Уравнения состояния и передаточная функция

Содержание
  1. 2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13
  2. 2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)
  3. Пример
  4. 2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
  5. 2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона
  6. 2.12. Mетод переменных состояния.
  7. Пример решения задачи в форме коши.
  8. 2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно
  9. 2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)
  10. 2.13.2. Правая часть общего вида
  11. Пример:
  12. Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния
  13. СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
  14. Требования к качеству системы в частотной области
  15. Измерение частотных характеристик
  16. Пример построения диаграммы Боде
  17. Продажа шагающий экскаватор 20/90
  18. Уравнения состояния и передаточная функция
  19. 🎬 Видео

Видео:8) ТАУ для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.Скачать

8) ТАУ  для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.

2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В предыдущих сериях:

В это части будут рассмотрены:

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.

Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.

Уравнения состояния и передаточная функция

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)

Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1

Уравнения состояния и передаточная функция

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

Уравнения состояния и передаточная функция

где: Уравнения состояния и передаточная функция— постоянные времени;
Уравнения состояния и передаточная функция— коэффициент усиления.

Пусть известны отображения:

Уравнения состояния и передаточная функция

Найдем изображения для производных: Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Уравнения состояния и передаточная функция

B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.

Уравнения состояния и передаточная функция

Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример

Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

входное воздействие: Уравнения состояния и передаточная функция— единичное ступенчатое воздействие.

Выполним преобразование Лапласа:

Уравнения состояния и передаточная функция

Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Уравнения состояния и передаточная функция

Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

Уравнения состояния и передаточная функция

Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 Уравнения состояния и передаточная функциятогда в изображениях получаем что:

Уравнения состояния и передаточная функция

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):

Уравнения состояния и передаточная функция

тогда в изображениях получаем, что реакция системы Уравнения состояния и передаточная функцияна ступенчатое воздействие, рассчитывается так:

Уравнения состояния и передаточная функция

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:

Уравнения состояния и передаточная функция

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона

Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).

Уравнения состояния и передаточная функция

Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:

Уравнения состояния и передаточная функция

где:
Уравнения состояния и передаточная функция— значение отклика по завершению предыущего импульса;
Уравнения состояния и передаточная функция— время завершения текущего импульса;
Уравнения состояния и передаточная функция— значение весовой функции в начале текущего импульса.

Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:

Уравнения состояния и передаточная функция

Переходя к пределам

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:

Уравнения состояния и передаточная функция

где Уравнения состояния и передаточная функция— вспомогательное время

Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: Уравнения состояния и передаточная функциязапишем выражение изображения для отклика в операторной форме:

Уравнения состояния и передаточная функция

Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:

Уравнения состояния и передаточная функция

2.12. Mетод переменных состояния.

До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)

Уравнения состояния и передаточная функция

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2

Уравнения состояния и передаточная функция

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

Уравнения состояния и передаточная функция

Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

Уравнения состояния и передаточная функция

где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;

Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

Уравнения состояния и передаточная функция

где:
Уравнения состояния и передаточная функция— вектор входа (или вектор управления);
Уравнения состояния и передаточная функция— вектор столбец производных переменных состояния;
Уравнения состояния и передаточная функция— вектор столбец переменных состояния;
Уравнения состояния и передаточная функция— вектор выхода;
Уравнения состояния и передаточная функция— собственная матрица системы [n x n],
Уравнения состояния и передаточная функция— постоянные коэффициенты;
Уравнения состояния и передаточная функция— матрица входа [n x m],
Уравнения состояния и передаточная функция— постоянные коэффициенты;
Уравнения состояния и передаточная функция— матрица выхода а [p x n],
Уравнения состояния и передаточная функция— постоянные коэффициенты;
Уравнения состояния и передаточная функция— матрица обхода [p x m],
Уравнения состояния и передаточная функция— постоянные коэффициенты;

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования

Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики

Пример решения задачи в форме коши.

Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:

Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см 3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ρ = 850 кг/м 3 .
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравенение движение плунжера:

Уравнения состояния и передаточная функция

Где: Уравнения состояния и передаточная функция– площадь плунжера, Уравнения состояния и передаточная функция– жесткость пружины, Уравнения состояния и передаточная функция– коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость Уравнения состояния и передаточная функция, тогда Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

Уравнения состояния и передаточная функция

Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

Уравнения состояния и передаточная функция

Где: f– площадь дросселя, Уравнения состояния и передаточная функция– давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

Уравнения состояния и передаточная функция

Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

Уравнения состояния и передаточная функция

Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

Уравнения состояния и передаточная функция

Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:

Уравнения состояния и передаточная функция

Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.

Уравнения состояния и передаточная функция

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:

Уравнения состояния и передаточная функция

Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.

Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)

Уравнения состояния и передаточная функция

Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7

Уравнения состояния и передаточная функция

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)

Уравнения состояния и передаточная функция

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.

2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:

Уравнения состояния и передаточная функция

Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:

Уравнения состояния и передаточная функция

2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)

В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.

Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:

Уравнения состояния и передаточная функция

Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:

Уравнения состояния и передаточная функция

И перепишем уравнение относительно y»'(t):

Уравнения состояния и передаточная функция

Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:

Уравнения состояния и передаточная функция

Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:

Уравнения состояния и передаточная функция

2.13.2. Правая часть общего вида

Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:

Уравнения состояния и передаточная функция

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Уравнения состояния и передаточная функция

Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов Уравнения состояния и передаточная функция, получим:

Уравнения состояния и передаточная функция

Где: Уравнения состояния и передаточная функция— некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что Уравнения состояния и передаточная функцияотображение величины Уравнения состояния и передаточная функция. Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:

Уравнения состояния и передаточная функция

Вренемся к оригиналу от изображений получим: Уравнения состояния и передаточная функция,
где: Уравнения состояния и передаточная функция— дифференциальный оператор.

Уравнения состояния и передаточная функция

А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:

Уравнения состояния и передаточная функция

Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния Уравнения состояния и передаточная функция:

Уравнения состояния и передаточная функция

А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:

Уравнения состояния и передаточная функция

Перейдем от изображения к оригиналам:

Уравнения состояния и передаточная функция

Если обозначить вектор Уравнения состояния и передаточная функция, то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:

Уравнения состояния и передаточная функция

Пример:

Уравнения состояния и передаточная функция
Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.

Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :

Уравнения состояния и передаточная функция

Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши

В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:

Уравнения состояния и передаточная функция

Разделим в последнем правую и левую часть на произведения Уравнения состояния и передаточная функция, и введем новую перменную Уравнения состояния и передаточная функция:

Уравнения состояния и передаточная функция

Полиномы N(s) и L(s) равны:

Уравнения состояния и передаточная функция

Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):

Уравнения состояния и передаточная функция

Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:

Уравнения состояния и передаточная функция

Или в матричной форме:

Уравнения состояния и передаточная функция

Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:

Уравнения состояния и передаточная функция

Перейдем от изображений к оригиналу:

Уравнения состояния и передаточная функция

Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:

Уравнения состояния и передаточная функция

Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2

Уравнения состояния и передаточная функция
Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.

Видео:Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениямСкачать

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениям

Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния

Если задана передаточная функция G(s), то, изобразив модель системы в виде сигнального графа, мы затем можем получить уравнения состояния. Теперь мы решим обратную зада­чу, т. е. покажем, как по уравнениям состояния системы с одним входом и одним выходом определить ее передаточную функцию. Напомним еще раз уравнения (3.16) и (3.17):

Преобразуя эти уравнения по Лапласу, получим:

где В — матрица размерности 77×1, поскольку и есть единственный вход. Заметим, что в преобразовании Лапласа мы не учитывали начальные условия, поскольку определению подлежит передаточная функция. Группируя члены в уравнении (3.68), получим:

Видео:proТАУ: 1. Передаточная функцияСкачать

proТАУ: 1. Передаточная функция

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Видео:Передаточные функцииСкачать

Передаточные  функции

Продажа шагающий экскаватор 20/90

Цена договорная
Используются в горнодобывающей промышленности при добыче полезных ископаемых (уголь, сланцы, руды черных и
цветных металлов, золото, сырье для химической промышленности, огнеупоров и др.) открытым способом. Их назначение – вскрышные работы с укладкой породы в выработанное пространство или на борт карьера. Экскаваторы способны
перемещать горную массу на большие расстояния. При разработке пород повышенной прочности требуется частичное или
сплошное рыхление взрыванием.
Вместимость ковша, м3 20
Длина стрелы, м 90
Угол наклона стрелы, град 32
Концевая нагрузка (max.) тс 63
Продолжительность рабочего цикла (грунт первой категории), с 60
Высота выгрузки, м 38,5
Глубина копания, м 42,5
Радиус выгрузки, м 83
Просвет под задней частью платформы, м 1,61
Диаметр опорной базы, м 14,5
Удельное давление на грунт при работе и передвижении, МПа 0,105/0,24
Размеры башмака (длина и ширина), м 13 х 2,5
Рабочая масса, т 1690
Мощность механизма подъема, кВт 2х1120
Мощность механизма поворота, кВт 4х250
Мощность механизма тяги, кВт 2х1120
Мощность механизма хода, кВт 2х400
Мощность сетевого двигателя, кВ 2х1600
Напряжение питающей сети, кВ 6
Более детальную информацию можете получить по телефону (063)0416788

Видео:[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]

Уравнения состояния и передаточная функция

Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Выше были рассмотрены два вида моделей многомерной системы. Установим связь между этими двумя видами. Так как исходной базой для математических моделей являются дифференциальные уравнения, то логичным будет определить связь уравнений состояния с передаточными матрицами САУ. Для этого применим преобразование Лапласа к уравнениям состояния и выхода

Уравнения состояния и передаточная функция

Уравнения состояния и передаточная функция

при нулевых начальных условиях, заменим оригиналы переменных изображениями по Лапласу и получим систему векторно-матричных операторных уравнений

Уравнения состояния и передаточная функция

Определим связь между вектором входа и векторами состояния и выхода. Из первого уравнения системы (3) имеем –

Уравнения состояния и передаточная функция

и если матрица Уравнения состояния и передаточная функцияне вырожденная, то есть Уравнения состояния и передаточная функция, получим –

Уравнения состояния и передаточная функция

Откуда следует, что

Уравнения состояния и передаточная функция

Подставив (4) в (3), получаем –

Уравнения состояния и передаточная функция,

В результате получаем –

Уравнения состояния и передаточная функция

Вспомним, что компонентами эквивалентных матриц являются передаточные функции системы. Следовательно, выражения (5) и (6) представляют собой универсальные формулы для вычисления всех необходимых для анализа передаточных функций многомерной системы, по которым могут быть получены структурные схемы и частотные характеристики.

Заметим, что каждый элемент эквивалентных матриц (передаточных функций) имеет, по определению обратной матрицы, сомножитель –

Уравнения состояния и передаточная функция

То есть полином Уравнения состояния и передаточная функцияявляется общим знаменателем для всех передаточных функций, а уравнение –

Уравнения состояния и передаточная функция

является характеристическим уравнением системы.

Таким образом, мы не только получили связь между математическими моделями во временной и частотной областях, но и универсальные выражения для определения передаточных функций и характеристических уравнений любых линейных объектов или систем управления. Исходными параметрами для выражений (5),(6) и (7) являются матрицы параметров уравнений состояния и выхода. Выполнить преобразования (5),(6) и (7) можно с помощью компьютера, имеющего программы символьной математики, на пример, такие, как Mathematica 3.0 (4.0), разработанные Wolfram Research. в системах второго и третьего порядка эти преобразования можно производить и вручную.

Рассмотрим несколько примеров получения и преобразования моделей.

Рассмотрим объект, принципиальная электрическая схема которого показана на рис. 1.

Уравнения состояния и передаточная функция

Выполним для этого объекта следующие задачи:

Получить уравнение состояния.

Определить характеристическое уравнение объекта.

Определить передаточную матрицу объекта.

Получение уравнения состояния

Запишем дифференциальные уравнения, описывающие процессы в схеме

Уравнения состояния и передаточная функция

Зададим векторы состояния и входа:

Уравнения состояния и передаточная функция

Получаем, что Уравнения состояния и передаточная функция. Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:

Уравнения состояния и передаточная функция

Раскроем в (9) матричные скобки:

Уравнения состояния и передаточная функция

Приведем систему уравнений (8) к виду (10), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:

Уравнения состояния и передаточная функция

Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния

Уравнения состояния и передаточная функция.

Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид –

Уравнения состояния и передаточная функция

Определение характеристического уравнения объекта

Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (11), используя выражение (7) –

Уравнения состояния и передаточная функция

Подставив в (12) выражения для матрицы параметров Уравнения состояния и передаточная функцияи единичной матрицы Уравнения состояния и передаточная функция, получим характеристическое уравнение

Уравнения состояния и передаточная функция

Определение передаточной матрицы объекта

Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:

Уравнения состояния и передаточная функция

Матрица Уравнения состояния и передаточная функцияможет быть определена из (13)

Уравнения состояния и передаточная функция.

Определим обратную матрицу, помня о том, Уравнения состояния и передаточная функция– адъюнкт исходной матрицы представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы, а алгебраические дополнения определяются для каждого элемента исходной матрицы по следующему выражению –

Уравнения состояния и передаточная функция,

где Уравнения состояния и передаточная функция– минор исходной матрицы, полученный вычеркиванием Уравнения состояния и передаточная функция— ой строки и Уравнения состояния и передаточная функция-го столбца.

Уравнения состояния и передаточная функция.

Уравнения состояния и передаточная функция

Следовательно, получаем передаточные функции объекта

Уравнения состояния и передаточная функция.

Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (с постоянными магнитами) как объект управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений –

Уравнения состояния и передаточная функция

где Уравнения состояния и передаточная функция– напряжение, подаваемое на двигатель, Уравнения состояния и передаточная функция– скорость и ток двигателя, Уравнения состояния и передаточная функция– параметры двигателя, соответственно момент инерции, сопротивление и индуктивность обмотки якоря, конструктивный коэффициент.

Получение уравнения состояния

Зададим векторы состояния и входа:

Уравнения состояния и передаточная функция

Получаем, что Уравнения состояния и передаточная функция. Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:

Уравнения состояния и передаточная функция

Раскроем в (16) матричные скобки:

Уравнения состояния и передаточная функция

Приведем систему уравнений (15) к виду (17), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:

Уравнения состояния и передаточная функция

Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния в развернутой форме

Уравнения состояния и передаточная функция.

Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид –

Уравнения состояния и передаточная функция

Определение характеристического уравнения объекта

Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (18), используя выражение (7) –

Уравнения состояния и передаточная функция

Подставив в (19) выражения для матрицы параметров Уравнения состояния и передаточная функцияи единичной матрицы Уравнения состояния и передаточная функция, получим характеристическое уравнение

Уравнения состояния и передаточная функция

Определение передаточной матрицы объекта

Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:

Уравнения состояния и передаточная функция

Матрица Уравнения состояния и передаточная функцияможет быть определена из (20)

Уравнения состояния и передаточная функция.

Определим обратную матрицу –

Уравнения состояния и передаточная функция.

Уравнения состояния и передаточная функция

Следовательно, получаем передаточные функции объекта

Уравнения состояния и передаточная функция

Контрольные вопросы и задачи

Поясните, как связаны между собой модели во временной и частотной области?

Как определить по уравнению состояния характеристическое уравнение?

Как определить по уравнению состояния матрицу передааточных функций системы?

По уравнению состояния

Уравнения состояния и передаточная функция,

описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы.

Уравнения состояния и передаточная функция.

По уравнению состояния

Уравнения состояния и передаточная функция,

описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы.

Уравнения состояния и передаточная функция.

По уравнению состояния

Уравнения состояния и передаточная функция,

описывающему многомерную систему, определить матрицу передаточных функций системы.

Уравнения состояния и передаточная функция.

🎬 Видео

Уравнение состояния идеального газа. 10 класс.Скачать

Уравнение состояния идеального газа. 10 класс.

7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать

7) ТАУ  для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...

Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системыСкачать

Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системы

Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состояний

Уравнение состояния идеального газа | Физика 10 класс #33 | ИнфоурокСкачать

Уравнение состояния идеального газа | Физика 10 класс #33 | Инфоурок

Построить структурную схему САР (САУ) по передаточной функцииСкачать

Построить структурную схему САР (САУ) по передаточной функции

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

ТАУ│Передаточная функция устройстваСкачать

ТАУ│Передаточная функция устройства

Логарифмическая амплитудная характеристика САУ: построение ЛАХ для конкретной системыСкачать

Логарифмическая амплитудная характеристика САУ: построение ЛАХ для конкретной системы

3,9 Уравнения состояния АДСкачать

3,9 Уравнения состояния АД

2) ТАУ для чайников. Часть 2.1: Математические модели...Скачать

2) ТАУ  для чайников. Часть 2.1: Математические модели...

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функцииСкачать

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функции

c15 2, Пространство состояний: пространство состояний передаточная функцияСкачать

c15 2, Пространство состояний: пространство состояний   передаточная функция

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)
Поделиться или сохранить к себе: