Диктант 18 квадратные уравнения 8 класс (6 видео)

Числовой математический диктант по темам «Квадратные уравнения», «Квадратные неравенства». 8 класс.

Числовой математический диктант по темам «Квадратные уравнения», «Квадратные неравенства». 8 класс.

Диктант предназначены для учащихся со слабой мотивацией при изучении предмета «алгебра». Для создания ситуации успеха. Поднятия самооценки учеников, у которых изучение данных тем вызывает трудности. Ответы записываем в виде чисел (номер примера – номер ответа). Оценка «3» — 6 — 8 выполненных правильно заданий; оценка «4» — 9 — 12 выполненных правильно заданий; оценка «5» — 13 — 14 выполненных правильно заданий.

«Квадратные уравнения», «Квадратный трёхчлен»

Неполное квадратное уравнение, где с = 0

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение

Сколько корней в квадратном уравнении, если дискриминант равен 0

Формула разложения на множители квадратного трёхчлена

Неполное квадратное уравнение, где в = 0

Сколько корней в квадратном уравнении, если дискриминант отрицательный

Не имеет корней

Формула корней квадратного уравнения

Сколько корней в квадратном уравнении, если дискриминант положительный

Формула корней по теореме Виета

Неполное квадратное уравнение,

где в = 0 и с = 0

Основное условие квадратного уравнения и квадратного трёхчлена

Содержание

Математические диктанты по алгебре, 8 класс
Просмотр содержимого документа «Математические диктанты по алгебре, 8 класс»
Как решать квадратные уравнения
Понятие квадратного уравнения
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Полные и неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Как решить уравнение ax 2 = 0
Как решить уравнение ax 2 + с = 0
Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
Как разложить квадратное уравнение
Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Примеры решения квадратных уравнений
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Формула Виета
Упрощаем вид квадратных уравнений
Связь между корнями и коэффициентами
💥 Видео

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Математические диктанты по алгебре, 8 класс

Предложенные диктанты адресованы учителям, работающим по учебнику «Алгебра. 8 класс» (авторы А.Г. Мерзляк В.Б. Полонский, М.С. Якир), но могут быть использованы и учителями, работающими по другим учебникам.

Просмотр содержимого документа
«Математические диктанты по алгебре, 8 класс»

Математические диктанты по алгебре
(8 класс, учебник авт. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир)

Диктант 1 по теме «Рациональные дроби»

Запишите окончание предложения:

1) дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат … ;

2) целые и дробные выражения называют … ;

3) допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют … ;

4) допустимыми значениями переменных, входящих в целое выражение, являются … ;

5) рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой … ;

6) знаменатель рациональной дроби не может быть … ;

7) допустимыми значениями переменных, входящих в рациональную дробь, являются все те значения переменных, при которых … .

При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) 4x − 12; 6) ?

Запишите рациональную дробь, содержащую переменную a, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 7; 3) все числа, кроме −2, 3 и 8;

2) все числа, кроме 0 и 1; 4) все числа.

Диктант 2 по теме «Основное свойство рациональной дроби»

Запишите окончание предложения:

1) тождественно равными называют выражения, соответствующие значения
которых … ;

2) тождеством называют равенство, которое выполняется при … ;

3) если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим … .

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 15b 8 и 35b 16 , и сократите её.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7a 2 b и 21ab 2 , и сократите её.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно x 2 − 3x и
x − 3, и сократите её.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5x + 10 и 5x, и сократите её.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 6a 2 − 2a и
7 − 21a, и сократите её.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно b 2 − 4 и
b 2 − 4b + 4, и сократите её.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно a и 3b, и приведите её к знаменателю 6b 4 .

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 и a − b, и приведите её к знаменателю a(a − b).

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно m и m + n, и приведите её к знаменателю m 2 + mn.

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно x и x + y, и приведите её к знаменателю x 2 − y 2 .

Запишите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно a и a − 3, и приведите её к знаменателю 9 − a 2 .

Представьте выражение m − 2n в виде дроби со знаменателем:

Диктант 3 по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями»

Запишите окончание предложения:

1) чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно … ;

2) чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно … .

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7a и 4b, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5a и 4b.

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3a − 9b и 5ab, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4b − 3a и 5ab.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
7m + n 4 и 3n, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
7m − 2n 4 и 3n.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
6p − k 2 и 8k 3 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно k 2 + 6p и 8k 3 .

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
9a − 5 и a 2 − b 2 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
9b − 5 и a 2 − b 2 .

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a и
a − 2, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2 и 2 − a.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
m 2 − 20 и m − 4, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 и
4 – m.

Диктант 4 по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями»

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5 и n 5 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 − 5n 2 и n 7 .

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a − 2b и ab 2 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2a − b и a 2 b.

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3 и b, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4 и b + 2.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5 и a − b, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2 и a + b.

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно c − 6 и c 2 − 4, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3 и c − 2.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 2m 2 и m − 5, и одночлена 2m.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно b и b − 5, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 3b + 1 и
3b − 15.

Найдите разность дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно n и n + 4, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно n 2 и
n 2 + 8n + 16.

Найдите сумму дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a + 4 и ab − a 2 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно b + 4 и
ab − b 2 .

Диктант 5 по теме «Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень»

Запишите окончание предложения:

1) произведением двух рациональных дробей является дробь, … ;

2) частным двух рациональных дробей является дробь, … ;

3) чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно … .

Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 13x 4 и y 10 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно y 5 и 26x 8 .

Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 4b и 45c 3 , и одночлена 9c 12 .

Найдите частное дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7 и a 2 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 28 и a 6 .

Найдите частное дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 6m 6 и n 8 , и одночлена 12m 3 n 2 .

Возведите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно 5a 2 и b 4 , во вторую степень.

Возведите дробь, числитель и знаменатель которой равны соответственно −2a 6 и c 7 :

1) в третью степень;

2) в четвёртую степень.

Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно m − n и mn, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно m 2 и
3m − 3n.

Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно c − 3 и 5c + 7, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
25c 2 − 49 и c 2 − 6c + 9.

Найдите частное многочлена m 2 − 81n 2 и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно m + 9n и m.

Найдите произведение дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно a 2 − 1 и a − 6, и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно 7a − 42 и a 2 + a.

Найдите частное дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно
ab − ac и 4 + 2a + a 2 , и дроби, числитель и знаменатель которой равны соответственно c 2 − b 2 и a 3 − 8.

Диктант 6 по теме «Равносильные уравнения. Рациональные уравнения»

Запишите окончание предложения:

1) два уравнения называют равносильными, если … ;

2) если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же … ;

3) если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, … ;

4) если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же … ;

5) рациональным называют уравнение, левая и правая части которого … ;

6) дробь равна нулю тогда и только тогда, когда … ;

7) чтобы решить уравнение вида = 0, где A и B — многочлены, нужно потребовать одновременного выполнения … ;

8) при решении уравнений вида = 0 следует руководствоваться таким алгоритмом: … .

Составьте уравнение, равносильное уравнению:

1) 3x − 2 = 7; 2) x 2 = 9; 3) x − 5 = x − 4; 4) |x| = −1.

Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:

1) имеет один корень;

2) имеет бесконечно много корней.

1) 0; 4) ;

2) = 0; 5) = 1;

3) = 0; 6) = 1.

Диктант 7 по теме «Степень с целым отрицательным показателем»

Запишите окончание предложения:

1) для любого числа a, не равного нулю, и натурального числа n a в степени −n равно … ;

2) для любого числа a, не равного нулю, нулевая степень числа a равна … ;

3) выражение 0 n не имеет смысла при … ;

4) стандартным видом числа называют его запись в виде … ;

5) если произведение a · 10 n является стандартным видом числа, то число n называют … .

Представьте в виде дроби степень:

2) 12 −2 ; 4) (a + b )−12 .

Представьте дробь в виде степени с целым отрицательным показателем:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1) 6 −2 ; 3) ; 5) 0,1 −1 ; 7) 2 −4 ; 9) (−1) −17 ;

2) 10 −2 ; 4) ; 6) ; 8) (−2) −4 ; 10) (−35) 0 .

Запишите в стандартном виде число:

1) 18; 3) 1920; 5) 0,007;

2) 350; 4) 0,23; 6) 0,058.

Запишите число в виде степени с основанием:

Сравните с нулём значение выражения:

1) ; 2) ; 3) 9 −10 ; 4) (−9) −10 .

Запишите в виде степени числа 10, сколько в 1 мм содержится:

1) сантиметров; 2) дециметров; 3) метров.

Диктант 8 по теме «Свойства степени с целым показателем»

Запишите в буквенном виде равенство, выражающее:

1) основное свойство степени;

2) правило деления степеней с одинаковыми основаниями;

3) правило возведения степени в степень;

4) правило возведения произведения в степень;

5) правило возведения дроби в степень.

Запишите в виде степени выражение:

При каком значении p верно равенство:

Найдите значение выражения:

1) 4 −5 · 4 6 ; 4) 6 −9 : 6 −7 ;

2) 5 13 : 5 15 ; 5) (3 −1 ) 4 ;

3) 2 −7 · 2 4 ; 6) .

Чему равно значение выражения:

1) ;

Диктант 9 по теме «Функция и её график»

Запишите окончание предложения:

1) обратной пропорциональностью называют функцию, которую … ;

2) областью определения функции , где k ≠ 0, являются … ;

3) фигуру, являющуюся графиком функции , где k ≠ 0, называют … ;

4) части, из которых состоит график функции , где k ≠ 0, называют … ;

5) областью значений функции , где k ≠ 0, являются … .

Запишите какую-нибудь формулу, задающую обратную пропорциональность.

Задана функция . Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно 9;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно −6.

В каких координатных четвертях расположен график функции ?

Известно, что график функции , где k ≠ 0, расположен в первой и третьей координатных четвертях. Сравните числа k и 0.

При каких значениях x принимает отрицательные значения функция:

При каком значении k график функции проходит через точку A (−4; 13)?

Диктант 10 по теме «Функция y = x 2 и её график»

Запишите окончание предложения:

1) областью определения функции y = x 2 являются … ;

2) областью значений функции y = x 2 являются … ;

3) нулём функции y = x 2 является число …;

4) график функции y = x 2 симметричен относительно … ;

5) графиком функции y = x 2 является фигура, которую называют … ;

6) точка с координатами (0; 0) делит график функции y = x 2 на две равные части, каждую из которых называют … ;

7) при противоположных значениях аргумента значения функции y = x 2 … .

В каких координатных четвертях расположен график функции y = x 2 ?

Чему равно значение функции y = x 2 , если значение аргумента равно −4?

Значение функции y = x 2 при x = 23 равно 529. Чему равно значение этой функции при x = −23?

Постройте график функции

Диктант 11 по теме «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»

Запишите окончание предложения:

1) квадратным корнем из числа a называют … ;

2) арифметическим квадратным корнем из числа a называют … ;

3) выражение, стоящее под знаком радикала, называют … ;

4) подкоренное выражение может принимать только … ;

5) действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют … ;

6) равенство выполняется при условии … .

1) квадратный корень из числа 81;

2) арифметический квадратный корень из числа 81?

Чему равно значение выражения для любого неотрицательного числа a?

Сколько корней имеет уравнение x 2 = a при a 0? Запишите их.

Решите уравнение x 2 = a при a = 0.

Решите уравнение x 2 = a при a

Существует ли квадратный корень из числа:

Запишите окончание предложения:

1) число 0,3 не является квадратным корнем из числа 0,9, поскольку … ;

2) число 0,2 является квадратным корнем из числа 0,04, поскольку … ;

3) число −5 не является арифметическим квадратным корнем из числа 25,
поскольку … ;

4) число 10 является арифметическим квадратным корнем из числа 100, поскольку … .

1) x 2 = 400; 2) x 2 = 10; 3) x 2 = −49.

1) = 7 ; 2) = 0 ; 3) = − 4 .

При каких значениях x имеет смысл выражение:

Диктант 12 по теме «Множество и его элементы»

Запишите окончание предложения:

1) если элемент a принадлежит множеству A, то пишут … ;

2) если элемент b не принадлежит множеству B, то пишут … ;

3) множество, состоящее из одного элемента, называют … ;

4) два множества A и B называют равными, если … ;

5) если множества A и B равны, то пишут … ;

6) множество однозначно определяется … ;

7) если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, … ;

8) множество, не содержащее ни одного элемента, называют … ;

9) множество, не содержащее ни одного элемента, обозначают символом … .

Запишите, используя соответствующую символику, утверждение:

1) число 7 является натуральным числом;

2) число −6 не является натуральным числом.

Запишите с помощью перечисления элементов множество:

1) букв слова «алгебра»;

2) правильных дробей, сумма числителя и знаменателя которых равна 7;

3) цифр числа 2020;

4) чётных простых чисел.

Задайте с помощью характеристического свойства какое-нибудь множество, являющееся пустым множеством.

Диктант 13 по теме «Подмножество. Операции над множествами»

Запишите окончание предложения:

1) множество B называют подмножеством множества A, если … ;

2) если множество B является подмножеством множества A, то это записывают так: ;

3) пустое множество считают подмножеством … ;

4) любое множество A является подмножеством … ;

5) пересечением множеств A и B называют множество … ;

6) пересечение множеств A и B обозначают так: … ;

7) если множества A и B не имеют общих элементов, то их пересечением является … ;

8) пересечением любого множества A и пустого множества является … ;

9) если множество A является подмножеством множества B, то пересечением множеств A и B является … ;

10) объединением множеств A и B называют множество … ;

11) объединение множеств A и B обозначают так: … ;

12) объединением любого множества A и пустого множества является … ;

13) если множество A является подмножеством множества B, то объединением множеств A и B является … .

Запишите все подмножества множества, состоящего из первых трёх чисел натурального ряда.

Запишите множество A делителей числа 12 и множество B делителей числа 18. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.

Запишите множество A корней уравнения x 2 − 2x = 0 и множество B корней уравнения x 2 − 4 = 0. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.

Диктант 14 по теме «Числовые множества»

Запишите окончание предложения:

1) множество натуральных чисел обозначают буквой … ;

2) множество целых чисел образуют … ;

3) множество целых чисел обозначают буквой … ;

4) множество рациональных чисел образуют … ;

5) множество рациональных чисел обозначают буквой … ;

6) каждое рациональное число можно представить в виде отношения … ;

7) каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной … ;

8) каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью … ;

9) никакое иррациональное число не может быть представлено в виде дроби … ;

10) никакое иррациональное число не может быть представлено в виде бесконечной … ;

11) иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных … ;

12) множеством действительных чисел называют объединение … ;

13) множество действительных чисел обозначают буквой … .

Запишите, используя соответствующую символику, утверждение:

1) множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел;

2) множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел;

3) множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел.

Верно ли утверждение:

1) 4 — натуральное число;

2) −4 — натуральное число;

3) 4 — целое число;

4) −4 — целое число;

5) 4 — рациональное число;

6) −4 — рациональное число;

9) — рациональное число;

10) 4 — действительное число;

11) −4 — действительное число;

12) — действительное число;

13) — действительное число;

14) — иррациональное число;

15) — рациональное число;

16) — действительное число;

17) — рациональное число;

18) — действительное число?

Диктант 15 по теме «Свойства арифметического квадратного корня»

Какому выражению тождественно равно выражение ?

Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

Известно, что неотрицательные числа a₁ и a₂ таковы, что a₁ a₂. Сравните значения выражений и .

Видео:Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Видео:НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 классСкачать

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: