класс численных методов называется методами дискретизации..

Дискретный аналог исходного уравнения — алгебраические уравнения включающие неизвестные значения Ф в выбранных узловых точках — получаемые из дифференциального уравнения, описывающего изменение величины Ф.

Обратимся к нестационарному члену и временно опустим источниковый член.

Таким образом, ищем решение нестационарного одномерного уравнения теплопроводности:

В дальнейшем для удобства будем полагать постоянным. Поскольку время является однонаправленной координатой, решение получаем, передвигаясь во времени от заданного начального распределения температуры. Таким образом, на типичном временном шаге по заданным значениям Т в узловых точках для времени t надо определить значения Т для времени t+Дt. Старые (заданные) значения Т в узловых точках обозначим T_P 0 , T_E 0 , T_W 0 , а новые (неизвестные) значения для времени t+Дt — T_P 1 , T_E 1 , T_W 1 .

Дискретный аналог получим путем интегрирования уравнения (4.4) по контрольному объему и по временному интервалу от t до t+Дt. Таким образом,

где пределы интегрирования выбраны в соответствии с физическим смыслом членов. Для представления члена дT/дt предположим, что значение T в узловой точке распространено на весь КО, тогда

Следуя способу аппроксимации члена лдT/дt в стационарном случае, получаем:

На данном этапе необходимо ввести предположение относительно, изменения во времени от t до t+Дt температур Т_Р, Т_Е и T_W. Возможны различные предположения, и одно из них имеет следующий вид:

где f — весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1. Используя аналогичные соотношения для интегралов от Т_Е до T_W из уравнения (8), находим

Преобразуя это выражение, опустим индекс 1 и запомним, что Т_Р, Т_Е и T_W с этого момента будут означать новые значения T для времени t+Дt. В результате имеем (9)

Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы

Для определенных конкретных значений весового коэффициента f дискретный аналог приводится к хорошо известным схемам для параболических дифференциальных уравнений. В частности, для f = 0 получаем явную схему, для f = 0,5 — схему Кранка — Николсона и для f = 1 — полностью неявную схему. Кратко рассмотрим эти схемы и покажем, что неявная схема наиболее предпочтительна. Различные значения f можно интерпретировать как характеристику изменения Т_Р от t, показанного на рис. 1

Явная схема. f = 0. По существу предполагает, что старое значение T_P 0 существует в пределах всего временного шага, за исключением точки t+Дt.

Рис. 1 Изменение температуры по времени для явной схемы (1), схемы Кранка-Николсона (2) и полностью неявной схемы (3).

Для явной схемы уравнение (9) принимает следующий вид:

Это означает, что Т_Р не зависит от других неизвестных, таких, как Т_E или Т_W, а является явно определенной по известным температурам T_P 0 , T_E 0 , T_W 0 . Поэтому схема и называется явной. Любая схема с f?1 должна быть неявной, так как Т_Р зависит от неизвестных Т_E и Т_W,, в этом случае необходимо решать одновременно несколько уравнений. Удобство явной схемы в этом отношении компенсируется, однако, рядом ограничений. Анализируя (9) для явной схемы и вспоминая основное правило о положительных коэффициентах (правило 2), замечаем, что коэффициент при T_P 0 может принимать отрицательные значения (значение T_P 0 рассматривается как соседнее с Т_Р по временной координате).

Действительно, для того чтобы этот коэффициент был положительным, шаг по времени должен быть достаточно малым, т.е. a_P>a_E+a_W. Для постоянного коэффициента теплопроводности и Дx=(дx)e=(дx)w это условие запишется в виде

Если это условие нарушается, то могут возникнуть физически неправдоподобные результаты, так как из отрицательности коэффициента следует, что увеличение T_P 0 приводит к уменьшению Т_Р. Уравнение (10) является хорошо известным критерием устойчивости явной схемы.

Схема Кранка-Николсона. f = 0.5. Схема предполагает линейное изменение Т_Р. С первого взгляда линейное изменение должно быть более разумным, чем две другие альтернативы. Обычно схема Кранка-Николсона считается безусловно устойчивой. Иногда это объясняют исходя из того, что физически реальное решение будет получаться независимо от значения шага по времени. Однако в этом случае могут иметь место колеблющиеся решения. Устойчивость в математическом смысле просто гарантирует, что эти колебания будут, в конечном счете, затухать, но это не обеспечивает физически правдоподобного решения.

В рамках нашей модели такое поведение легко объясняется. Для f = 0.5 коэффициент при T_P 0 в уравнении (9) становится равным a_P 0 -(a_E+a_W)/2. Для постоянного коэффициента теплопроводности и равномерной сетки этот коэффициент, как видно, равен . Когда шаг по времени недостаточно мал, этот коэффициент может становиться отрицательным, что делает возможным физически неправдоподобный результат.

Неявная схема. f = 1. Предполагает, что в момент t Т_Р резко изменяется от T_P 0 до T_P 1 , а затем остается равной T_P 1 на всем временном, шаге и температура в пределах временного шага характеризуется новым значением Т_Р.

Если потребовать, чтобы коэффициент при T_P 0 в уравнении (9) не был отрицательным, то только постоянная величина f = 1 обеспечит это условие (конечно, это не имеет смысла для f >1). Таким образом, полностью неявная схема (f = 1) удовлетворяет требованиям простоты и физически обоснованного поведения.

Запишем уравнение (9) в полностью неявном виде. Для этого введем линеаризованный источниковый член, который примем уменьшающимся во времени. В результате получим

Видно, что при это уравнение приводится к стационарному дискретному аналогу. Основным принципом полностью неявной схемы является то, что в пределах всего шага по времени температура принимается равной новому значению Т_Р. Таким образом, если коэффициент теплопроводности л_Р зависит от температуры, он должен пересчитываться через Т_Р в итерационном процессе точно так же как. и при решении стационарной задачи.