4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Содержание
  1. Логарифмическое уравнение регрессии
  2. Логарифмическое уравнение регрессии
  3. Логарифмические уравнения и системы
  4. п.1. Методы решения логарифмических уравнений
  5. п.2. Решение уравнений вида (log_a f(x)=log_a g(x))
  6. п.3. Решение уравнений вида (log_ f(x)=log_ g(x)) Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение. Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней. Например: Решим уравнение (log_(x^2-4)=log_(2-x)) Найдем ОДЗ в явном виде: ( begin x^2-4gt 0\ 2-xgt 0\ x+5gt 0\ x+5ne 1 end Rightarrow begin xlt -2cup xgt 2\ xlt 2\ xgt -5\ xne -4 end Rightarrow begin -5lt xlt -2\ xne -4 end Rightarrow xin (-5;-4)cup(-4;-2) ) Решаем уравнение: (x^2-4=2-x) (x^2+x-6=0) ((x+3)(x-2)=0) ( left[ begin x_1=-3\ x_2=2 — text end right. ) Ответ: -3 В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять! Например: Решим уравнение (log_(x+1)=log_(x+3)) Основания (2ne 4), и нельзя сразу написать (x+1=x+3). Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть: (log_2(x+1)=log_(x+1)^2=log_4(x+1)^2) Тогда исходное уравнение примет вид: (log_4(x+1)^2=log_4(x+3)) И теперь: ((x+1)^2=x+3) (x^2+x-2=0) ((x+2)(x-1)=0) ( left[ begin x_1=-2\ x_2=1 end right. ) Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения: ( begin x+1gt 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt -3 end Rightarrow xgt -1 ) Корень (x_1=-2lt -1) — не подходит. Ответ: 1 Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни. Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны. Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований. п.4. Примеры Пример 1. Решите уравнения: a) ( log_2(x+1)-log_2(x-1)=1 ) ОДЗ: ( begin x+1gt 0\ x-1gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1 end Rightarrow xgt 1 ) (log_2left((x+1)(x-1)right)=log_22) (x^2-1=2Rightarrow x^2 =3) ( left[ begin x_1=-sqrtlt 2 — text\ x_2=sqrt end right. ) Ответ: (sqrt) б) ( 2log_5(x-1)=log_5(1,5x+1) ) ОДЗ: ( begin x-1gt 0\ 1,5x+1gt 0 end Rightarrow begin xgt 1\ xgt-frac23 end Rightarrow xgt 1 ) Преобразуем: (2log_5(x-1)=log_5(x-1)^2) Получаем: (log_5(x-1)^2=log_5(1,5x+1)) ((x-1)^2=1,5x+1) (x^2-2x+1-1,5x-1=0Rightarrow x^2-3,5x=0Rightarrow x(x-3,5)=0) ( left[ begin x_1=0lt 1 — text\ x_2=3,5 end right. ) Ответ: 3,5 в) ( log_3(3-x)+log_3(4-x)=1+2log_3 2 ) ОДЗ: ( begin 3-xgt 0\ 4-xgt 0 end Rightarrow begin xlt 3\ xlt 4 end Rightarrow xlt 3 ) Преобразуем: (1+2log_3 2=log_3 3+log_3 2^2=log_3(3cdot 4)=log_3 12) Получаем: (log_3left((3-x)(4-x)right)=log_3 12) ((3-x)(4-x)=12Rightarrow 12-7x+x^2=12Rightarrow x(x-7)=0) ( left[ begin x_1=0\ x_2=7gt 3 — text end right. ) Ответ: 0 г) ( log_2^2x+log_2 x^2+1=0 ) ОДЗ: (xgt 0) (log_2x^2=2log_2x) Получаем: (log_2^2x+2log_2x+1=0) Замена: (t=log_2 x) (t^2+2t+1=0Rightarrow(t+1)^2=0Rightarrow t=-1) Возвращаемся к исходной переменной: (log_2x=-1) (x=2^=frac12) Ответ: (frac12) д) ( x^=10 ) ОДЗ: (xgt 0) Замена: (t=lg ⁡x). Тогда (x=10^t) Подставляем: ((10^t)^t=10Rightarrow 10^=10^1Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm 1) Возвращаемся к исходной переменной: ( left[ begin lg x=-1\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,1\ x_2=10 end right. ) Оба корня подходят. Ответ: e) ( sqrtcdot log_5(x+3)=0 ) ОДЗ: ( begin xgeq 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgeq 0\ xgt -3 end Rightarrow xgeq 0 ) ( left[ begin sqrt=0\ log_5(x+3)=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x+3=5^0=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=-2lt 0 — text end right. ) Ответ: 0 ж) ( log_2+2log_x=log_(x+1) ) ОДЗ: ( begin xgt 0\ x+1gt 0\ 5x-2gt 0\ 5x-2ne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xgt -1\ xgtfrac25\ xnefrac35 end Rightarrow begin xgtfrac25\ xnefrac35 end ) Преобразуем: (log_2+2log_x=log_(2x^2)) Подставляем: (log_(2x^2)=log_(x+1)) ( 2x^2=x+1Rightarrow 2x^2-x-1=0Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 Rightarrow left[ begin x_1=-frac12 — text\ x_2=1 end right. ) Ответ: 1 Пример 2*. Решите уравнения: a) ( log_4log_2log_3(2x-1)=frac12 ) ОДЗ: ( begin 2x-1gt 0\ log_3(2x-1)gt 0\ log_2log_3(2x-1)gt 0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ 2x-1gt 3^0\ log_3(2x-1)gt 2^0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ 2x-1gt 3^1 end Rightarrow ) ( Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ xgt 2 end Rightarrow xgt 2 ) Решаем: (log_2log_3(2x-1)=4^=2) (log_3(2x-1)=2^2=4) (2x-1=3^4=81) (2x=82) (x=41) Ответ: 41 б) ( log_2(9-2^x)=25^<log_5sqrt> ) ОДЗ: ( begin 9-2xgt 0\ 3-xgt 0 end Rightarrow begin 2^xlt 9\ xlt 3 end Rightarrow begin xltlog_2 9\ xlt 3 end Rightarrow xlt 3 ) Преобразуем: (25^<log_5sqrt>=25^<log_(sqrt)^2>=25^<log_(3-x)>=3-x) Подставляем: (log_2(9-2^x)=3-x) (9-2^x=2^) (9-2^x-frac=0) Замена: (t=2^xgt 0) ( 9-t-frac8t=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-9t+8gt 0\ tne 0 end Rightarrow begin (t-1)(t-8)=0\ tne 0 end Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=8 end right. ) Возвращаемся к исходной переменной: ( left[ begin 2^x=1\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin 2^x=2^0\ 2^x=2^3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=3 end right. ) По ОДЗ (xlt 3), второй корень не подходит. Ответ: 0 в) ( lgsqrt+lgsqrt+1=lg 30 ) ОДЗ: ( begin x-5gt 0\ 2x-3gt 0 end Rightarrow begin xgt 5\ xgtfrac32 end Rightarrow xgt 5 ) Преобразуем: (lg 30-1=lg 30-lg 10=lgfrac=lg 3) Подставляем: (lgsqrt+lgsqrt=lg 3) (frac12lg(x-5)+frac12lg(2x-3)=lg 3 |cdot 2) (lg(x-4)+lg(2x-3)=2lg 3) (lgleft((x-5)(2x-3)right)=lg 3^2) ((x-5)(2x-3)=9Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 Rightarrow 2x^2-13x+6=0) ( (2x-1)(x-6)=0Rightarrow left[ begin x_1=frac12lt 5 — text\ x_2=6 end right. ) Ответ: 6 г) ( frac+frac+frac=0 ) ОДЗ: ( begin xgt 0\ lg xne 0\ lg 10xne 0\ lg 100xne 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xne 1\ 10xne 1\ 100xne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xneleft<frac;frac;1right> end ) Преобразуем: (lg 10x=lg 10+lg x=1+lg 10) (lg 100x=lg 100+lg x=2+lg x) Подставляем: (frac+frac+frac=0) Замена: (t=lg x) begin frac1t+frac+frac=0Rightarrow frac1t+frac=-fracRightarrow frac=-fracRightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2Rightarrow 5t^2+8t+2=0\ D=8^2-4cdot 5cdot 2=24, t=frac<-8pm 2sqrt>=frac<-4pm sqrt> end Возвращаемся к исходной переменной: $$ left[ begin lg x=frac<-4- sqrt>\ lg x=frac<-4+ sqrt> end right. Rightarrow left[ begin x=10frac<-4- sqrt>\ x=10frac<-4+ sqrt> end right. $$ Оба корня подходят. Ответ: (left<10frac<-4pmsqrt>right>) e) ( x^<frac>=10^ ) ОДЗ: (xgt 0) Замена: (t=lg x.) Тогда (x=10^t) Подставляем: begin (10^t)^<frac>=10^\ frac=t+1Rightarrow t(t+7)=4(t+1)Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\ t^2+3t-4=0Rightarrow (t+4)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-4\ t_2=1 end right. end Возвращаемся к исходной переменной: $$ left[ begin lg x=-4\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,0001\ x_2=10 end right. $$ Оба корня подходят. Ответ: (left) ж) ( 4^=(2x^2+2x+5)^ ) ОДЗ: ( begin 1-xgt 0\ 2x^2+2x+5gt 0 end Rightarrow begin xlt 1\ Dlt 0, xinmathbb end Rightarrow xlt 1 ) По условию: begin log_3(1-x)=log_4left((2x^2+2x+5)^right)\ log_3(1-x)=log_32cdotlog_4(2x^2+2x+5) end Перейдем к другому основанию: $$ frac=fraccdotfrac |cdot lg 3 $$ (frac=frac=frac=frac12) begin lg(1-x)=frac12cdotlg(2x^2+2x+5) |cdot 2\ 2lg(1-x)=lg(2x^2+2x+5)\ lg(1-x)^2=lg(2x^2+2x+5)\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\ x^2+4x+4=0\ (x+2)^2=0\ x=-2 end Ответ: -2 Пример 3. Решите систему уравнений: a) ( begin lg x+lg y=lg 2\ x^2+y^2=5 end ) ОДЗ: ( begin xgt 0\ ygt 0 end ) Из первого уравнения: (lg(xy)=lg 2Rightarrow xy=2) Получаем: ( begin xy=2\ x^2+y^2=5 end Rightarrow begin y=frac2x\ x^2+left(frac2xright)^2-5=0 end ) Решаем биквадратное уравнение: begin x^2+frac-5=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin x^4-5x^2+4=0\ xne 0 end \ (x^2-4)(x^2-1)=0Rightarrow left[ begin x^2=4\ x^2=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm 2\ x=pm 1 end right. end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни. Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=1\ y=frac2x=2 end \ begin x=2\ y=frac22=1 end end right. ) Ответ: (left) б) ( begin x^=27\ x^=frac13 end ) ОДЗ: (xgt 0, xne 1) Логарифмируем: ( begin y+1=log_x27=log_x3^3=3log_x3\ 2y-5=log_xfrac13=log_x3^=-log_x3 end ) Замена: (z=log_x3) begin begin y+1=3z\ 2y-5=-z |cdot 3 end Rightarrow begin y+1=3z\ 6y-15=-3z end Rightarrow begin 7y-14=0\ z=5-2y end Rightarrow begin y=2\ z=1 end end Возвращаемся к исходной переменной: $$ begin y=2\ log_x3=1 end Rightarrow begin x^1=3\ y=2 end Rightarrow begin x=3\ y=2 end $$ Ответ: (3;2) в*) ( begin 3(log_y x-log_x y)=8\ xy=16 end ) ОДЗ: ( begin xgt 0, xne 1\ ygt 0, yne 1 end ) Сделаем замену (t=log_x y). Тогда (log_y x=frac=frac1t) Подставим в первое уравнение и решим его: begin 3left(frac1t-tright)=8Rightarrowfrac=frac83Rightarrow begin 3(1-t^2)=8t\ tne 0 end\ 3t^2+8t-3=0Rightarrow (3t-1)(t+3)=0Rightarrow left[ begin t_1=frac13\ t_2=-3 end right. end Прологарифмируем второе уравнение по (x): $$ log_x(xy)=log_x16Rightarrow 1+log_x y=log_x16Rightarrow 1+t=log_x 16 $$ Получаем: begin left[ begin begin t=frac13\ log_x16=1+t=frac43 end \ begin t=-3\ log_x16=1+t=-2 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x^=16 end \ begin t=-3\ x^=16 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x=(2^4)^=2^3=8 end \ begin t=-3\ x=(16)^=frac14 end end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin begin x=8\ log_x y=frac13 end \ begin x=frac14\ log_x y=-3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=8\ y=8^=2 end \ begin x=frac14\ y=left(frac14right)^=64 end end right. end Ответ: (left) г*) ( begin (x+y)cdot 3^=frac\ 3log_5(x+y)=x-y end ) ОДЗ: (x+ygt 0) Прологарифмируем первое уравнение по 3: begin log_3left((x+y)cdot 3^right)=log_3frac\ log_3(x+y)+(y-x)=log_3frac\ log_3(x+y)-log_3frac=x-y end Получаем:(x-y=3log_5(x+y)=log_3(x+y)-log_3frac) Решим последнее уравнение относительно (t=x+y) begin 3log_5 t=log_3 t-log_3frac\ 3cdotfrac-log_3t=-log_3frac\ log_3tcdotleft(frac-1right)=-log_3frac\ log_3t=-frac<log_3frac><frac-1>=-frac=log_35\ t=5 end Тогда: (x-y=3log_5t=3log_55=3) Получаем систему линейных уравнений: begin begin x+y=5\ x-y=3 end Rightarrow begin 2x=5+3\ 2y=5-3 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end end Требование ОДЗ (x+y=4+1gt 0) выполняется. Ответ: (4;1)
  7. п.4. Примеры
  8. 💥 Видео

Видео:Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать

Решение логарифмических уравнений #shorts

Логарифмическое уравнение регрессии

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:

Параметры уравнения регрессии:

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции 4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции 4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

S 2 (x) = 2 = — 3,633 2 = 0,098

S 2 (y) = 2 = — 39,06 2 = 145,1164

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Формально критерий МНК можно записать так:

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Система нормальных уравнений.

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Для наших данных система уравнений имеет вид:

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

100a + 363.31 b = 3906 363.31 a + 1329.68 b = 14437.69

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение: Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 25.3925, a = -53.1941 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 25.3925 ln(x) — 53.1941

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Рис.2 Значение Y

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1]. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0,1 tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=98 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;б/2) = (98;0.025) = 1.984

где m = 1 — количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

В парной линейной регрессии t 2 r = t 2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Доверительный интервал для коэффициента корреляции:

Видео:Логарифмическая функция, ее свойства и график. 11 класс.Скачать

Логарифмическая функция, ее свойства и график. 11 класс.

Логарифмическое уравнение регрессии

В общем случае уравнение логарифмической функции имеет вид у = aln(x) + b. Применение логарифмической функции в качестве уравнения регрессии возможно только в том случае, если в спектре значений аргумента х (диапазон ячеек А7:А18) отсутствуют нулевые и отрицательные значения.

Пусть исходная заданная функция у = /(х) имеет вид, показанный в таблице (рис. 4.5.1) в диапазоне ячеек А7:В18.

Построим точечный график функции Логарифмическая регрессия у = f(x).

В строке 21 создадим шапку таблицы, как показано нарис. 4.5.1.

В ячейку В26 запишем произвольную константу 1, а в ячейку С26 — произвольную константу 2.

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

В ячейку А26 запишем оператор присваивания для сцепленных символьных констант:

Нейти HOUityuuttf уровнем* рггркси бля fynxiaju, мдоямэй табгіляо

І/ІОТҐ^Л U ? 14 АА OU L-111U V L/Q 3 fl 3THD

ІУІеТОД НаИМеНЬШИХ КВаДраТОВ

  • 5.67016295
  • 5 83449844
  • 7.758639135
  • 8 355064306
  • 5.726677404
  • 5 846164529
  • 3.609437912
  • 3 791759469

>-0 16 Группировать

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции 4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Из других Существующие

l3 Из текста источников ’ подключения

Получение внешни» данных

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции 4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции 4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Я| Сортировка Фильтр ICKCIHV доїть д-»

* • V Дополнительно столбцам дубликаты ІП? Анализ ’что если

__________ Сортировка и фильтр

fje Консолидация Текст по Удалить

| Промежуточный итог Структура

  • ?фПои iPgDatt
  • нзйти м?дл)чц,ее урсв-еиие регистр Олв «но

    vO Э2х*3-0 Пк»2-1.21х-0 53

    V0 02x*3*0 Пх’2-1 21×4)68

    Метод наименьших квадратов

    Линейная регрессия ) ? VO16 • И уФ32к*1-197»-1.?0 —nowQWKi.nn»

    УаЦж) ? у-0 02»*3«0.11x*2-1.21i-038 —Гюли

    4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

    В появившемся окне выберем раздел Добавить линию тренда (рис. 4.5.6).

    В о сста н о вить стил ь

    ftjj Изменить тип диаграммы для ряда.

    L0 Поворот объемной фигуры.

    Добавить подписи данных Добавить линию тренда.

    _2Ґ Формат ряда данных.

    В появившемся окне Формат линии тренда выберем параметры Логарифмическая, показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R A 2) и нажмем кнопку Закрыть (рис. 4.5.7).

    Появившаяся на графике Логарифмическая регрессия линия тренда полностью совпадает с графиком построенного уравнения регрессии^ = 1,591п(х) + 3,28, совпадает и уравнение линии тренда у = 1,58521п(х) + 3,2763, что является доказательством правильности решения (рис. 4.5.8).

    4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

    4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

    Следует отметить, что значение коэффициента детерминации R 2 = 0,2227 свидетельствует о том, что выбранная в качестве уравнения регрессии логарифмическая функция не вполне отвечает исходному заданию, так как максимальное значение коэффициента детерминации R 2 = 1.

    На рис. 4.5.9 показан результирующий график использования в качестве уравнения регрессии логарифмической функции у = 1,591п(х) + 3,28 и построения линии тренда у = 1,58521п(х) + + 3,2763 для исходной заданной функции у =f(x).

    Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

    Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.

    Логарифмические уравнения и системы

    п.1. Методы решения логарифмических уравнений

    При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
    1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению (f(x)=g(x)) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
    2) графический метод;
    3) замена переменной.

    п.2. Решение уравнений вида (log_a f(x)=log_a g(x))

    Неравенства ( begin f(x)gt 0\ g(x)gt 0 end ) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

    Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
    1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для (x) в явном виде;
    2) решить уравнение (f(x)=g(x));
    3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

    Однако, если выражения (f(x)) и (g(x)) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
    1) решить уравнение (f(x)=g(x));
    2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для (f(x)) и (g(x)), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
    3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

    Например:
    Решим уравнение (lg(2x+3)+lg(x+4)=lg(1-2x))
    Найдем ОДЗ в явном виде:
    ( begin 2x+3gt 0\ x+4gt 0\ 1-2xgt 0 end Rightarrow begin xgt-frac32\ xgt-4\ xltfrac12 end Rightarrow -frac32lt xltfrac12Rightarrow xinleft(-frac32;frac12right) )
    Решаем уравнение:
    (lgleft((2x+3)(x+4)right)=lg(1-2x))
    ((2x+3)(x+4)=1-2x)
    (2x^2+11x+12-1+2x=0)
    (2x^2+13x+11=0)
    ((2x+11)(x+1)=0)
    ( left[ begin x_1=-5,5\ x_2=-1 end right. )
    Корень (x_1=-5,5notin left(-frac32;frac12right),) т.е. не подходит.
    Корень (x_2=-1in left(-frac32;frac12right)) — искомое решение.
    Ответ: -1

    п.3. Решение уравнений вида (log_ f(x)=log_ g(x))

    Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
    Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

    Например:
    Решим уравнение (log_(x^2-4)=log_(2-x))
    Найдем ОДЗ в явном виде:
    ( begin x^2-4gt 0\ 2-xgt 0\ x+5gt 0\ x+5ne 1 end Rightarrow begin xlt -2cup xgt 2\ xlt 2\ xgt -5\ xne -4 end Rightarrow begin -5lt xlt -2\ xne -4 end Rightarrow xin (-5;-4)cup(-4;-2) )
    Решаем уравнение:
    (x^2-4=2-x)
    (x^2+x-6=0)
    ((x+3)(x-2)=0)
    ( left[ begin x_1=-3\ x_2=2 — text end right. )
    Ответ: -3

    В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

    Например:
    Решим уравнение (log_(x+1)=log_(x+3))
    Основания (2ne 4), и нельзя сразу написать (x+1=x+3).
    Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
    (log_2(x+1)=log_(x+1)^2=log_4(x+1)^2)
    Тогда исходное уравнение примет вид: (log_4(x+1)^2=log_4(x+3))
    И теперь: ((x+1)^2=x+3)
    (x^2+x-2=0)
    ((x+2)(x-1)=0)
    ( left[ begin x_1=-2\ x_2=1 end right. )
    Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
    ( begin x+1gt 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt -3 end Rightarrow xgt -1 )
    Корень (x_1=-2lt -1) — не подходит.
    Ответ: 1

    Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
    Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
    Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

    п.4. Примеры

    Пример 1. Решите уравнения:
    a) ( log_2(x+1)-log_2(x-1)=1 )
    ОДЗ: ( begin x+1gt 0\ x-1gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1 end Rightarrow xgt 1 )
    (log_2left((x+1)(x-1)right)=log_22)
    (x^2-1=2Rightarrow x^2 =3)
    ( left[ begin x_1=-sqrtlt 2 — text\ x_2=sqrt end right. )
    Ответ: (sqrt)

    б) ( 2log_5(x-1)=log_5(1,5x+1) )
    ОДЗ: ( begin x-1gt 0\ 1,5x+1gt 0 end Rightarrow begin xgt 1\ xgt-frac23 end Rightarrow xgt 1 )
    Преобразуем: (2log_5(x-1)=log_5(x-1)^2)
    Получаем: (log_5(x-1)^2=log_5(1,5x+1))
    ((x-1)^2=1,5x+1)
    (x^2-2x+1-1,5x-1=0Rightarrow x^2-3,5x=0Rightarrow x(x-3,5)=0)
    ( left[ begin x_1=0lt 1 — text\ x_2=3,5 end right. )
    Ответ: 3,5

    в) ( log_3(3-x)+log_3(4-x)=1+2log_3 2 )
    ОДЗ: ( begin 3-xgt 0\ 4-xgt 0 end Rightarrow begin xlt 3\ xlt 4 end Rightarrow xlt 3 )
    Преобразуем: (1+2log_3 2=log_3 3+log_3 2^2=log_3(3cdot 4)=log_3 12)
    Получаем: (log_3left((3-x)(4-x)right)=log_3 12)
    ((3-x)(4-x)=12Rightarrow 12-7x+x^2=12Rightarrow x(x-7)=0)
    ( left[ begin x_1=0\ x_2=7gt 3 — text end right. )
    Ответ: 0

    г) ( log_2^2x+log_2 x^2+1=0 )
    ОДЗ: (xgt 0)
    (log_2x^2=2log_2x)
    Получаем: (log_2^2x+2log_2x+1=0)
    Замена: (t=log_2 x)
    (t^2+2t+1=0Rightarrow(t+1)^2=0Rightarrow t=-1)
    Возвращаемся к исходной переменной: (log_2x=-1)
    (x=2^=frac12)
    Ответ: (frac12)

    д) ( x^=10 )
    ОДЗ: (xgt 0)
    Замена: (t=lg ⁡x). Тогда (x=10^t)
    Подставляем:
    ((10^t)^t=10Rightarrow 10^=10^1Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm 1)
    Возвращаемся к исходной переменной:
    ( left[ begin lg x=-1\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,1\ x_2=10 end right. )
    Оба корня подходят.
    Ответ:

    e) ( sqrtcdot log_5(x+3)=0 )
    ОДЗ: ( begin xgeq 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgeq 0\ xgt -3 end Rightarrow xgeq 0 )
    ( left[ begin sqrt=0\ log_5(x+3)=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x+3=5^0=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=-2lt 0 — text end right. )
    Ответ: 0

    ж) ( log_2+2log_x=log_(x+1) )
    ОДЗ: ( begin xgt 0\ x+1gt 0\ 5x-2gt 0\ 5x-2ne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xgt -1\ xgtfrac25\ xnefrac35 end Rightarrow begin xgtfrac25\ xnefrac35 end )
    Преобразуем: (log_2+2log_x=log_(2x^2))
    Подставляем: (log_(2x^2)=log_(x+1))
    ( 2x^2=x+1Rightarrow 2x^2-x-1=0Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 Rightarrow left[ begin x_1=-frac12 — text\ x_2=1 end right. )
    Ответ: 1

    Пример 2*. Решите уравнения:
    a) ( log_4log_2log_3(2x-1)=frac12 )
    ОДЗ: ( begin 2x-1gt 0\ log_3(2x-1)gt 0\ log_2log_3(2x-1)gt 0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ 2x-1gt 3^0\ log_3(2x-1)gt 2^0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ 2x-1gt 3^1 end Rightarrow )
    ( Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ xgt 2 end Rightarrow xgt 2 )
    Решаем:
    (log_2log_3(2x-1)=4^=2)
    (log_3(2x-1)=2^2=4)
    (2x-1=3^4=81)
    (2x=82)
    (x=41)
    Ответ: 41

    б) ( log_2(9-2^x)=25^<log_5sqrt> )
    ОДЗ: ( begin 9-2xgt 0\ 3-xgt 0 end Rightarrow begin 2^xlt 9\ xlt 3 end Rightarrow begin xltlog_2 9\ xlt 3 end Rightarrow xlt 3 )
    Преобразуем: (25^<log_5sqrt>=25^<log_(sqrt)^2>=25^<log_(3-x)>=3-x)
    Подставляем: (log_2(9-2^x)=3-x)
    (9-2^x=2^)
    (9-2^x-frac=0)
    Замена: (t=2^xgt 0)
    ( 9-t-frac8t=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-9t+8gt 0\ tne 0 end Rightarrow begin (t-1)(t-8)=0\ tne 0 end Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=8 end right. )
    Возвращаемся к исходной переменной:
    ( left[ begin 2^x=1\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin 2^x=2^0\ 2^x=2^3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=3 end right. )
    По ОДЗ (xlt 3), второй корень не подходит.
    Ответ: 0

    в) ( lgsqrt+lgsqrt+1=lg 30 )
    ОДЗ: ( begin x-5gt 0\ 2x-3gt 0 end Rightarrow begin xgt 5\ xgtfrac32 end Rightarrow xgt 5 )
    Преобразуем: (lg 30-1=lg 30-lg 10=lgfrac=lg 3)
    Подставляем: (lgsqrt+lgsqrt=lg 3)
    (frac12lg(x-5)+frac12lg(2x-3)=lg 3 |cdot 2)
    (lg(x-4)+lg(2x-3)=2lg 3)
    (lgleft((x-5)(2x-3)right)=lg 3^2)
    ((x-5)(2x-3)=9Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 Rightarrow 2x^2-13x+6=0)
    ( (2x-1)(x-6)=0Rightarrow left[ begin x_1=frac12lt 5 — text\ x_2=6 end right. )
    Ответ: 6

    г) ( frac+frac+frac=0 )
    ОДЗ: ( begin xgt 0\ lg xne 0\ lg 10xne 0\ lg 100xne 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xne 1\ 10xne 1\ 100xne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xneleft<frac;frac;1right> end )
    Преобразуем: (lg 10x=lg 10+lg x=1+lg 10)
    (lg 100x=lg 100+lg x=2+lg x)
    Подставляем: (frac+frac+frac=0)
    Замена: (t=lg x)
    begin frac1t+frac+frac=0Rightarrow frac1t+frac=-fracRightarrow frac=-fracRightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2Rightarrow 5t^2+8t+2=0\ D=8^2-4cdot 5cdot 2=24, t=frac<-8pm 2sqrt>=frac<-4pm sqrt> end Возвращаемся к исходной переменной:
    $$ left[ begin lg x=frac<-4- sqrt>\ lg x=frac<-4+ sqrt> end right. Rightarrow left[ begin x=10frac<-4- sqrt>\ x=10frac<-4+ sqrt> end right. $$ Оба корня подходят.
    Ответ: (left<10frac<-4pmsqrt>right>)

    e) ( x^<frac>=10^ )
    ОДЗ: (xgt 0)
    Замена: (t=lg x.) Тогда (x=10^t)
    Подставляем: begin (10^t)^<frac>=10^\ frac=t+1Rightarrow t(t+7)=4(t+1)Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\ t^2+3t-4=0Rightarrow (t+4)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-4\ t_2=1 end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
    $$ left[ begin lg x=-4\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,0001\ x_2=10 end right. $$ Оба корня подходят.
    Ответ: (left)

    ж) ( 4^=(2x^2+2x+5)^ )
    ОДЗ: ( begin 1-xgt 0\ 2x^2+2x+5gt 0 end Rightarrow begin xlt 1\ Dlt 0, xinmathbb end Rightarrow xlt 1 )
    По условию: begin log_3(1-x)=log_4left((2x^2+2x+5)^right)\ log_3(1-x)=log_32cdotlog_4(2x^2+2x+5) end Перейдем к другому основанию: $$ frac=fraccdotfrac |cdot lg 3 $$ (frac=frac=frac=frac12) begin lg(1-x)=frac12cdotlg(2x^2+2x+5) |cdot 2\ 2lg(1-x)=lg(2x^2+2x+5)\ lg(1-x)^2=lg(2x^2+2x+5)\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\ x^2+4x+4=0\ (x+2)^2=0\ x=-2 end Ответ: -2

    Пример 3. Решите систему уравнений:
    a) ( begin lg x+lg y=lg 2\ x^2+y^2=5 end )
    ОДЗ: ( begin xgt 0\ ygt 0 end )
    Из первого уравнения: (lg(xy)=lg 2Rightarrow xy=2)
    Получаем: ( begin xy=2\ x^2+y^2=5 end Rightarrow begin y=frac2x\ x^2+left(frac2xright)^2-5=0 end )
    Решаем биквадратное уравнение: begin x^2+frac-5=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin x^4-5x^2+4=0\ xne 0 end \ (x^2-4)(x^2-1)=0Rightarrow left[ begin x^2=4\ x^2=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm 2\ x=pm 1 end right. end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
    Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=1\ y=frac2x=2 end \ begin x=2\ y=frac22=1 end end right. )
    Ответ: (left)

    б) ( begin x^=27\ x^=frac13 end )
    ОДЗ: (xgt 0, xne 1)
    Логарифмируем: ( begin y+1=log_x27=log_x3^3=3log_x3\ 2y-5=log_xfrac13=log_x3^=-log_x3 end )
    Замена: (z=log_x3) begin begin y+1=3z\ 2y-5=-z |cdot 3 end Rightarrow begin y+1=3z\ 6y-15=-3z end Rightarrow begin 7y-14=0\ z=5-2y end Rightarrow begin y=2\ z=1 end end Возвращаемся к исходной переменной: $$ begin y=2\ log_x3=1 end Rightarrow begin x^1=3\ y=2 end Rightarrow begin x=3\ y=2 end $$
    Ответ: (3;2)

    в*) ( begin 3(log_y x-log_x y)=8\ xy=16 end )
    ОДЗ: ( begin xgt 0, xne 1\ ygt 0, yne 1 end )
    Сделаем замену (t=log_x y). Тогда (log_y x=frac=frac1t)
    Подставим в первое уравнение и решим его: begin 3left(frac1t-tright)=8Rightarrowfrac=frac83Rightarrow begin 3(1-t^2)=8t\ tne 0 end\ 3t^2+8t-3=0Rightarrow (3t-1)(t+3)=0Rightarrow left[ begin t_1=frac13\ t_2=-3 end right. end Прологарифмируем второе уравнение по (x): $$ log_x(xy)=log_x16Rightarrow 1+log_x y=log_x16Rightarrow 1+t=log_x 16 $$ Получаем: begin left[ begin begin t=frac13\ log_x16=1+t=frac43 end \ begin t=-3\ log_x16=1+t=-2 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x^=16 end \ begin t=-3\ x^=16 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x=(2^4)^=2^3=8 end \ begin t=-3\ x=(16)^=frac14 end end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin begin x=8\ log_x y=frac13 end \ begin x=frac14\ log_x y=-3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=8\ y=8^=2 end \ begin x=frac14\ y=left(frac14right)^=64 end end right. end
    Ответ: (left)

    г*) ( begin (x+y)cdot 3^=frac\ 3log_5(x+y)=x-y end )
    ОДЗ: (x+ygt 0)
    Прологарифмируем первое уравнение по 3: begin log_3left((x+y)cdot 3^right)=log_3frac\ log_3(x+y)+(y-x)=log_3frac\ log_3(x+y)-log_3frac=x-y end Получаем:(x-y=3log_5(x+y)=log_3(x+y)-log_3frac)
    Решим последнее уравнение относительно (t=x+y) begin 3log_5 t=log_3 t-log_3frac\ 3cdotfrac-log_3t=-log_3frac\ log_3tcdotleft(frac-1right)=-log_3frac\ log_3t=-frac<log_3frac><frac-1>=-frac=log_35\ t=5 end Тогда: (x-y=3log_5t=3log_55=3)
    Получаем систему линейных уравнений: begin begin x+y=5\ x-y=3 end Rightarrow begin 2x=5+3\ 2y=5-3 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end end Требование ОДЗ (x+y=4+1gt 0) выполняется.
    Ответ: (4;1)

    💥 Видео

    84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

    84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических Уравнений

    Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

    Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?

    Как не путаться при решении логарифмических уравненийСкачать

    Как не путаться при решении логарифмических уравнений

    ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать

    ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэ

    §19 Логарифмические уравненияСкачать

    §19 Логарифмические уравнения

    Логарифмические уравнения 🥷🏿Скачать

    Логарифмические уравнения 🥷🏿

    11 класс, 15 урок, Логарифмическая функция, её свойства и графикСкачать

    11 класс, 15 урок, Логарифмическая функция, её свойства и график

    10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

    10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

    Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

    Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭ

    Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #4 Определению логарифма доверяй, но корни проверяйСкачать

    Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #4 Определению логарифма доверяй, но корни проверяй

    Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

    Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | Математика

    Производная логарифмической функции. 11 класс.Скачать

    Производная логарифмической функции. 11 класс.

    11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенстваСкачать

    11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенства

    Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать

    Интересная задача на логарифмы в ЕГЭ

    11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

    11 класс, 17 урок, Логарифмические уравнения

    Логарифмы в ЕГЭ⚡️что получилось?!Скачать

    Логарифмы в ЕГЭ⚡️что получилось?!
    Поделиться или сохранить к себе: