Дифференциальные уравнения ii порядка геометрический смысл начальных условий задача коши

Определение: Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую и вторую производные у/ и у// .

В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка можно представить в виде: F(x,y,y/,y//)=0 (1).

Если разрешить его относительно второй производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 2-го порядка.

Решение данного уравнения находится двухкратным интегрированием с появлением двух произвольных констант С1 и С2.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется искомая функция у=у(х,С1,С2), которая при любых значениях произвольных констант С1, С2 обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Определение Частным решением называется такое решение у=у(х,С10,С20), которое получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Видео:Видеоурок "Дифференциальные уравнения. Задача Коши"Скачать

Геометрический смысл, задача и Теорема коши решения дифференциальных уравнений второго порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения второго порядка представляет собой двухпараметрическое семейство интегральных кривых у=у(х,С1,С2). Причем через каждую заданную точку М0(х0;у0) проходит целый пучёк интегральных кривых.

Частное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую у=у(х0,С10,С20) с заданными значениями произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Для того, чтобы найти частное решение в виде единственной интегральной кривой, проходящую через заданную точку М0 с координатами х=х0 и у=у0, необходимо задать значение производной, которая определяет угловой коэффициент касательной в заданной точке у/=y/0=kk=tgб0. Координаты х=х0; у=у0 и значение производной у/=y/0 в заданной точке М0 называются начальными условиями.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, сводится к нахождению конкретных значений произвольных констант С1=С10 и С2=С20 из системы уравнений

получаемой подстановкой начальных условий в общее решение.

Таким образом, частное решением получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20, для нахождения которых используют два начальных условия:

Первое начальное условие определяет точку М0(х0,у0), через которую пройдет интегральная кривая, а второе условие определяет угол наклона касательной y/0=kk=tgб0 к искомой интегральной кривой.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

При решении задачи Коши используют теорему Коши о существовании и единственности решения.

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области Д, то в любой ее точке существует и причем единственное частное решение у = у(х,С10,С20), удовлетворяющее начальным условиям:

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

Видео:Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать

10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго по­рядка называется уравнение вида

Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У’ и У» — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у’) и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у’). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у’0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X0, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y0‘ касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются Начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют Задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая У = х + 1.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения ii порядка геометрический смысл начальных условий задача коши

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемСтепан Федюнин

Похожие презентации

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

Презентация на тему: » < задача Коши — геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка — приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка." — Транскрипт:

2 Теорема Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y,y) = 0 или y = f(x,y,y). Общим решением уравнения является функция y = (x, C 1, C 2 ), существенно зависящая от двух произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Частное решение получается при закреплении постоянных С 1, С 2. Задача отыскания решения дифференциального уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x 0 ) = y 0, y(x 0 ) = y 0 называется задачей Коши. Если функция f — правая часть дифференциального уравнения d 2 y/dx 2 = f(x,y,dy/dx) непрерывна в некоторой замкнутой трехмерной области D: oxyy и имеет в этой области ограниченные частные производную д f/ д y, д f/ д y, то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

3 Геометрически это означает, что через каждую точку M 0 (x 0,y 0, y 0 )области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения P 0 (x 0,y 0 ) D x y o Y M 0 (x 0,y 0, y 0 )

4 @ Решить дифференциальное уравнение второго порядка, при заданных начальных условиях Решение M( 1,1 ) x y o f y = 0 f y = 1/x C 2 = tg = 1

5 Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y,y)=0.. Этим уравнением для каждой точки M(x,y) определяется связь между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, производной функции dy/dx — угловым коэффициент касательной к интегральной кривой, и, через вторую производную, кривизной кривой k. y = (x) y = d /dx

6 Метод понижения порядка Тип I Тип II

7 Метод понижения порядка Тип III Тип IV

8 @ Решить дифференциальное уравнение Решение

9 Если точка A движется вдоль заданной кривой, а точка P преследует её, причем вектор направления движения точки P всегда направлен на точку A, и скорости движения точек постоянны, то траектория точки P называется кривой погони. Такая задача впервые была решена французским математиком Pierre Bouguer в 1732 году, впоследствии задачи такого класса исследовались английским математиком Boole. Определить траекторию преследования цели ракетой, если цель движется вдоль прямой, а скорости цели и ракеты равны между собой. P A

10 Уравнение кривой погони выводится при условии, что вектор касательной к траектории в точке P всегда параллелен линии, соединяющей A и P Пусть точка A движется вдоль оси y, тогда уравнение её движения: Уравнение движения точки P в параметрической форме : P A

11 Последнее уравнение может быть переписано в следующем виде

12 Последнее уравнение допускает понижение порядка

13 Начальные условия: в момент времени t = 0 точка P находится в точке плоскости M 0 и имеет скорость V = 1 После подстановки этих величин в общее решение получаем частное решение P A

🎥 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Задача Коши ДУ I п. 1. Caushy`s ProblemСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

ДУ Задача КошиСкачать

3. Условия существования и единственности решения задачи КошиСкачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Д2У-4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка. Задача КошиСкачать

Дифференциальные уравнения | уравнения первого порядка | задача Коши | конкретные примеры | 1Скачать