Дифференциальные уравнения в векторном виде

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Определение. Если в каждой точке M(x,y,z) пространства или части пространства определена векторная величина то говорят, что там задано векторное поле а. Задание векторного поля равносильно заданию ipex скалярных функций от трех переменных , Примерами векторных полей могут служить: силовое поле — поле некоторой силы F, поле скоростей v течения некоторой жидкости и др.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии. Векторной линией векторного поля а называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля а в этой точке (рис. 7). В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями’, в поле скоростей дви-женияжидкости векторные линии называются линиями тока. Рис. 7 3.1.

Дифференциальные уравнения векторных линий Пусть векторное поле определяется вектор-функцией ) — непрерывные функции переменных x, у, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка. Пусть — есть радиус-вектор текущей точки векторной линии векторного поля a (t — параметр). Из определения векторной линии следует, что вектор и вектор касательной к этой кривой должны быть коллинеарны в каждой точке векторной линии. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности Таким образом, мы получили для векторных линий систему дифференциальных уравнений в симметричной форме. Допустим, что нам удалось найти два независимых интеграла системы (2): . Система уравнений (3) определяет векторную линию как линию пересечения двух поверхностей. Произвольно меняя параметры с, и Сг, мы получаем семейство векторных линий как семейство с двумя степенями свободы.

Пример 1. Найти векторные линии векторного поля 4 Выписываем дифференциальные уравнения векторных линий, или Интегрируя эту систему, получим два уравнения — произвольные постоянные. Пересечение плоскостей у — Сх с параболическими цилиндрами дает двух параметрическое семейство векторных линий поля (рис.8). Олредрм*т . Векторное поле называется плоским, если все векторы а параллельны одной и той же плоскости и в каждой плоскости, параллельной указан ной, векторное поле одно и то же.

Посмотрим, как плоское векторное поле описывается в координатах.

Если указанную в определении плоскость (или любую ей параллельную) принять за плоскость хОу, то векторы плоского поля не будут содержать компоненты по оси Oz и координаты векторов не будут зависеть от z: Дифференциальные уравнения векторныхл иний плоского поля можно записать в следующем виде Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости хОу.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечно длинного прямого провода. ^ Предположим, что проводник направлен вдоль оси Oz и по нему течет ток силы J, т.е. вектор тока Тогда вектор напряженности Н магнитного поля определяется по формуле — радиус-вектор точхи М, р — расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6), получим Дифференциальные уравнения векторных линий: Отсюда х = const, = или . Окончательно имеем т.е. векторные линии являются офужносгями с центрами на оси О г (рис.9). Пример 3.

Найти векторные линии поля сил тяготения, образованного притягивающей материальной то*«ой массы ш, расположенной в начале координат. Дифференциальные уравнения векторных линий: стсуда, умножая каждую из дробей на , получим Чтобы получить уравнения векторных линий в параметрической форме, приравняем каждую из дробей величине у. Имеем Это — полупрямые, выходящие из начала координат. Чтобы из семейства векторных линий выделить одну, надо задать точку ), через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить величины.

Пусть, например, точка А/о имеет координаты . Уравнение векторной линии, проходящей через точку, можно записать так: . Сама точка Л/о получается при значении параметра § 4. Поток вектора через поверхность и его свойства Рассмотрим сначала частный случай поля скоростей v течения жидкости. Выделим в поле некоторую поверхность Потоком жидкости через поверхность Е называется количество жидкости, протекающее через поверхность Е за единицу времени.

Этот поток легко вычислить

если скорость течения постоянна (v = const), а поверхность £ —плоская. В этом случае поток жидкости равен объему цилиндрического тела с параллельными основаниями и образующими длины |v|, так как за единицу времени кажд ая частица перемещается на величину v (рис. 10), где S — площадь основания, — высота цилиндра и n — нормаль к его основанию, Итак, при постоянной скорости v поток жидкости через плоскую поверхность Е равен Если скорость v изменяется непрерывно, а поверхность Е — гладкая, то можно разбить поверхность Е на столь малые части , чтобы каждую часть Е* можно было приближенно считать плоской и вектор v на ней постоянным.

Так как поток жидкости через поверхность Е равен сумме потоков жидкости через все ее части Е*, то мы получаем для вычисления потока приближенную формулу Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности где п — общее число частей Efc, на которые разбита поверхность Е, Рк — точка, лежащая на fc-ой части, Аак — площадь части Е* поверхности, означает скалярное произведение векторов в точке *(рис. 11).

Назовем потоком жидкости через поверхность Е предел суммы (2) при стремлении к нулю наибольшего из . диаметров площадок Е*, где d — наибольший из диаметров частей . Интеграл (3), определяющий поток жидкости, берется от скалярной функции (v, п°) по площади поверхности Е. Понятие потока произвольного вектора а через поверхность Е вводится по аналогии с введенным выше понятием потока жидкости через поверхность. Определение.

Тогда вектор напряженности поля в любой точке Р будет равен где ч — величина заряда (массы), г ОР — радиус-вектор точки Р. Требуется найти поток вектора напряженности Е через Sn — сферу радиуса R с центром в начале координат. Так как направление нормали к сфере совпадает с направлением радиус-вектора г, и поэтому На сфере 5д радиуса R имеем . Поэтому поток вектора чероз Sn равен 4.1. Свойства потока вектора через поверхность 1. Линейность. где А и ц — постоянные числа. 2. Аддитивность. Если поверхность Е разбита кусочно-гладкой кривой на две части , то поток через поверхность Е равен сумме потоков через поверхности Ei и Е2, Это свойство позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкие поверхности Е.

Понятие ориентации поверхности Взяв, к примеру, цилиндрическую поверхность, замечаем, что если в некоторой ее точке М выбрать определенный (один из двух) единичный вектор нормали и непрерывно перемещаться затем по поверхности вместе с соответствующим вектором нормали по любому пути, не переходящему через край поверхности, то при возвращении в точку М единичный вектор нормали совпадает с исходным (рис. 12). Вместе с тем, существуют поверхности, для которых это не так.

Примером такой поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 13). Существует путь (отмеченная на рисунке пунктиром средняя линия листа), перемещаясь по которому, мы возвратимся в начальную точку с единичным вектором нормали, противоположным исходному. Описанное свойство разбивает все поверхности на два класса — двусторонние, или ориентируемые (плоскость, сфера, поверхность куба и т. п.), и односторонние, или неориентируемые (лист Мёбиуса). 3. Зависимость потока от ориентации поверхности (от ориентации вектора нормали к поверхности). Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей.

Будем считать, что если в одной точке такой поверхности направление вектора нормали уже выбрано, то Рис. 13 в любой другой ее точке берется тот вектор нормали, который получается из выбранного при непрерывном перемещении точки по поверхности (без перехода через границу). В частности, на замкнутой поверхности во всех точках берется либо внешняя нормаль, либо внутренняя (внутренняя нормаль направлена внутрьтела, ограниченного замкнутой поверхностью).

Обозначим через ту сторону поверхности £, на которой выбран вектор нормали п+ = п, а через Е

— сторону поверхности Е, на которой берется вектор нормали (п_ = -п). Тогда получим (7) где . Таким образом, при изменении ориентации поверхности (при изменении направления вектора нормали п° к поверхности Е) поток вектора меняет знак на противоположный.

Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через поверхность прямого кругового цилиндра высоты Н с радиусом основания R и осью Ог. Поверхность состоит из трех частей: боковой поверхности £j, верхнего основания £2 и нижнего основания £3 цилиндра. Искомый поток П в силу свойства аддитивности равен — потоки данного поля через и соответственно. На боковой поверхности цилиндра вектор внешней нормали п? параллелен плоскости хОу, и поэтому (см. рис. 14).

Следовательно, Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности На верхнем основании £2 вектор нормали параллелен оси Oz, и поэтому можно положить п§ = к-Тогда имеем так что На нижнем основании вектор г перпендикулярен к вектору нормали п» = -к. Поэтому Здесь символ означает двойной интеграл по замкнутой поверхности,

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Дифференциальные уравнения в векторном видеДифференциальные уравнения в векторном виде

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Содержание
  1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике
  2. Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки
  3. Дифференциальные уравнения относительного движения точки
  4. Пример решения задачи №1
  5. Пример решения задачи №2
  6. Пример решения задачи №3
  7. Векторный анализ с примерами решения и образцами выполнения
  8. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению
  9. Производная по направлению
  10. Градиент скалярного поля
  11. Основные свойства градиента
  12. Инвариантное определение градиента
  13. Правила вычисления градиента
  14. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения
  15. Дифференциальные уравнения векторных линий
  16. Поток вектора через поверхность и его свойства
  17. Свойства потока вектора через поверхность
  18. Поток вектора через незамкнутую поверхность
  19. Метод проектирования на одну из координатных плоскостей
  20. Метод проектирования на все координатные плоскости
  21. Метод введения криволинейных координат на поверхности
  22. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
  23. Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля
  24. Правила вычисления дивергенции
  25. Трубчатое (соленоидальное) поле
  26. Свойства трубчатого поля
  27. Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса
  28. Ротор (вихрь) векторного поля
  29. Инвариантное определение ротора поля
  30. Физический смысл ротора поля
  31. Правила вычисления ротора
  32. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
  33. Потенциальное поле
  34. Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле
  35. Вычисление потенциала в декартовых координатах
  36. Оператор Гамильтона
  37. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа
  38. Понятие о криволинейных координатах
  39. Цилиндрические координаты
  40. Сферические координаты
  41. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
  42. Дифференциальные уравнения векторных линий
  43. Градиент в ортогональных координатах
  44. Ротор в ортогональных координатах
  45. Дивергенция в ортогональных координатах
  46. Вычисление потока в криволинейных координатах
  47. Вычисление потенциала в криволинейных координатах
  48. Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах
  49. Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Из кинематики точки известно, что ускорение Дифференциальные уравнения в векторном видевыражается через радиус-вектор Дифференциальные уравнения в векторном виде(рис. 3):

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки

Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость Дифференциальные уравнения в векторном виде, имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как Дифференциальные уравнения в векторном виде, то, следовательно, Дифференциальные уравнения в векторном виде. В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось Дифференциальные уравнения в векторном виде, получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как при движении Дифференциальные уравнения в векторном виде, то, следовательно, Дифференциальные уравнения в векторном виде. Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где Дифференциальные уравнения в векторном видеи Дифференциальные уравнения в векторном виде— соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где Дифференциальные уравнения в векторном виде— радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Второе уравнение из (12) можно преобразовать:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где Дифференциальные уравнения в векторном виде— угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, Дифференциальные уравнения в векторном виде— угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.

Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Рис. 4

Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда Дифференциальные уравнения в векторном видебудет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.

Видео:14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения

Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде(153)

имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.

Дифференциальные уравнения в векторном виде(154)

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

Дифференциальные уравнения в векторном виде(155 / )

или в проекциях на оси координат:

Дифференциальные уравнения в векторном виде(155)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.

Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

Пример решения задачи №1

Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.

Дифференциальные уравнения в векторном виде
Рис. 171

Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:

x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.

где Дифференциальные уравнения в векторном видеПренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.

Ответ. Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример решения задачи №2

Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью Дифференциальные уравнения в векторном видекаждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.

Дифференциальные уравнения в векторном виде
Рис. 172

Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φe—переносной и Φc-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: Дифференциальные уравнения в векторном видеи направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен Дифференциальные уравнения в векторном виде.

Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:

mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.

Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ответ. Дифференциальные уравнения в векторном видеи не зависит от положения хорды.

Пример решения задачи №3

Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.

Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.

Поворотная сила ползуна Φс=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид

mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),

причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.

Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Две основные задачи динамики точки
  • Прямолинейное движение точки
  • Криволинейное движение материальной точки
  • Движение несвободной материальной точки
  • Сложное движение точки
  • Сложение движение твердого тела
  • Кинематика сплошной среды
  • Аксиомы классической механики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Векторный анализ с примерами решения и образцами выполнения

Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве. Объектами приложения векторного анализа являются: Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению

Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано иоде данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением. Например, поле температур.

Скалярное поле задается скалярной функцией точки и = f(М). Если в пространстве введена декартова система координат, то и есть функция трех переменных х, у, z — координат точки М:

u = f(x,y,z). (1)

Определение:

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция f(М) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня

f(x, y, z) = с = const. (2)

Пример:

Найти поверхности уровня скалярного поля

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Согласно определению уравнением поверхности уровня будет

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Это уравнение сферы (с ≠ 0) с центром в начале координат.

Скалярное поле называется плоским, если во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле одно и то же. Если указанную плоскость принять за плоскость хОу, го функция поля не будет зависеть от координаты г, т. е. будетфункцией только аргументов х и у,

u=f(x, y). (3)

Плоское поле можно характеризовать с помощью линий уровня — множества точек плоскости, в которых функция f(x, у) имеет одно и то же значение. Уравнение линии уровня —

f(х, у) = с = const. (4)

Пример:

Найти линии уровня скалярного поля

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Линии уровня задаются уравнениями

Дифференциальные уравнения в векторном виде

При с = О получаем пару прямых у = х, у = -х. При с ≠ 0 получаем семейство гипербол (рис. 1).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Производная по направлению

Пусть имеется скалярное поле, определяемое скалярной функцией и = f(M). Возьмем точку М0 и выберем направление, определяемое вектором I. Возьмем другую точку М так, чтобы вектор М0М был параллелен вектору 1 (рис.2). Обозначим длину вектора МоМ через ∆l, а приращение функции f(М) — f(Mo), соответствующее перемещению ∆l, через ∆и. Отношение

Дифференциальные уравнения в векторном виде

определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины поданному направлению I.

Пусть теперь ∆l стремится к нулю так, чтобы вектор М0М все время оставался параллельным вектору I.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Определение:

Если при ∆l —> 0 существует конечный предел отношения (5), то его называют производной функции и = f(M) в данной точке М0 по данному направлению I и обозначают символом
Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так что, по определению,
(6)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Это определение не связано с выбором системы координат, т. е. Hocит вариантный характер.

Найдем выражение для производной по направлению в декартовой системе координат. Пусть функция f(М) = f(х, у, z) дифференцируема в точке Мо(хо, yо, zо). Рассмотрим значение f(M) в точке М(х0 + ∆х,у0 + ∆y, zo + ∆z). Тогда полное приращение функции можно записать в следующем виде:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

означают, что частные производные вычислены в точке Мо. Отсюда (7)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Здесь величины Дифференциальные уравнения в векторном видесуть направляющие косинусы вектора МоМ = ∆xi + ∆yj + ∆zk. Так как векторы МоМ и I сонаправлены (М0М ↑↑ I), то их направляющие косинусы одинаковы:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как M —» Mo, оставаясь все время на прямой, параллельной вектору I, то углы а, β, γ постоянны, а потому

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Окончательно из равенств (7) и (8) получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

Частные производные Дифференциальные уравнения в векторном видеявляются производными функции и по направлениям координатных осей Ox, Оу, Oz соответственно.

Пример:

Найти производную функции

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в точке Mo(3,0,2) по направлению к точке M1(4,1, 3).
Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вектор МoМ = имеет длину |МоМ| = /3. Его направляющие косинусы: Дифференциальные уравнения в векторном видеДифференциальные уравнения в векторном виде

По формуле (9) будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тот факт, что Дифференциальные уравнения в векторном виде>0, означает, что скалярное поле в точке М0 в данном направлении возрастает.
Для плоского поля U = f(x, у) производная по направлению 1 в точке Мо(х0, у0) вычисляется по формуле (10)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где а — угол, образованный вектором I с осью Ох.

Замечание:

Формула (9) для вычисления производной по направлению I в данной точке М0 остается в силе и тогда, когда точка М стремится к точке Мо по кривой, для которой вектор I является касательным в точке Мо.

Пример:

Вычислить производную скалярного поля

и = arctg(xy)

в точке Mo(1, 1), принадлежащей параболе у = х2, по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пусть касательная к параболе в точке Мо образует с осью Ох угол a. Тогда tga =Дифференциальные уравнения в векторном виде= 2, откуда направляющие косинусы касательной

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вычислим значения Дифференциальные уравнения в векторном видев точке Mo(1, 1). Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Теперь по формуле (10) получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти производную скалярного поля и = In(xy + yz + zx) в точке Mo(0, 1, 1) по направлению окружности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Векторное уравнение окружности имеет вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Находим единичный вектор т касательной к окружности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Точке Mo(0,1, 1) соответствует значение параметра t= π/2 Значение т в точке Мо будет равно

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда получаем направляющие косинусы касательной к окружности в точке Mо: cos a = — 1, cos β = 0, cos γ = 0.

Вычислим значения частных производных данного скалярного поля в точке Mo(0, 1, 1)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Значит, искомая производная

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Градиент скалярного поля

Пусть скалярное поле определяется скалярной функцией

u = f(x, y. z),

которая предполагается дифференцируемой.

Определение:

Градиентом скалярного поля u в данной точке М называется вектор, обозначаемый символом grad и и определяемый равенством
(1)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ясно, что этот вектор зависит от функции f, так и от точки М, в которой вычисляется ее производная.
Пусть I° — единичный вектор в направлении I, т. е.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тогда формулу для производной по направлению можно записать в следующем виде:
(3)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

тем самым производная от функции и по направлению I равна скалярному произведению градиента функции u(M) на орт I° направления I.

Основные свойства градиента

Теорема:

Градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
Проведем через произвольную точку М поверхность уровня и = const и выберем на этой поверхности гладкую кривую L, проходящую через точку М (рис. 4). Пусть 1 — вектор, касательный к кривой L в точке М.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как на поверхности уровня и(М) = и(М1) для любой точки М1 ∈ L, то

Дифференциальные уравнения в векторном виде

С другой стороны, Дифференциальные уравнения в векторном виде= (grad и, I°). Поэтому (grad и, I°) = 0. Это означает, что векторы grad и и I° ортогональны, grad u ⊥ I°.

Итак, вектор grad и ортогонален к любой касательной к поверхности уровня в точке М. Тем самым он ортогонален к самой поверхности уровня в точке М.

Теорема:

Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.

Ранее мы доказали, что градиент скалярного поля направлен по нормали к поверхности уровня, которая может быть ориентирована либо в сторону возрастания функции и(М), либо в сторону ее убывания.

Обозначим через п нормаль к поверхности уровня, ориентированную в сторону возрастания функции и(М), и найдем производную функции и в направлении этой нормали (рис. 5). Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как по условию и(М1) > и(М), то и(М1) — и(М) > 0, и поэтому

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда следует, что grad и направлен в ту же сторону, что и выбранная нами нормаль п, т.е. в сторону возрастания функции и(М).

Теорема:

Длина градиента равна наибольшей производной по направлению в данной точке поля,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(здесь mах Дифференциальные уравнения в векторном виде берется по всевозможным направлениям в данной точке М поля).
Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где φ — угол между векторами I и grad n. Так как наибольшее значение cos φ равно 1, то наибольшим значением производной Дифференциальные уравнения в векторном видекак раз и является |grad и|.

Пример:

Найти направление наибольшего изменения скалярного поля

и = ху + yz + zx

в точке Mо(1, 1, 1), а также величину этого наибольшего изменения в указанной точке.

Направление наибольшего изменения скалярного поля указывается вектором grad u(M). Имеем grad u(М) = (у + z)i + (х + г)j + (у + х)к, так что

Этот вектор определяет направление наибольшего возрастания поля в точке Мо(1,1,1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Инвариантное определение градиента

Величины, характеризующие свойства изучаемого объекта и не зависящие от выбора системы координат, называются инвариантами данного объекта. Например, длина кривой — инвариант этой кривой, а угол касательной к кривой с осью Ох — не инвариант.

Основываясь на доказанных выше трех свойствах градиента скалярного поля, можно дать следующее инвариантное определение градиента.

Определение:

Градиент скалярного поля есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля и имеющий длину, равную наибольшей производной по направлению (в данной точке).
Пусть п° — единичный вектор нормали, направленный в сторону возрастания поля. Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти градиент расстояния

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где Мo(хo,уo,zo) — некоторая фиксированная точка, а М(х,у,z) — текущая.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где r° — единичный вектор направления MoM.

Правила вычисления градиента

  1. grad си(М) = с grad и<М), где с — постоянное число.
  2. grad(u + v) = grad и + grad v.

Приведенные формулы получаются непосредственно из определения градиента и свойств производных.

3. grad(u v) = v grad и+ и grad v.

По правилу дифференцирования произведения

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Доказательство аналогично доказательству свойства 3.

Пусть F(u) — дифференцируемая скалярная функция. Тогда

grad F(u) = F'(u) grad и.

По определению градиента имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Применим ко всем слагаемым правой части правило дифференцирования сложной функции. Получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

grad F(r) = F'(r) • p°. (6)

Формула (6) следует из формулы grad r = r°.

Пример:

Найти производную по направлению радиус-вектора r от функции u = sin r, где r = |r|. По формуле (3)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

а по формуле (6) grad sin r = cos r • r° . В результате получим, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Пусть дано плоское скалярное поле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где r1, r2 — расстояния от некоторой точки Р(х,у) плоскости до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, F1 ≠ F2.

Рассмотрим произвольный эллипс с фокусами F1 и F2 и докажем, что всякий луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус.

Линии уровня функции (7) суть

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Уравнения (8) описывают семейство эллипсов с фокусами в точках F1 и F2.

Согласно результату примера 2 имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тем самым градиент заданного поля равен вектору PQ диагонали ромба, построенного на ортах Дифференциальные уравнения в векторном видерадиус-векторов, проведенных к точке Р(х,у) из фокусов F1 и F2, и значит, лежит на биссектрисе угла между этими радиус-векторами (рис. 6).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

По теореме 1 градиент PQ перпендикулярен к эллипсу (8) в точке Р(х,у). Следовательно, нормаль к эллипсу (8) в любой его точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными в эту точку. Отсюда и из того, что угол падения равен углу отражения, получаем: луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от него, непременно попадает в другой фокус этого эллипса.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Определение:

Если в каждой точке M(x,y,z) пространства или части пространства определена векторная величина

Дифференциальные уравнения в векторном виде

то говорят, что там задано векторное поле а.

Задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций от трех переменных Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z).

Примерами векторных полей могут служить: силовое поле — поле некоторой силы F, поле скоростей v течения некоторой жидкости и др.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии. Векторной линией векторного поля а называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля а в этой точке (рис. 7).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями‘, в поле скоростей движения жидкости векторные линии называются линиями тока.

Дифференциальные уравнения векторных линий

Пусть векторное поле определяется вектор-функцией

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где P(x,y,z), Q(x, у, z), R(x,y,z) — непрерывные функции переменных х, у, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка. Пусть

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

— есть радиус-вектор текущей точки векторной линии векторного поля a (t — параметр). Из определения векторной линии следует, что вектор

и вектор касательной к этой кривой

Дифференциальные уравнения в векторном виде

должны быть коллинеарны в каждой точке векторной линии. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Таким образом, мы получили для векторных линий систему дифференциальных уравнений в симметричной форме.

Допустим, что нам удалось найти два независимых интеграла системы (2): (3)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Система уравнений (3) определяет векторную линию как линию пересечения двух поверхностей. Произвольно меняя параметры c1 и c2 мы получаем семейство векторных линий как семейство с двумя степенями свободы.

Пример:

Hайти векторные линии векторного поля

а = хi + уj + 2zk.

Выписываем дифференциальные уравнения векторных линий, dx dy dz

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Интегрируя эту систему, получим два уравнения

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где c1, c2 — произвольные постоянные. Пересечение плоскостей у = c1х с параболическими цилиндрами z = c2x 2 дает двухпараметрическое семейство векторных линий поля (рис. 8).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Определение:

Векторное поле называется плоским, если все векторы а параллельны одной и той же плоскости и в каждой плоскости, параллельной указанной, векторное поле одно и то же.

Посмотрим, как плоское векторное поле описывается в координатах. Если указанную в определении плоскость (или любую ей параллельную) принять за плоскость хОу, то векторы плоского поля не будут содержать компоненты по оси Oz и координаты векторов не будут зависеть от z:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения векторныхлиний плоского поля можно записать в следующем виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости хОу.

Пример:

Найти векторные линии магнитного поля бесконечно длинного прямого провода.

Предположим, что проводник направлен вдоль оси Oz и по нему течет ток силы J, т. е. вектор тока

J = J • k.

Тогда вектор напряженности Н магнитного поля определяется по формуле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

р = xi + yj + zk

— радиус-вектор точки М, р — расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6), получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения векторных линий:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда x = const, Дифференциальные уравнения в векторном видеили xdx + ydy = 0. Окончательно имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси Oz (рис.9).

Пример:

Найти векторные линии поля сил тяготения, образованного притягивающей материальной точкой массы т, расположенной в начале координат.

В данном случае сила F определяется так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения векторных линий:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

откуда, умножая каждую из дробей на Дифференциальные уравнения в векторном видеполучим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Чтобы получить уравнения векторных линий в параметрической форме, приравняем каждую из дробей величине Дифференциальные уравнения в векторном виде. Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Это — полупрямые, выходящие из начала координат.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Чтобы из семейства векторных линий выделить одну, надо задать точку М0(хо, yo, zо). через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить величины С1, C2, C3.

Пусть, например, точка Мо имеет координаты хо = 3, yо = 5, zо = 7. Уравнение векторной линии, проходящей через точку Mo(3, 5, 7), можно записать так:

x = 3t, у — 5t, z = 7t.

Сама точка Мо получается при значении параметра t = 1.

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Поток вектора через поверхность и его свойства

Рассмотрим сначала частный случай поля скоростей v течения жидкости. Выделим в поле некоторую поверхность Σ. Потоком жидкости через поверхность Σ называется количество жидкости, протекающее через поверхность Σ за единицу времени.

Этот поток легко вычислить, если скорость течения постоянна (v = const), а поверхность Σ —плоская. В этом случае поток жидкости равен объему цилиндрического тела с параллельными основаниями и образующими длины |v|, так как за единицу времени каждая частица перемещается на величину v (рис. 10),

П =Sh,

где S — площадь основания, h = npnv = (v, n°) — высота цилиндра и n — нормаль к его основанию, |п°| = 1.

Итак, при постоянной скорости v поток жидкости через плоскую поверхность Σ равен
(1)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Если скорость v изменяется непрерывно, а поверхность Σ — гладкая, то можно разбить поверхность Σ на столь малые части Σk (k = 1, 2,…, п), чтобы каждую часть Σk можно было приближенно считать плоской и вектор v на ней постоянным.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как поток жидкости через поверхность Σ равен сумме потоков жидкости через все ее части Σk, то мы получаем для вычисления потока приближенную формулу (2)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где п — общее число частей Σk, на которые разбита поверхность Σ, Рк — точка, лежащая на k-ой части, ∆σk — площадь части Σk поверхности, ( v, n°)pk означает скалярное произведение векторов v и п° в точке Pk ∈ Σk (рис. 11).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Назовем потоком жидкости через поверхность Σ предел суммы (2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров площадок Σk,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где d — наибольший из диаметров частей Σk (k= 1,2,…,п). Интеграл (3), определяющий поток жидкости, берется от скалярной функции (v, п°) по площади поверхности Σ.

Понятие потока произвольного вектора а через поверхность Σ вводится п о аналогии с введенным выше понятием потока жидкости через поверхность.

Определение:

Потоком вектора (векторного поля) а через поверхность Σ называется интеграл по поверхности Σ от проекции вектора а на нормаль к поверхности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ясно, что интеграл (4) существует, если вектор а = Pi+Qj+Rk непрерывен, т. е. непрерывны его координаты Р(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y,z), и поверхность Σ — гладкая, т. е. имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость

Пример:

Поле создается точечным зарядом (электричесkое поле) или точечной маcсой (поле тяготения), помещенными в начале координат. Тогда вектор напряженности поля в любой точке Р будет равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где q — величина заряда (массы), r = ОР — радиус-вектор точки Р. Требуется найти поток вектора напряженности Е через SR — сферу радиуса R с центром в начале координат.

Так как направление нормали к сфере совпадает с направлением радиус-вектора r, то п° = r° и поэтому

Дифференциальные уравнения в векторном виде

На сфере SR радиуса R имеем r = R, так что (Е, n°) = Дифференциальные уравнения в векторном виде= const. Поэтому поток вектора через SR равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Видео:Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портретСкачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портрет

Свойства потока вектора через поверхность

1. Линейность.
(5)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где λ и μ — постоянные числа.

2. Аддитивность. Если поверхность Σ разбита кусочно-гладкой кривой на две части Σ1 и Σ2, то поток через поверхность Σ равен сумме потоков через поверхности Σ1 и Σ2,
(6)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Это свойство позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкие поверхности Σ.

Понятие ориентации поверхности

Взяв, к примеру, цилиндрическую поверхность, замечаем, что если в некоторой ее точке М выбрать определенный (один из двух) единичный вектор нормали и непрерывно перемещаться затем по поверхности вместе с соответствующим вектором нормали по любому пути, не переходящему через край повержюсти, то при возвращении в точку М единичный вектор нормали совпадает с исходным (рис. 12).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вместе с тем, существуют поверхности, для которых это не так. Примером такой поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 13). Существует путь (отмеченная на рисунке пунктиром средняя линия листа), перемещаясь по которому, мы возвратимся в начальную точку с единичным вектором нормали, противоположным исходному.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Описанное свойство разбивает все поверхности на два класса — двусторонние, или ориентируемые (плоскость, сфера, поверхность куба и т.п.), и односторонние, или неориентируемые (лист Мёбиуса).

3. Зависимость потока от ориентации поверхности (от ориентации вектора нормали к поверхности). Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей. Будем считать, что если в одной точке такой поверхности направление вектора нормали уже выбрано, то в любой другой ее точке берется тот вектор нормали, который получается из выбранного при непрерывном перемещении точки по поверхности (без перехода через границу). В частности, на замкнутой поверхности во всех точках берется либо внешняя нормаль, либо внутренняя (внутренняя нормаль направлена внутрь тела, ограниченного замкнутой поверхностью).

Обозначим через Σ+ ту сторону поверхности Σ, на которой выбран вектор нормали п+ = п, а через Σ- — сторону поверхности Σ, на которой берется вектор нормали (п_ = -п). Тогда получим
(7)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где п°_ = -п°+. Таким образом, при изменении ориентации поверхности (при изменении направления вектора нормали п° к поверхности Σ) поток вектора меняет знак на противоположный.

Пример:

Вычислить поток радиус-вектора r = хi + yj + zk через поверхность прямого кругового цилиндра высоты Н с радиусом основания R и осью Oz.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Поверхность Σ состоит из трех частей: боковой поверхности Σ1, верхнего основания Σ2 и нижнего основания Σ3 цилиндра. Искомый поток П в силу свойства аддитивности равен

П = П1 +П2 + П3,

где П1, П2, П3 — потоки данного поля через Σ1, Σ2 и Σ3 соответственно.

На боковой поверхности цилиндра вектор внешней нормали п°1 параллелен плоскости хОу, и поэтому

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(см. рис. 14). Следовательно,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

На верхнем основании Σ2 вектор нормали п°2 параллелен оси Оz, и поэтому можно положить п°2 = k. Тогда имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

На нижнем основании Σ3 вектор г перпендикулярен к вектору нормали п°3 = -k. Поэтому (r, п°3) = (r, -k) = 0 и

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Значит, искомый поток

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Здесь символ Дифференциальные уравнения в векторном видеозначает двойной интеграл по замкнутой поверхности.

Видео:Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

Поток вектора через незамкнутую поверхность

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности.

Метод проектирования на одну из координатных плоскостей

Пусть поверхность S однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида

z = f(x, у).

Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Если в формуле (1) берется знак « -», то угол γ между осью Oz и нормалью п° —острый; если же знак «+», то угол γ — тупой.

Так как элемент площади dσ этой поверхности равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности S сводится к вычислению двойного интеграла по формуле
(3)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(i, у).

Пример:

Найти поток вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через часть поверхности параболоида

Дифференциальные уравнения в векторном виде

отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Данная поверхность проектируется на круг Dxy плоскости хОу с центром в начале координат радиуса R =Дифференциальные уравнения в векторном виде. Находим орт п° нормали к параболоиду:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол γ, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Находим скалярное произведение

Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде

Если поверхность S проектируется однозначно на область Dyz плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = φ<у, z). В этом случае имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Знак «+» в последней формуле соответствует тому, что угол а между осью Ох и вектором нормали п° острый, и знак «-», если указанный угол тупой.

Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOz, то ее можно задать уравнением у = ψ(x, z) и тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Знак «+» перед дробью в формуле (10) означает, что угол β между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «—», что угол β — тупой.

Замечание:

Для нахождения потока вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(z, у, z)j + R(х, у, k)

к через поверхность S, заданную уравнением z = f(x, у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид:
(11)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, заданные уравнениями х = φ(у, z) или у = ψ(х, z).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Вычислить поток вектора

а = хzi

через внешнюю сторону параболоида

Дифференциальные уравнения в векторном виде

ограниченного плоскостью z = 0 (рис. 16).
Имеем

n = ±(2ri + 2yj+k).

Так как угол γ — острый, следует выбрать знак «+». Отсюда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Искомый поток вычисляется так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Переходя к полярным координатам х = р cos φ, y = p sin φ, 0 ≤ р ≤ 1. 0 ≤ φ Дифференциальные уравнения в векторном виде

Метод проектирования на все координатные плоскости

Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dxy, Dxz, Dyz проекции S на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F(x, y, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.

x = x(y,z), y = y(x,z), z = z(x,y). (12)

Тогда поток вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

можно записать так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак cos a, cos β, cos γ на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что (15)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Вычислить поток векторного поля

а = yi + zj + zk

через треугольник, ограниченный плоскостями z + y+ z = l (l>0), x=0, у — 0, z = 0 (угол γ — острый) (рис. 17).
Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ». Полагая Р = у, Q = z, R = х, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dyz — треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны ВС: y+z = l, 0 ≤ у ≤ I. Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Значит, искомый лоток равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Метод введения криволинейных координат на поверхности

Если поверхность S является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

А. Поверхность S является частью кругового цилиндра

Дифференциальные уравнения в векторном виде

ограниченного поверхностями z = f1(x,y) и z = f2(х. у), где f1(x. y) ≤ f2(x, y) (рис. 18). Полагая х = R cos φ, у = R sin φ, z = z, будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Элемент площади поверхности выражается так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности S вычисляется по формуле:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти поток вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через внешнюю сторону поверхности цилиндра

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре (х = 2 cos φ, у = 2 sin φ, z = z) равно:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тогда по формуле (18) получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В. Поверхность S является частью сферы

Дифференциальные уравнения в векторном виде

ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид Дифференциальные уравнения в векторном видеи полуплоскостями Дифференциальные уравнения в векторном виде(рис. 19).Точки данной сферы описываются соотношениями

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где Дифференциальные уравнения в векторном видеПоэтому элемент площади

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности S вычисляется по формуле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти поток вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через внешнюю часть сферы

Дифференциальные уравнения в векторном виде

отсеченную плоcкостью z = 2 (рис. 20).

В данном случае имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тогда скалярное произведение (а, п°) выразится так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

По формуле (21) получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

Здесь мы воспользовались формулой

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Теорема:

Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные Дифференциальные уравнения в векторном виде, то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от

Дифференциальные уравнения в векторном виде

по области V, ограниченной поверхностью S:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Здесь п0 — орт внешней нормали к поверхности, а символ Дифференциальные уравнения в векторном видеозначает поток через замкнутую поверхность S. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.

Рассмотрим сначала вектор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность S пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность S разбивается на две части S1 и S2, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21).

Внешняя нормаль к поверхности S2 образует острый угол γ с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности S1 образует тупой угол с осью Oz. Поэтому cos γ = (п°, к) > 0 на S2 и cos γ Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пусть dσ — элемент площади на поверхности S. Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где dS — элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интеграл ам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности S1 и S2. Пусть S2 описывается уравнением z = z2(x, у), а S, — уравнением z = z1(x, у). Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как приращение непрерывно дифференцируемой функции можно представить как интеграл от ее производной

Дифференциальные уравнения в векторном виде

то для функции R(x, у, z) будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пользуясь этим, получаем из формулы (3)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Rk, п°) = 0 и интеграл ∫∫ (Rk, n°) dσ по ней равен нулю. Поэтому формула (4) остается справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность 5 пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза. Пусть S1 и S2 — те части поверхности S, на которые она разбивается разрезом Sp,a V1 и V2 — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями Дифференциальные уравнения в векторном виде

Здесь Sp+ означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройного интеграла, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(интегралы по разрезу Sp взаимно уничтожаются). Рассмотрим, наконец, вектор

Для каждой компоненты Pi, Qj, Rк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остроградского

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Вычислить поток вектора

а = 2xi — (z — 1)k

через замкнутую поверхность

Дифференциальные уравнения в векторном виде

1) по определению, 2) по формуле Остроградского.

1) Поток вектора а равен сумме

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Следовательно, П = -4π + 0 + 8π = 4π.

2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Вычислить поток радиус-вектора

r = xi + yj + zk

через сферу радиуса R с центром в начале координат:

1) по определению; 2) по формуле Остроградского.

1) Так как для сферы

Дифференциальные уравнения в векторном виде

2) Сначала находим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Вычислить поток вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через замкнутую поверхность S, заданную условиями:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

1) по определению; 2) по формуле Остроградстого (рис.25).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(на S1 имеем z = 0),

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Переходя к цилиндрическим координатам

Дифференциальные уравнения в векторном виде

и замечая, что z = 9 — р на поверхности S, имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить ее до замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Оcтроградского.

Пример:

Вычислить поток вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через поверхность S:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Заданная поверхность S есть конус с осью Оу (рис. 26).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замкнем этот конус куском Σ плоскости у = I. Тогда, обозначая через П1 искомый поток, а через П2 поток по поверхности Σ, будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S и Σ.
Так как

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

т.к. на поверхности Σ выполняется равенство у = 1. Следовательно, П1 = π.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Пусть S — замкнутая поверхность. Рассмотрим поле скоростей v течения жидкости и вычислим поток жидкости через поверхность 5. Если он положителен, то это означает, что из той части пространства, которая ограничена поверхностью S, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются источники (выделяющие жидкость). Напротив, если поток отрицателен, то внутрь S втекает больше жидкости, чем вытекает из нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются стоки (поглощающие жидкость).

Тем самым, величина

Дифференциальные уравнения в векторном виде

позволяет судить о природе части векторного поля, заключенного внутри поверхности S, а именно, о наличии источников или стоков внутри нее и их производительности (мощности).

Понятие о потоке вектора через замкнутую поверхность приводит к понятию дивергенции, или расходимости поля, которое дает некоторую количественную характеристику поля в каждой его точке.

Пусть М — изучаемая точка поля. Окружим ее поверхностью S произвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса. Область, ограниченную поверхностью 5, обозначим через (V), а ее объем через V.

Вычислим поток вектора а через поверхность S. Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Составим отношение этого потока П к величине объема V,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как числитель представляет собой производительность источников (стоков) внутри области (V), то отношение (1) дает среднюю производительность единицы объема.

Определение:

Если отношение (1) имеет конечный предел, когда область (V) стягивается в точку М, то этот предел называют дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точке М и обозначают div а(М). То есть по определению

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина (числитель и знаменатель дроби (2) суть скалярные величины).

Если diva(M) > 0, то в точке М расположен источник, если diva(M) Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пользуясь теоремой о среднем для тройного интеграла, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Подставляя это выражение в формулу (2), определяющую дивергенцию, найдем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Когда область (V) стягивается в точку М, то и точка Мcp стремится к точке М и, в силу предположенной непрерывности частных производных, получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(все величины в формуле (3) вычисляются водной и той же точке).

Формула (3) дает выражение дивергенции в декартовых координатах. Попутно доказано само существование дивергенции вектора а при условии, что производные Дифференциальные уравнения в векторном виденепрерывны.

Используя формулу (3) для дивергенции, запишем формулу Гаусса—Остроградского в векторной форме. Имеем
(4)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

— поток вектора а через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции вектора а по области (V), ограниченной поверхностью S.

Правила вычисления дивергенции

1, Дивергенция обладает свойством линейности
(5)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где С1,…, Сп — постоянные числа.

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

и С — постоянное число. Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

2. Дивергенция постоянного вектора с равна нулю

div e = 0. (6)

3. Дивергенция произведения скалярной функции и(М) на вектор а(М) вычисляется по формуле

div(ua) = u diva + (gprad u,a). (7)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти дивергенцию вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где r = |r| — расстояние от начала координат до переменной точки М(х,у,z),

Дифференциальные уравнения в векторном виде

По формуле (7) имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как r = xi + уj + zk. то

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Трубчатое (соленоидальное) поле

Если во всех точках некоторой области G дивергенция векторного поля, заданного в этой области, равна нулю

div а ≡ 0, (8)

то говорят, что в этой области поле соленоидальное (или трубчатое).

Из формулы Гаусса—Остроградского вытекает, что в трубчатом поле поток вектора через любую замкнутую поверхность S, лежащую в этом поле, равен нулю
(9)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Свойства трубчатого поля

Рассмотрим в области, где задано поле вектора а, какую-нибудь площадку Σ (рис.27). Назовем векторной трубкой совокупность векторных линий, проходящих через границу γ = θΣ этой площадки. Пусть Σ1 — некоторое сечение векторной трубки. Выберем вектор нормали щ к сечению Σ1 так, чтобы он был направлен в ту же сторону, что и вектор а поля.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Теорема:

В трубчатом поле поток вектора а через любое сечение векторной трубки один и тот же.

Пусть Σ1 и Σ2 —непересекающиеся сечения одной и той же векторной трубки. Надо доказать, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Обозначим через Σ3 часть поверхности векторной трубки, заключенную между сечениями Σ1 и Σ2. Поверхности Σ1, Σ2, Σ3 вместе образуют замкнутую поверхность Σ (рис.28).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как по условию поле вектора а — трубчатое, то

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В силу аддитивности потока соотношение (10) можно переписать так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В точках поверхности Σ3, составленной из векторных линий, имеем Дифференциальные уравнения в векторном виде, так что (а, п°3) = 0 на Σз, и значит, последний интеграл в левой части (11) равен нулю. Таким образом, из (11) находим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пусть поверхность Σ имеет ориентированный замкнутый контур L своей границей. Будем говорить, что поверхность Σ натянута на контур L. Вектор нормали п к поверхности Σ будем ориентировать так, чтобы из конца нормали обход контура L был виден против часовой стрелки (рис. 29).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Теорема:

В трубчатом поле поток вектора а через любую поверхность, натянутую на данный контур, один и тот же:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

В трубчатом поле векторные линии могут быть либо замкнутыми кривыми, либо иметь концы на границе области, где поле задано.

Пример:

Рассмотрим силовое поле, создаваемое точечным зарядом q, помешенным в начале координат. Вычислим дивергенцию вектора Е напряженности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пользуясь формулой (7), получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

для r ≠ 0. Таким образом, поле вектора Σ, заданного формулой (13), будет трубчатым в любой области G, не содержащей точки O(0,0,0).

Вычислим поток вектора Σ через сферу Sr радиуса R с центром в начале координат O(0,0,0) (рис.30).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

Можно показать, что поток вектора (13) через любую замкнутую поверхность Σ, охватывающую точку O(0,0,0), всегда равен 4 πg.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле

а(М) = Р(х, у, х)i + Q(x, у, z)j + R(х, у, z)k

и замкнутый ориентированный контур L.

Определение:

Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от вектора а по контуру L

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, определяемым ориентацией контура (рис. 31) символ Дифференциальные уравнения в векторном видеозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру L.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Дифференциальные уравнения в векторном виде

вдоль эллипса L:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

По определению циркуляции имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

и, значит, dx = -a sin tdt, dy = b cos tdt. Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Ротор (вихрь) векторного поля

Рассмотрим поле вектора

а(М) = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(х, у, z)k,

Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам.

Определение:

Ротором вектора а(M) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством

Дифференциальные уравнения в векторном виде

или, в символической, удобной для запоминания форме,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Определение:

Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называется безвихревым.

Пример:

Найти ротор вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Согласно формуле (3) имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

div rot a = 0. (3′)

Таким образом, поле вектора rot а соленоидально.

Теорема Стокса:

Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Σ, и что ориентация орта нормали п° к поверхности Σ С G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормали обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что а = Pi + Qj + Rk, n° = cos ai + cos βj + cos γk, и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Σ и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур λ соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура λ. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Σ остается слева, так что веkтор нормали п к поверхности Σ составляет с осью Oz острый угол γ (cos γ > 0).

Пусть z = φ <х,у) — уравнение поверхности Σ и функция ф(х,у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Дифференциальные уравнения в векторном видев замкнутой области D. Рассмотрим интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Линия L лежит на поверхности Σ. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности z = φ(х, у),мы можем заменить z под знаком интеграла на φ(x, у). Координаты (х, у)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

переменной точки кривой λ равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по λ,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина. Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Σ. Так как dS = cos γ • dσ,то из формулы (8) получим, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вектор нормали n° к поверхности Σ определяется выражением

Дифференциальные уравнения в векторном виде

или n° = cos a • i + cos β • j + cos γ • k. Отсюда видно, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Поэтому равенство (9) можно переписать так:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Считая Σ гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Складывая равенства (10), (11) и (12) почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

Мы показали, что поле вектора rota — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Σ, натянутой на контур L.

Замечание:

Формула (4) выведена в предположении, что поверхность Σ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Ecли это условие не выполнено, то разбиваем Σ на части так, чтобы каждая часть указан ному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример:

Вычислить циркуляцию вектора

а = yi — xj + k

Дифференциальные уравнения в векторном виде

1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса.

1) Зададим линию L параметрически:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тогда dx = -R sin t dt, dy = R cos t dt, H dz = 0, так что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Натянем на контур L кусок плоскости z = H, так что п° = k. Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Видео:Размышляю над Хаосом и Равновесием - ДиффурыСкачать

Размышляю над Хаосом и Равновесием - Диффуры

Инвариантное определение ротора поля

Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат.

Теорема:

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Здесь ( Σ ) — плоская площадка, перпендикулярная вектору п; S — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; ( Σ )М означает, что площадка ( Σ ) стягиваетcя к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Применим сначала к циркуляции

Дифференциальные уравнения в векторном виде

вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(скалярное произведение (rot a, n°) берется в некоторой средней точке Mср площадки ( Σ )).

При стягивании площадки ( Σ ) к точке М средняя точка Мср тоже стремится к точке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависит от выбора системы координат, то сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора. Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rot a согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта.

Физический смысл ротора поля

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси l с угловой скоростью w. Не нарушая общности, можно считать, что ось l совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где

r = xi + уj + zk.

Вектор угловой скорости в нашем случае равен w ≡ wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Правила вычисления ротора

1, Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору,

rot e = 0.

2. Ротор обладает свойством линейности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где c1, c2,…, cn — постоянные числа.

3. Ротор произведения скалярной функции и(М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

rot(wa) = и rot а + [grad и, а].

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

Определение:

Область G трехмерного пространства называется поверхностно односвязной, если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G.

Например, внутренность сферы или все трехмерное пространство являются поверхностно односвязными областями; внутренность тора или трехмерное пространство, из которого исключена прямая, поверхностно односвязными областями не являются.

Пусть в поверхностно односвязной области G задано непрерывное векторное поле

а (М) = Р(М)i + Q(M)j + R(M) k.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема:

Для того чтобы криволинейный интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в поле вектора а не зависел от пути интегрирования, а зависел только от начальной и конечной точек пути (А и В), необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора a вдаль любого замкнутого контура L, расположенного в области G, была равна нулю.

Необходимость. Пусть интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

не зависит от пути интегрирования. Покажем, что тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

по любому замкнутому контуру L равен нулю.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в поле вектора а и возьмем на нем произвольно точки A и В (рис.35).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

По условию имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где L1 и L2 — различные пути, соединяющие точки А и В; откуда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Но L1 U L2 как раз и есть выбранный замкнутый контур L. Достаточность. Пусть

Дифференциальные уравнения в векторном виде

для любого замкнутого контура L. Покажем, что в этом случае интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

не зависит от пути интегрирования.

Возьмем в поле вектора а две точки А и В, соединим их произвольными линиями L1 и L2 к покажем, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Для простоты ограничимся случаем, когда линии L1 и L2 не пересекаются. В этом случае объединение L1 ∪ L2 образует простой замкнутый контур L (рис. 36).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

а по свойству аддитивности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

откуда справедливость равенства (2) и вытекает.

Теорема 9 выражает необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла от формы пути, однако эти условия трудно проверяемы. Приведем более эффективный критерий.

Теорема:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

не зависел от пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле а(М) = Р(X, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k было безвихревым,

rot a(M) = 0. (3)

Здесь предполагается, что координаты Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) вектора а(М) имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) поверхностно односвязна.
Замечание:

В силу теоремы 9 независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю циркуляции вектора а вдоль любого замкнутого контура. Это обстоятельство мы используем при доказательстве теоремы.

Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от формы пути, или, что то же, циркуляция вектора а по любому замкнутому контуру L равна нулю. Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

т. е. в каждой точке поля проекция вектора rot а на любое направление равна нулю. Это означает, что сам вектор rot а равен нулю во всех точках поля,

rot а ≡ 0.

Достаточность. Достаточность условия (3) вытекает из формулы Стокса, так как если rot а ≡ 0, то и циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ротор плоского поля a = P(x, y)i + Q(x, y)j равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

что позволяет сформулировать для плоского поля следующую теорему.

Теорема:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в односвязном плоском поле не зависел от формы линии L, необходимо и достаточно, чтобы соотношение

Дифференциальные уравнения в векторном виде

выполнялось тождественно во всей рассматриваемой области.

Если область неодносвязна, то выполнение условия

Дифференциальные уравнения в векторном виде

вообще говоря, не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от формы линии.

Пример:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ясно, что подынтегральное выражение не имеет смысла в точке 0(0,0). Поэтому исключим эту точку. В остальной части плоскости (это будет уже не сщносвязная область!) координаты вектора а непрерывны, имеют непрерывные частные производные и

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Рассмотрим интеграл (6) вдоль замкнутой кривой L — окружности радиуса R с центром в начале координат

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отличие циркуляции от нуля показывает, что интеграл (6) зависит от формы пути интегрирования.

Потенциальное поле

Определение:

Поле вектора а(М) называется потенциальным, если существует скалярная функция и<М) такая, что

grad и = a. (1)

При этом функция и<М) называется потенциалом поля ее поверхности уровня называются эквипотенциальными поверхностями.
Пусть

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

то соотношение (1) равносильно следующим трем скалярным равенствам:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Заметим, что потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого: если grad и = а и grad v = а, то

Дифференциальные уравнения в векторном виде

и, следовательно, и = v + с, где с — постоянное число.

Пример:

Поле радиус-вектора г является потенциальным, так как

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(напомним, что Дифференциальные уравнения в векторном виде). Потенциалом поля радиус-вектора является, следовательно,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пусть функция φ(r) такая, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Теорема:

Для того чтобы поле вектора а было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым,

rot а0, (2)

т. е. чтобы его ротор равнялся нулю во всех точках поля. При этом предполагается непрерывность всех частных производных от координат вектора а и поверхностная односвязность области, в которой задан вектор а.
Необходимость. Необходимость условия (2) устанавливается непосредственным подсчетом: если поле потенциально, т. е. а = grad и, то

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Достаточность. Пусть поле вектора безвихревое (2). Для того чтобы доказать потенциальность этого поля, построим его потенциал и(М). Из условия (2) следует, что криволинейный интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

не зависит от формы линии L, а зависит только от ее начальной и конечной точек. Зафиксируем начальную точку Мо(xo, yо, zo), а конечную точку М(х, y, z) будем менять. Тогда интеграл (3) будет функцией точки М(х, у, z). Обозначим эту функцию через и(М) и докажем, что

grad u = а.

В дальнейшем будем записывать интеграл (3), указывая лишь начальную и конечную точку пути интегрирования,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Равенство grad и = а равносильно трем скалярны м равенства м

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Докажем первое из них,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

второе и третье равенства доказываются аналогично.

По определению частной производной имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Рассмотрим точку М1(х + ∆х, у, z), близкую к точке M(x,y,z). Так как функция и(М) определяется соотношением (4), в котором криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путь интегрирования так, как указано на рис.37.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Последний интеграл берется вдоль отрезка прямой ММ1, параллельной оси Ох. На этом отрезке в качестве параметра можно принять координату х:

x = х, у = const, z = const.

Тогда dx = dx,dy = 0, dz = 0, так что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Применяя к интегралу в правой части (6) теорему о среднем, получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где величина ξ заключена между х и х + ∆х. Из формулы (7) вытекает, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как ξ —► x при ∆x —» 0, то в силу непрерывности функции Р(х, у, z) получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Аналогично доказывается, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Следствие:

Векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда криволинейный интеграл в нем не зависит от пути.

Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле

Теорема:

Интеграл Дифференциальные уравнения в векторном виде в потенциальном поле а(М) равен разности значений, потенциала и(М) поля в конечной и начальной точках пути интегрирования,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ранее былодоказано, что функция

Дифференциальные уравнения в векторном виде

является потенциалом поля.

В потенциальном поле криволинейный интеграл

Дифференциальные уравнения в векторном виде

не зависит от пути интегрирования. Поэтому, выбирая путь отточки М1 к точке М2 так, чтобы он прошел через точку Mo (рис. 38), получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

или, меняя ориентацию пути в первом интеграле справа,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого, то любой потенциал рассматриваемого поля можетбыть записан в виде

v(M) = u(M) + c, (10)

где с — постоянная.

Делая в формуле (10) замену u(M2) = v(M2) — с, и(М1) = v(M1) — с, получим для произвольного потенциала v(M) требуемую формулу

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

В примере 1 было показано, что потенциалом поля радиус-вектора г является функция

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где ri (i = 1,2) — расстояние от точки Mi(i = 1,2) до начала координат.

Вычисление потенциала в декартовых координатах

Пусть задано потенциальное поле

а(М) = Р(х, у, г)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.

Ранее было показано, что потенциальная функция и(М) может быть найдена по формуле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Интеграл (11) удобнее всего вычислять так: зафиксируем начальную точку Мо(хо, yо, zо) и соединим ее с достаточно близкой текущей точкой M(x,y,z) ломаной М0М1М2М, звенья которой параллельны координатным осям, М0М1,||Ох, M1М2||Оу, М2М|| Oz (рис.39).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

При этом на каждом звене ломаной изменяется только одна координата, что позволяет существенно упростить вычисления. В самом деле, на отрезке М0М1 имеем:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

На отрезке М1М2:

х = const, dx = 0, у = у, dy = dy, z = z0 и dz = 0.

x = const, dx = 0, у = const, dy = 0, z = z и dz = dz.

Следовательно, потенциал u(M) равен

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где x, у, z — координаты текущей точки на звеньях ломаной, вдоль которых ведется интегрирование.

Пример:

Доказать, что векторное поле

является потенциальным, и найти его потенциал.

Проверим, будет ли поле вектора а(М) потенциально. С этой целью вычислим ротор поля. Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (12). Возьмем за начальную точку Mо начало координат О (так обычно поступают, если поле а(М) определено в начале координат). Тогда получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

u(z, у, z) = ху + xz + yz + с,

где с — произвольная постоянная.

Потенциал этого поля можно найти и по-иному. По определению потенциал и(х, у, г) есть скалярная функция, для которой grad и = а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Интегрируя (13) по х, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где f(y,z) — произвольная дифференцируемая функция от у и z. Продифференцируем (16) по у:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

откуда, учитывая (14), будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Проинтегрировав (17) по у, найдем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где F(z) — некоторая функция х. Подставив (18) в (16), получим

и(х, у, z) = ху + xz + у z + F(z).

Дифференцируя последнее равенство по z и учитывая соотношение (15), получим уравнение для F(z),

Дифференциальные уравнения в векторном виде

откуда Дифференциальные уравнения в векторном виде= 0, так что F(z) = с = const. Итак,

u(x,y,z) = ху +yz + zx +с.

Оператор Гамильтона

Мы рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление grad и для скалярного поля и = и(х, у, z) и div а и rot а для векторного поля а = а(x, у, z). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора ∇ («набла»): (1)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Оператор ∇ (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и векторными свойствами. Формальное умножение, например, умножение Дифференциальные уравнения в векторном видена функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором ∇ будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы:

1, Если и = и(х, у, z) — скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + (x, y, z)k,

где P, Q, R — дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

3. Вычисляя векторное произведение [ ∇, а], получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Для постоянной функции и = с получим

∇c = 0,

а для постоянного вектора с будем иметь

( ∇, с) = 0 и [ ∇, с] = 0.

Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем

( ∇, a + b) = ( ∇, а) + ( ∇, b),

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Замечание:

Формулы (5) и (6) можно трактовать так же как проявление дифференциальных свойств оператора «набла»( ∇ — линейный дифференциальный оператор). Условились считать, что оператор ∇ действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например,

( ∇, а) ≠ (а, ∇ ),

ибо ( ∇, а) = div а есть функция Дифференциальные уравнения в векторном видев то время как

Дифференциальные уравнения в векторном виде

— скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор ∇ к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения.

Пример:

grad(u v) = v Brad и + u grad v. (7)

По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем

∇(uv) = v∇u + u ∇v,

grad(uv) = v grad u + u grad v.

Чтобы отметить тот факт, что «набла» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается.

Пример:

Пусть и(x,y,z) — скалярная дифференцируемая функция, a(x,y,z) — векторная дифференцируемая функция. Доказать, что

div(ua) =u diva + (a, grad u). (8)

Перепишем левую часть (8) в символическом виде

div(ua) = ( ∇, ua).

Учитывая дифференциальный характер оператора ∇, получаем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как ис — постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

(на последнем шаге мы опустили индекс с).

В выражении ( ∇, иас) оператор ∇ действует только на скалярную функцию и, поэтому

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В итоге получаем

div(ua) = u div а + (a, grad и).

Замечание:

Используя формализм действий с оператором ∇ как с вектором, надо помнить, что ∇ не является обычным вектором — он не имеет ни длины, ни направления, так что, например, вектор ( ∇, а> не будет, вообще говоря, перпендикулярным вектору а (впрочем, для плоского поля а = Р(х, y)i + Q(x, y)j вектор

Дифференциальные уравнения в векторном виде

перпендикулярен плоскости хОу, а значит, и вектору а).

Не имеет смысла и понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору ∇. Например, выражение [∇ φ, ∇ ψ] где φ и ψ — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение двух кoллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Однако в общем случае это не имеет места. В самом деле, вектор ∇ φ = grad φ направлен по нормали к поверхности уровня φ = const, а вектор ∇ ψ = grad ψ определяет нормаль к поверхности уровня ψ = const. В общем случае эти нормали не обязаны быть коллинеарными (рис. 40). С другой стороны, в любом дифференцируемом скалярном поле φ (х, у, z) имеем [∇ φ, ∇ ψ] = 0.

Эта примеры показывают, что с оператором «набла» нужно обращаться с большой осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить аналитическими методами.

Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа

Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора ∇.

1, Пусть имеем скалярное поле и = и(x,y,z). В этом поле оператор ∇ порождает векторное поле

∇u = grad и.

В векторном поле grad и можно определить две операции:

( ∇, ∇u) = div grad u, (1)

что приводит к скалярному полю, и

[ ∇, ∇m] = rot grad u, (2)

что приводит к векторному полю.

2. Пусть задано векторное поле а = Pi + Qj + Rk. Тогда оператор (2) порождает в нем скалярное поле

(∇, а) = div a.

В скалярном поле div а оператор ∇ порождает векторное поле

∇ (∇,a) = grad div а. (3)

3. В векторном поле а = Pi + Qj + Rк оператор ∇ порождает также векторное поле

[∇, а] = rot a.

Применяя к этому полю снова оператор ∇, получим:

а) скалярное поле

(∇, [∇, а]) = div rot а, (4).

б) векторное поле

(∇, [∇, а]) = rot rot а. (5)

Формулы (1)-(5) определяют так называемые дифференциальные операции второго порядка.

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz и рассмотрим каждую из формул (1)-(5) более подробно.

1, Предполагая, что функция и(х, у, z) имеет непрерывные вторые частные производные по х, у и z, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

называется оператором Лапласа, или лапласианом. Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона ∇ на самого себя, т.е.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Оператор ∆ (дельта) играет важную роль в математической физике. Уравнение (6)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается, например, стационарное распределение тепла.

Скалярное поле и(х, у, z), удовлетворяющее условию ∆и = 0, называется лапла-совым или гармоническим полем.

Например, скалярное поле и = 2х 2 + Зу — 2x 2 является гармоническим во всем трехмерном пространстве: из того, что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

2. Пусть функция u(z, у, z) имеет непрерывные частные производные второго порядка включительно. Тогда

rot grad u0. (7)

В самом деле, действуя формально, получим

rot grad и = [∇, ∇u] = [ ∇, ∇ ] u = 0,

ибо [∇, ∇] = 0 как векторное произведение двух одинаковых «векторов».

Тот же результат можно получить, используя выражения градиента и ротора в декартовых координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

3. Пусть задано векторное поле

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k,

координаты которого P, Q, R имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

4. При тех же условиях, что и в пункте 3, имеем (9)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Это соотношение уже было доказано ранее путем непосредственных вычислений. Здесь мы приведем его формальное доказательство, используя известную формулу из векторной алгебры

(А, [В, С]) = (С,[А,В])= (В, [С, А]).

div rot а = (∇, [∇, а]) = (а, [∇, ∇]) = О,

так как [∇, ∇] = 0 как векторное произведение двух одинаковых «векторов».

5. Покажем, наконец, что при тех же условиях, что и ранее,

rot rot а = grad div а — ∆а. (10)

rot rot а = [ ∇, [∇,a]),

то, полагая в формуле для двойного векторного произведения [А, [В, С]] = В(А, С) — (А, В)С,

А = ∇, B = ∇, С = а,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Но ( ∇, а) = div а и ( ∇, ∇) = ∆. Поэтому окончательно будем иметь

rot rot а = grad div а — ∆а,

где grad div а выражается по формуле (8), а ∆а для вектора а = Pi + Qj + Rk надо понимать так:

∆а = ∆Р • i + ∆Q • j + ∆R • k.

В заключение приведем таблицу дифференциальных операций второго порядка.

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Заштрихованные прямоугольники означают, что соответствующая операция не имеет смысла (например, градиент от rot а).

Понятие о криволинейных координатах

Во многих задачах бывает удобно определять положение точки простр анства не декартовыми координатами (х, у, z), а тремя другими числами (q1, q2, q3), более естественно связанными с рассматриваемой частной задачей.

Если задано правило, согласно которому каждой точке М пространства отвечает определенная тройка чисел (q1, q2, q3) и, обратно, каждой такой тройке чисел отвечает единственная точка М, то говорят, что в пространстве задана криволинейная координатная система. В этом случае величины q1, q2, q3 называют криволинейными координатами точки М.

Координатными поверхностями в системе криволинейных координат q1, q2, q3 называются поверхности

Дифференциальные уравнения в векторном виде

На координатных поверхностях одна из координат сохраняет постоянное значение. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями.

В качестве примеров криволинейных координат рассмотрим цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя координатами:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

р = const — круговые цилиндры с осью Оz;

φ = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz;

z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz (рис. 41).

1) линии (р) — лучи, перпендикулярные оси Oz и имеющие начало на этой оси, т. е. линии пересечения координатных поверхностей φ = const, z = const;

2) линии (φ) — окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Oz;

3) линии (z) — прямые, параллельные оси Oz.

Связь декартовых координат точки (х, у, z) с цилиндрическими координатами (р, φ, z) задается формулами

x = p cos φ, y = p sin φ, z = z. (2)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Сферические координаты

В сферических координатах положение точки М в пространстве определяется следующими координатами:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Координатные поверхности (рис. 42):

r = const — сферы с центром в точке О;

θ = const — круговые полуконусы с осью Oz;

φ = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz.

1) линии (г) — лучи, выходящие из точки О;

2) линии (θ) — меридианы на сфере;

3) линии (φ) — параллели на сфере.

Связь декартовых координат (х, у, z) точки М с ее сферическими координатами (r, θ, φ) задается формулами

х = r cos φ sin θ,

у = r sin φ sin θ, (4)

z = r cos θ.

Введем единичные векторы e1, е2, е3 (орты), направленные по касательным к координатным линиям(q1),(q2),(q3)в тoчке М в сторону возрастания переменных q1,q2,q3 соответственно.

Определение:

Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке М орты e1, е2, е3 попарно ортогональны.
В такой системе ортогональны и координатные линии, и координатные поверхности.
Примерами ортогональных криволинейных координат служат системы цилиндрических и сферических координат. Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных систем координат.

Пусть r = r(q1, q2, q3) — радиус-вектор точки М. Тогда можно показать, что
(5)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

— коэффициенты Ламэ данной криволинейной системы координат. Вычислим коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Так как х = р cos φ, у = р sin φ, z = z, то
(6)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Аналогично для сферических координат имеем
(7)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

являются дифференциалами длин дуг соответствующих координатных линий.

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Дифференциальные уравнения векторных линий

Рассмотрим поле вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q1,q2, q3 имеют вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В цилиндрических координатах (q1 = р, q2= φ, q3 = z)
(1)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ)
(2)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Градиент в ортогональных координатах

Пусть и = u(q1, q2, q3) — скалярное пoле. Тогда

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В цилиндрических координатах (q1 = р, q2 = φ, q3 = z)
(3)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ) (4)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Ротор в ортогональных координатах

Рассмотрим векторное поле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

и вычислим rot а. Имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В цилиндрических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в сферических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дивергенция в ортогональных координатах

Дивергенция div а векторного поля

Дифференциальные уравнения в векторном виде

вычисляется по формуле
(7)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В цилиндрических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в цилиндрических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

в сферических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Применяя формулу (7) к единичным векторам е1, е2, е3, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вычисление потока в криволинейных координатах

Пусть S — часть координатной поверхности q1 = с = const, ограниченная координатными линиями

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Тогда поток вектора

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через поверхность S в направлении вектора e1 вычисляется по формуле
(8)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Аналогично вычисляется поток через часть поверхности q2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const.

Пример:

Найти поток П векторного поля

Дифференциальные уравнения в векторном виде

через внешнюю сторону верхней полусферы S радиуса R с центром в начале координат.
Полусфера S есть часть координатной поверхности r = const, а именно r = R. На полусфере S имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Учитывая, что в сферических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

по формуле (8) найдем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Вычисление потенциала в криволинейных координатах

Пусть в некоторой области Ω задано потенциальное векторное поле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

т. e. rot а = 0 в области Ω.

Для нахождения потенциала и = и(q1, q2, q3) этого векторного поля запишем равенство а(М) = grad u(M) в следующем виде:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда следует, что
(9)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где с — произвольная постоянная.

В цилиндрических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

система (9) принимает вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В сферических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

система (9) имеет вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координатаx

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Убедимся, что rot a = 0. По формуле (S) получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

т.е. данное поле потенциально.

Искомый потенциал u = и(р, φ, z) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)):

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Интегрированием по р из первого уравнения находим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференцируя соотношение (11) no φ и используя второе уравнение, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

или Дифференциальные уравнения в векторном виде= 0, откуда с = c1(z). Таким образом,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференцируя это соотношение по z и используя третье уравнение, получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

или c1`(z) =0, откуда c1(z) = с. Итак, потенциал данного поля

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах

Пусть векторное поле

Дифференциальные уравнения в векторном виде

определено и непрерывно в области Ω изменения ортогональных криволинейных координат q1, q2, q3. Так как дифференциал радиус-вектора r любой точки M(q1, q2, q3) ∈ Ω выражается формулой

Дифференциальные уравнения в векторном виде

то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L ⊂ Ω будет равен
(13)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В частности, для цилиндрических координат (q1 = р, q2 = φ, q3 = z, Н1 = 1, Н2 = р, Н3=1) будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда по формуле (13) получим
(14)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Аналогично для сферических координат (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ, Н1 = 1, Н2 = r, H3 = r sin θ будем иметь

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда по формуле (13) получим
(15)

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а (М) в криволинейных координатах q1, q2, q3 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

по замкнутой кривой L,

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Координаты данного вектора равны соответственно

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Подставляя координаты данного вектора в формулу .(14), получим

Дифференциальные уравнения в векторном виде

На кривой L имеем

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Искомая циркуляция будет равна

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа ∆ получим следующее выражение:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В цилиндрических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

В сферических координатах

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Пример:

Найти все решения уравнения Лапласа ∆и = 0, зависящие только от расстояния r.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т. е. и = и (r), то уравнение Лапласа ∆и = 0 в сферических координатах будет иметь вид

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Отсюда Дифференциальные уравнения в векторном видетак что

Дифференциальные уравнения в векторном виде

где С1 и С2 — постоянные.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Дифференциальные уравнения в векторном виде

Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде Дифференциальные уравнения в векторном виде

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поделиться или сохранить к себе: